費(fèi)米能級位置

1、什么是Fermi能級？為什么Fermi能級可以處于禁帶中間？為什么本征半導(dǎo)體的Fermi能級位于禁帶中央？為什么n型半導(dǎo)體的Fermi能級位于導(dǎo)帶底附近？Fermi能級隨著溫度和摻雜濃度的改變而如何變化？Fermi能級（EF）是一個(gè)非常重要的物理概念，它在半導(dǎo)體電子學(xué)中起著極其重要的作用。（1）Fermi能級的概念：在固體物理學(xué)中，F(xiàn)ermi能量(Fermi energy)是表示在無相互作用的Fermi粒子的體系中加入一個(gè)粒子所引起的基態(tài)能量的最小可能增量；也就是在絕對零度時(shí)，處于基態(tài)的Fermi粒子體系的化學(xué)勢，或者是處于基態(tài)的單個(gè)Fermi粒子所具有的最大能量Fermi粒子所占據(jù)的最高能級

2、的能量。另一方面，按照Fermi-Dirac統(tǒng)計(jì)，在能量為E的單電子量子態(tài)上的平均電子數(shù)為： 式中的T為絕對溫度，k為玻爾茲曼常數(shù)，EF是該Fermi-Dirac分布函數(shù)的一個(gè)參量（稱為化學(xué)勢）。在絕對零度下，所有能量小于EF的量子態(tài)都被電子占據(jù)，而所有能量大于EF的量子態(tài)都是空著的，則作為化學(xué)勢的參量EF就是電子所占據(jù)的最高量子態(tài)的能量，因此這時(shí)系統(tǒng)的化學(xué)勢也就與費(fèi)米能量一致。從而，往往就形象地把費(fèi)米能量和化學(xué)勢統(tǒng)稱之為Fermi能級。雖然嚴(yán)格說來，費(fèi)米能級是指無相互作用的Fermi粒子系統(tǒng)在趨于絕對零度時(shí)的化學(xué)勢，但是在半導(dǎo)體物理電子學(xué)領(lǐng)域中，費(fèi)米能級則經(jīng)常被當(dāng)做電子或空穴的化學(xué)

3、勢來使用，所以也就不再區(qū)分費(fèi)米能級和化學(xué)勢了。在非絕對零度時(shí)，電子可以占據(jù)高于EF的若干能級，則這時(shí)Fermi能級將是占據(jù)幾率等于50%的能級。處于Fermi能級附近的電子（常稱為傳導(dǎo)電子）對固體的輸運(yùn)性質(zhì)起著重要的作用。（2）Fermi能級的含義：作為Fermi-Dirac分布函數(shù)中一個(gè)重要參量的Fermi能級EF，具有決定整個(gè)系統(tǒng)能量以及載流子分布的重要作用。在半導(dǎo)體中，由于Fermi能級（化學(xué)勢）不是真正的能級，即不一定是允許的單電子能級（即不一定是公有化狀態(tài)的能量），所以它可以像束縛狀態(tài)的能級一樣，可以處于能帶的任何位置，當(dāng)然也可以處于禁帶之中。對于金屬，其中的自由電子在k空間中將填充

4、成一個(gè)球體，稱為Fermi球；Fermi能量也就是Fermi球面對應(yīng)的能量，該能量可以采用Fermi球的半徑Fermi半徑kF來表示為 式中的是Dirac常數(shù)，m是自由電子的質(zhì)量。因此，金屬中的Fermi能級也就是導(dǎo)帶中自由電子填充的最高能級。pF=kF稱為Fermi動(dòng)量，vF=kF/m稱為Fermi速度。一般，金屬的Fermi能量約為1.515eV。對于絕緣體和半導(dǎo)體，F(xiàn)ermi能級則處于禁帶中間。特別是本征半導(dǎo)體和絕緣體，因?yàn)樗鼈兊牡膬r(jià)帶是填滿了價(jià)電子（占據(jù)幾率為100%）、導(dǎo)帶是完全空著的（占據(jù)幾率為0%），則它們的Fermi能級正好位于禁帶中央（占據(jù)幾率為50%）。即使溫度升

5、高時(shí)，本征激發(fā)而產(chǎn)生出了電子-空穴對，但由于導(dǎo)帶中增加的電子數(shù)等于價(jià)帶中減少的電子數(shù)，則禁帶中央的能級仍然是占據(jù)幾率為50%，所以本征半導(dǎo)體的Fermi能級的位置不隨溫度而變化，始終位于禁帶中央。Fermi能級實(shí)際上起到了衡量能級被電子占據(jù)的幾率大小的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的作用。在E<EF時(shí)，f(E) >1/2；在E>EF時(shí)，f(E) <1/2；在E=EF時(shí)，f(E)=1/2。譬如，當(dāng)(EEF) >5kT時(shí)，f(E) < 0.07，即比EF高5kT的能級被電子占據(jù)的幾率只有0.7%。因此，EF的高低（位置）就反映了能帶中的某個(gè)能級是否被電子所占據(jù)的情況。Fermi能級上

6、電子占據(jù)的幾率剛好為50%。在溫度不很高時(shí)，EF以上的能級基本上是空著的（例如，導(dǎo)帶就是如此，其中的自由電子很少），EF以下的能級基本上是被電子填滿了的（例如，價(jià)帶就填滿了價(jià)電子，其中的自由空穴很少）；在EF以上、并越靠近EF（即E-EF越小）的能級，被電子所占據(jù)的幾率就越大。對于n型半導(dǎo)體，因?yàn)閷?dǎo)帶中有較多的電子（多數(shù)載流子），則Fermi能級EF必將靠近導(dǎo)帶底（EC）；同時(shí)，摻入施主雜質(zhì)的濃度越高，F(xiàn)ermi能級就越靠近導(dǎo)帶底。上述分布函數(shù)f(E)是指電子占據(jù)能帶（導(dǎo)帶）中某個(gè)能級的幾率（電子的能量越往上越高）。如果是討論空穴載流子的話（空穴的能量越往下越高），那么就應(yīng)當(dāng)是相應(yīng)于價(jià)帶中某個(gè)

7、能級所空出（即沒有被電子占據(jù)）的幾率，所以空穴占據(jù)能帶（價(jià)帶）中某個(gè)能級的幾率可以給出為 對于p型半導(dǎo)體，因?yàn)閮r(jià)帶中有較多的自由空穴（多數(shù)載流子），則Fermi能級EF在價(jià)帶頂（EV）之上、并必將靠近EV；這時(shí)，價(jià)帶中越是靠近EF的的能級，就被空穴占據(jù)的幾率越大；同時(shí)，摻入受主的雜質(zhì)濃度越高，F(xiàn)ermi能級就越靠近價(jià)帶頂?？傊?，凡是EF靠近導(dǎo)帶底的半導(dǎo)體必將是電子導(dǎo)電為主的n型半導(dǎo)體，凡是EF靠近價(jià)帶頂?shù)陌雽?dǎo)體必將是空穴導(dǎo)電為主的p型半導(dǎo)體。當(dāng)然，如果EF處于禁帶中央，即兩種載流子分別占據(jù)導(dǎo)帶能級和價(jià)帶能級的幾率相等，則兩種載流子的數(shù)量也就差不多相等，那么這就必然是本征半導(dǎo)體，這時(shí)的

8、Fermi能級特稱為本征Fermi能級（用EFi表示，與禁帶中央線Ei一致）。由于Fermi-Dirac分布函數(shù)是載流子體系處于熱平衡狀態(tài)下的一種統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律。因此，也只有在（熱）平衡情況下才可采用此分布函數(shù)，并且也只有在這時(shí)Fermi能級才有意義。實(shí)際上，F(xiàn)ermi能級本來就是熱平衡電子系統(tǒng)的一個(gè)熱力學(xué)函數(shù)化學(xué)勢。由于在熱平衡狀態(tài)下整個(gè)系統(tǒng)具有統(tǒng)一的化學(xué)勢，因此整個(gè)電子系統(tǒng)、即使是復(fù)雜的混合體系，在熱平衡時(shí)也必將具有統(tǒng)一的一條Fermi能級。（3）Fermi能級與溫度和摻雜的關(guān)系：Si和GaAs半導(dǎo)體的Fermi能級與摻雜濃度的關(guān)系見圖1 。對于n型半導(dǎo)體，因?yàn)閾饺氲氖┲髟蕉啵瑢?dǎo)帶電子的濃度就越大，相應(yīng)地少數(shù)載流子空穴的濃度就越小，則Fermi能級也就越靠近導(dǎo)帶底。對于p型半導(dǎo)體亦然，摻雜濃度越高，F(xiàn)ermi能級就越靠近價(jià)帶頂。當(dāng)摻雜濃度高到一定程度時(shí)，甚至Fermi能級還有可能進(jìn)入到導(dǎo)帶或者價(jià)帶內(nèi)部。Si和GaAs半導(dǎo)體的Fermi能級與溫度的關(guān)系亦見圖2 。因?yàn)楫?dāng)溫度升高到一定程度時(shí)，不管是n型半導(dǎo)體還是p型半導(dǎo)體，它們都將轉(zhuǎn)變成為（高溫）本征半導(dǎo)