223向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義教學(xué)設(shè)計

1、向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義（教學(xué)設(shè)計）一、知識與能力：1、理解掌握向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義，數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律，并能熟練運(yùn)用定義、運(yùn)算律進(jìn)行有關(guān)計算。2、理解掌握向量共線定理及其證明過程，會根據(jù)向量共線定理判斷兩個向量是否共線。3、通過向量數(shù)乘運(yùn)算的學(xué)習(xí)和探究，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析、歸納、抽象思維能力，以及運(yùn)算能力和邏輯推理能力。二、過程與方法：1 經(jīng)歷向量加法三角形法則和平行四邊形法則的歸納過程；2體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.三、情感、態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)對現(xiàn)實世界中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象的好奇心，學(xué)習(xí)從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題教學(xué)重點(diǎn):實數(shù)與向量的積的定義、運(yùn)算律，向量共線的充要條件教學(xué)難點(diǎn):向量共線的充要條

2、件一、復(fù)習(xí)回顧，新課導(dǎo)入探究：已知非零向量a，作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)，并說明它們的幾何意義.類似數(shù)的乘法，把a(bǔ)+a+a記作3a，顯然3a的方向與a的方向相同，3a的長度是a的3倍，即|3a|=3|a|.同樣，(-a)+(-a)+(-a)=3(-a)，顯然3(-a)的方向與a的方向相反，3(-a)的長度是a的3倍，這樣3(-a)=-3a.由學(xué)生作圖，歸納幾何意義，教師補(bǔ)充完善，引出本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容。二、師生互動，新課講解1定義：實數(shù)l與向量a的積是一個向量，稱為向量的數(shù)乘，記作la，它的長度與方向規(guī)定如下： （1）|la|=|l|a|； （2）當(dāng)l>0時，la的方向與

3、向量a的方向相同；當(dāng)l<0時，la的方向與a的方向相反.2 特別地，當(dāng)l=0或a=0時，la=0；當(dāng)l=-1時，(-1)×a=-a，就是a的相反向量.3 實數(shù)與向量的積的運(yùn)算律設(shè)l、m為實數(shù)，那么（1）l(ma)=( lm)a；（結(jié)合律）（2）(l+m)a=la+ma；（第一分配律）（3）l(a+b)= la+lb.（第二分配律）結(jié)合律證明：如果=0，=0，=至少有一個成立，則式成立如果¹0，¹0，¹有：|()|=|=|()|=| |=| |()|=|()| 如果、同號，則式兩端向量的方向都與同向；如果、異號，則式兩端向量的方向都與反向。 從而()

4、=()第一分配律證明：如果=0，=0，=至少有一個成立，則式顯然成立如果¹0，¹0，¹當(dāng)、同號時，則和同向，|(+)|=|+|=(|+|)|+|=|+|=|+|=(|+|)|、同號 兩邊向量方向都與同向 即：|(+)|=|+| 當(dāng)、異號，當(dāng)>時 兩邊向量的方向都與同向當(dāng)<時 兩邊向量的方向都與同向還可證：|(+)|=|+| 式成立第二分配律證明：OABB1A1如果=，=中至少有一個成立，或=0，=1則式顯然成立當(dāng)¹，¹且¹0，¹1時1°當(dāng)>0且¹1時在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作 則+ +由作法

5、知：有ÐOAB=ÐOA1B1 |=| OABOA1B1 ÐAOB=Ð A1OB1 因此，O，B，B1在同一直線上，|=| 與方向也相同AOBB1A1(+)=+ 當(dāng)<0時 可類似證明：(+)=+ 式成立特別地，有(-l)a=-(la)= l(-a)，l(a-b）=la-lb.例1（課本P88例5） 計算：（1）(-3)´4a;（2）3(a+b)-2(a-b)-a;（3）(2a+3b-c)-(3a-2b+c).解：（1）原式=(-3´4)a=-12a;（2）原式=3a+3b-2a+2b-a=5b;（3）原式=2a+3b-c-3a+2

6、b-c=-a+5b-2c.變式訓(xùn)練1：設(shè)a、b是兩個不平行的向量，且x(2a+b)+y(3a-2b)=7a , x,yÎR，則x=_，y=_. (x=2,y=1)4. 向量共線定理（等價條件或充要條件）思考：引入向量數(shù)乘運(yùn)算后，你能發(fā)現(xiàn)數(shù)乘向量與原向量之間的位置關(guān)系嗎？對于向量a(a¹0)、b，如果有一個實數(shù)l，使b=la，那么由向量數(shù)乘的定義知：a與b共線；反過來，已知向量a與b共線，a¹0，且向量b的長度是向量a的長度的m倍，即|b|=m|a|，那么當(dāng)a與b同向時，有b=ma，當(dāng)a與b反向時，有b=-ma.向量共線定理（向量共線的充要條件）：向量a(a

7、5;0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實數(shù)l，使b=la.例2（課本P89例6） 已知任意兩個非零向量a、b，且=a+b，=a+2b , =a+3b，判斷A、B、C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系.解：因為=a+2b-(a+b)=b， =a+3b-(a+b)=2b，于是，所以A、B、C三點(diǎn)共線.向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算，對于任意向量a、b，以及任意實數(shù)l、m1、m2，恒有 l(m1a±m2b)= lm1a±lm2b.變式訓(xùn)練2：設(shè)a與b是兩個不共線向量，且向量ab與2ab共線，則_.解析由題意知：abk(2ab)，則有：k，.答案例3 平行四邊形ABCD的兩條對角線相交于

8、點(diǎn)M，且=a，=b，試用a、b表示、.解：=a+b，=a-b, =(a+b)=a-b (a-b)= a-b;=a+b;=-a+b.變式訓(xùn)練3：設(shè)是中線，求證：.證明：因為，所以因為是中線，所以0，因而，所以.課堂練習(xí)：（課本P90練習(xí) NO：1；2；3；4；5；6）三、課堂小結(jié)，鞏固反思1 理解實數(shù)與向量的積的意義，能說出實數(shù)與一個向量的積的模及方向與這個向量的模及方向間的關(guān)系；2 能說出實數(shù)與向量的積的三條運(yùn)算律，并會運(yùn)用它們進(jìn)行計算；3 能表述一個向量與非零向量共線的充要條件；4 會表示與非零向量共線的向量，會判斷兩個向量是否共線.四、課時必記1、實數(shù)與向量的積的運(yùn)算律設(shè)l、m為實數(shù)，那么

9、（1）l(ma)=( lm)a；（結(jié)合律）（2）(l+m)a=la+ma；（第一分配律）（3）l(a+b)= la+lb.（第二分配律）2、向量共線定理（向量共線的充要條件）：向量a(a¹0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實數(shù)l，使 b=la.五、分層作業(yè)：A組：1、（課本P91習(xí)題2.2 A組 NO：9）2、（課本P91習(xí)題2.2 A組 NO：10）3、（課本P91習(xí)題2.2 A組 NO：11）4、（課本P91習(xí)題2.2 A組 NO：12）5、（課本P91習(xí)題2.2 A組 NO：13）B組：1、（課本P91習(xí)題2.2 B組 NO：3）2、（課本P91習(xí)題2.2 B組 NO：4）3、（課本P91習(xí)題2.2 B組 NO：5）C組：1、設(shè)兩個非零向量a與b不共線(1)若ab，2a8b，3(ab)求證：A，B，D三點(diǎn)共線；(2)試確定實數(shù)k，使kab和akb共線分析： (1)先證明，共線，再說明它們有一個公共點(diǎn)；