第2章 2.3 2.3.3 第1課時　等比數(shù)列的前n項和

1、.2.3.3等比數(shù)列的前n項和第1課時等比數(shù)列的前n項和學(xué)習(xí)目的：1.掌握等比數(shù)列前n項和公式；能用公式解決一些簡單問題重點2.能在詳細(xì)的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題難點3.不對q分析范圍而錯用求和公式易錯點自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知1等比數(shù)列的前n項和公式設(shè)數(shù)列an為等比數(shù)列，首項為a1，公比為q，那么其前n項和S n考慮1：假設(shè)數(shù)列an的前n項和Sn2n1，那么數(shù)列an是不是等比數(shù)列？假設(shè)數(shù)列an的前n項和Sn2n11呢？提示當(dāng)Sn2n1時，an是等比數(shù)列；當(dāng)Sn2n11時，an不是等比數(shù)列考慮2：等比數(shù)列的前n項和公式有何函數(shù)特征？提示當(dāng)公比q1

2、時，設(shè)A，等比數(shù)列的前n項和公式是SnAqn1當(dāng)公比q1時，因為a10，所以Snna1，Sn是n的正比例函數(shù)2等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)1等比數(shù)列an中，SmnSnqnSmSmqmSn.2等比數(shù)列an中，假設(shè)項數(shù)為2n，那么q；假設(shè)項數(shù)為2n1，那么q.3設(shè)數(shù)列an是等比數(shù)列，Sn是其前n項和當(dāng)q1且k為偶數(shù)時，Sk，S2kSk，S3kS2k不是等比數(shù)列；當(dāng)q1或k為奇數(shù)時，數(shù)列Sk，S2kSk，S3kS2kkN*是等比數(shù)列根底自測1在等比數(shù)列an中，a12，S326，那么公比q_.解析q1，S326，q2q120，q3或4.答案3或42設(shè)an是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，假設(shè)a11，a516，那么數(shù)列

3、an的前7項和為_解析a5a1q4，q424.q>0，q2，S7127.答案1273在等比數(shù)列an中，假設(shè)Sn是其前n項和，且S43，S89，那么S12_.解析S4，S8S4，S12S8成等比數(shù)列，3,6，S129成等比數(shù)列，3S12936，S1221.答案21合 作 探 究·攻 重 難等比數(shù)列前n項和的根本運算在等比數(shù)列an中，1假設(shè)Sn189，q2，an96，求a1和n；2假設(shè)a1a310，a4a6，求a4和S5；3假設(shè)q2，S41，求S8.思路探究利用公式Sn求解解1由公式Sn及條件得189，解得a13，又由ana1·qn1，得963·2n1，解得n6

4、.2設(shè)公比為q，由通項公式及條件得即a10,1q20，÷得，q3，即q，a18，a4a1q38×1，S5.3設(shè)首項為a1，q2，S41，1，即a1，S817.規(guī)律方法1等比數(shù)列的前n項和公式和通項公式中共涉及a1，an，q，n，Sn五個根本量，其中三個量，可以求出另外的兩個量，我們可以簡稱為“知三求二2an時用Sn較簡便，而Sn在將量表示為最根本元素a1和q的表達(dá)式中發(fā)揮著重要作用提醒：兩式相除是解決等比數(shù)列根本量運算常用的運算技巧跟蹤訓(xùn)練1求以下等比數(shù)列前8項的和1，；2a127，a9，q<0. 【導(dǎo)學(xué)號：57452056】解1因為a1，q，所以S8.2由a127，

5、a9，可得27·q8.又由q<0，可得q.所以S8.等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)及應(yīng)用在等比數(shù)列an中，假設(shè)前10項的和S1010，前20項的和S2030，求前30項的和S30.思路探究法一：由列方程組求得q值，整體代換求S30；法二：利用前n項和的性質(zhì)，連續(xù)10項之和成等比數(shù)列，求S30.解法一：設(shè)數(shù)列an的首項為a1，公比為q，顯然q1，那么兩式相除得1q103，q102.S301q10q2010×12470.法二：S10，S20S10，S30S20仍成等比數(shù)列，又S1010，S2030，S3030，即S3070.規(guī)律方法要注意等比數(shù)列前n項和性質(zhì)的使用條件，條件不具備

6、時，性質(zhì)不一定成立，如Sm，S2mSm，S3mS2m，滿足S2mSm2Sm·S3mS2m，但Sm，S2mSm，S3mS2m不一定成等比數(shù)列，只有在一定的限制條件下才成等比數(shù)列.提醒：易誤認(rèn)為Sn，S2n，S3n成等比數(shù)列.跟蹤訓(xùn)練21設(shè)等比數(shù)列an的前n項和為Sn，假設(shè)3，那么_.2等比數(shù)列 an共有2n項，其和為240，且奇數(shù)項的和比偶數(shù)項的和大80，那么公比q_.解析1設(shè)公比為q，那么1q33，所以q32，于是.2S奇80，S偶160，q2.答案122等比數(shù)列前n項和的實際應(yīng)用探究問題1銀行儲蓄中的按“復(fù)利計算是什么意思？并舉例說明提示所謂“復(fù)利，即把上期的本利和作為下一期的本金

7、如把a(bǔ)萬元現(xiàn)金存入銀行，按年息P%計算，n年后的本利和為a1P%n1萬元2“分期付款是怎么一回事？提示1分期付款為復(fù)利計息，每期付款數(shù)一樣，且在期末付款；2到最后一次付款時，各期所付的款額的本利之和等于商品售價的本利之和借貸10 000元，以月利率為1%，每月以復(fù)利計算借貸，王老師從借貸后第二個月開場等額還貸，分6個月付清，試問每月應(yīng)支付多少元？1.0161.061,1.0151.051思路探究結(jié)合分期付款的定義求解此題解一方面，借款10 000元，將此借款以一樣的條件存儲6個月，那么它的本利和為S1104·10.016104×1.016元另一方面，設(shè)每個月還貸a元，分6個

8、月還清，到貸款還清時，其本利和為S2a10.015a10.014aa1.0161×102元由S1S2，得a.1.0161.061，a1 739.故每月應(yīng)支付1 739元規(guī)律方法解決此類問題的關(guān)鍵是建立等比數(shù)列模型及弄清數(shù)列的項數(shù)，所謂復(fù)利計息，即把上期的本利和作為下一期本金，在計算時每一期本金的數(shù)額是不同的，復(fù)利的計算公式為SP1rn，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和.提醒：解決數(shù)列應(yīng)用問題，要明確問題屬于哪一種類型，即明確是等差數(shù)列問題還是等比數(shù)列問題，是求an還是Sn，特別是要弄清項數(shù).跟蹤訓(xùn)練3小華準(zhǔn)備購置一臺售價為5 000元的電腦，采用分期付款方式，并在

9、一年內(nèi)將款全部付清商場提出的付款方式為：購置2個月后第1次付款，再過2個月后第2次付款，購置12個月后第6次付款，每次付款金額一樣，約定月利率為0.8%，每月利息按復(fù)利計算，求小華每期付款金額是多少解法一：設(shè)小華每期付款x元，第k個月末付款后的欠款本利為Ak元，那么：A25 000×10.0082x5 000×1.0082x，A4A210.0082x5 000×1.00841.0082xx，A125 000×1.008121.008101.00881.00821x0，解得x880.8.故小華每期付款金額約為880.8元法二：設(shè)小華每期付款x元，到第k個月

10、時已付款及利息為Ak元，那么：A2x；A4A210.0082xx11.0082；A6A410.0082xx11.00821.0084；A12x11.00821.00841.00861.00881.00810年底付清欠款，A125 000×1.00812，即5 000×1.00812x11.00821.00841.00810，x880.8.故小華每期付款金額約為880.8元當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基1Sn是等比數(shù)列an的前n項和，a52，a816，那么S6等于_. 【導(dǎo)學(xué)號：57452057】解析q323，q2，a12×2423，S6.答案2等比數(shù)列的公比

11、為2，前4項之和等于10，那么前8項之和等于_解析S8S4S42416，S8101016，S8170.答案1703一彈性球從100米高處自由落下，每次著地后又跳回到原來高度的一半再落下，那么第10次著地時所經(jīng)過的路程和為_米結(jié)果保存到個位解析設(shè)所經(jīng)過的總路程為s，第n1次落下至第n次落下經(jīng)過的路程為an，那么a1100，a22×50，a32×25，a102×100×，設(shè)第二項至第十項的和為T，由等比數(shù)列求和公式得T2×199.6.所以S100T299.6300米答案3004數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列，a1a49，a2a38，那么數(shù)列an的前n項和等于_解析設(shè)等比數(shù)列的公比為q，那么有解得或又an為遞增數(shù)列，Sn2n1.答案2n15等差數(shù)列an和等