三十六 疊合圖形的面積

1、三十六 疊合圖形的面積為了說明什么是重疊問題，請聽下面一段師生對話老師：你家有幾口人？圖36-1學生：我家有兩對父子倆學生：不，我家有三口人同學們，你知道這是怎么回事嗎？如果你一時想不起來，那么圖36-1給出了問題的謎底原來，老師的錯誤在于他重疊地計算了“爸爸”一次老師所犯的錯誤決不是偶然的事實上，重疊問題經常給人們造成思維上的誤區(qū)和“陷阱”，使你犯錯誤或漏解看來，處理重疊問題在學習和研究中是必不可少的非常有必要來探討它重疊問題非常廣泛，下僅討論重疊的平面圖形的面積問題361每邊長為10厘米的正方形紙片，正中間挖了一個正方形的洞，成為一個寬度是1厘米的方框把5個這樣的方框放在桌面上成為如圖36

2、-2所示的圖案問桌面上被這些方框蓋住部分的面積是多少？圖36-2解法1每個正方形的面積為102平方厘米，挖去的正方形的面積是（10-1-1）2平方厘米，故每個方框的面積為102-82=36（平方厘米）圖中雖有5個這樣的方框，但有8個面積為1的小正方形是重疊的，故覆蓋桌面的面積為365-8=172（平方厘米）解法2每個方框的面積可這樣圖36-3求：它有四條邊（如圖36-3），每條邊長為9厘米，寬為1厘米，故每個方框面積為（91）4=36（平方厘米）再仿上可求桌面被覆蓋的面積為172平方厘米問題362如圖36-4，將長方形ABCD的寬增加5厘米，長減少3厘米，正好得到一個正方形，且正方形的面積比長

3、方形多45平方厘米求正方形的面積S分析顯然長方形ABCD與正方形有重疊部分，它是長方形ABEF因此正方形的面積比長方形多45平方厘米，可歸結為長方形HAFG的面積比長方形FECD的面積多45平方厘米圖36-4為了求得正方形的邊長，我們補一個長方形GFDK（因為補了后得到長方形GECK，此長方形不但與長方形HAFG等長，且這個長就是正方形的邊長）易算出長方形GFDK的面積是35=15（平方厘米），易見長方形HAFG的面積比長方形GECK的面積多45-15=30（平方厘米）但它們的長都是一樣的，且均為正方形的邊長，而它們的寬相差5-3=2（厘米），故長方形HAFG的面積比長方形GECK的面積多的那

4、30平方厘米就相當于一個長方形面積，此長方形的長與正方形的邊長相等，而寬為2所以正方形的邊長為302=15（厘米）故S=1515=225（平方厘米）問題363如圖36-5，正方形邊長為4厘米，以邊長為半徑，相對的兩個頂點為圓心在正方形內畫弧，構成圖中陰影部分的“葉形”求葉形的面積分析我們只會求正方形、長方形、圓、扇形、三角形、梯形的面積，圖中的“葉形”面積我們不會求，怎么辦呢？一個很自然的思路是：設法把所求面積轉化成上述已會求面積的圖形去求圖36-5下文中出現的S、S、S、S正分別表示區(qū)域、和正方形的面積 S=16-12.56=3.44（平方厘米）再由對稱性知：S=S=3.44平方厘米由圖可知

5、S=S正-S-S=16-23.44=9.12（平方厘米）注意：本題中正方形面積是一個定數，區(qū)域是一個不規(guī)則圖形“解法1”是用“互補思想”求得的S，同時又用到“對稱原理”才使問題得到解決212.56=25.12（平方厘米）由圖可知，此面積之和正好比正方形的面積多了一個S故S=25.12-S正=25.12-16=9.12（平方厘米）解法3如圖366，取一條對角線把“葉形”面積分成兩個相等的部圖36-612.56-8=4.56（平方厘米）故所求面積為24.56=9.12（平方厘米）由本問題求解可見，求疊合圖形的面積的方法有時不唯一，要注意擇優(yōu)選法問題 364圖367中，正方形邊長為2厘米，求陰影部分

6、的面積S解法1連如圖368所示的虛線，S就是ABC的面積減去兩個全等積，即解法2先求出圖369（1）中陰影部分的面積顯然正方形面積減掉一個整圓面積再除以2就是它的面積：（4-12）2=0.862=0.43（平方厘米）再把原圖分割成圖369（2）的形狀，區(qū)域是面積為1的正方形，而區(qū)域、合起來正好與圖（1）中陰影部分的面積相等，即S=10.43=1.43（平方厘米）解法3先求葉形的面積如圖3610，以每邊為直徑作半圓即得4個全等的葉形它們的面積之和為正方形面積減去圖369（1）中陰影部分面積的4倍，即4個葉形的面積和為4-40.43=2.28（平方厘米）故一個葉形面積為：2.284=0.57（平方

7、厘米）由圖367可見陰影部分的面積S=4-2半圓面積葉形面積=4-+0.57=1.43（平方厘米）問題365 圖3611里，中間4個陰影圖形面積的和與四周的四個陰影圖形面積之和哪個大？解設小圓半徑為r，則大圓半徑為2r4個小圓的面積之和為4（r2），而大圓的面積（2r）2也等于4r2，即它們相等由此易知4圓重疊的部分與空出的部分面積相等圖36-11即題中所述的兩個面積之和相等問題 366桌面上放置了3個面積為100平方厘米，且兩兩重疊的圓（如圖3612）這些圓蓋住桌面的總面積為144平方厘米，圖中疊了三層的面積是42平方厘米求圖中陰影部分的面積之和圖36-12分析中間的區(qū)域重疊了三層，而陰影部

8、分重疊了兩層首先三圓蓋住桌面積144平方厘米，已經將中間部分和陰影部分的面積各計算了一次，再只需要計算一次陰影部分面積和兩次中間部分面積就正好等于三圓總面積3100平方厘米由此得到下面的解法解陰影部分面積為310014424272（平方厘米）問題367國際奧委會的會旗上的圖案是由代表五大洲的五個環(huán)組成的，每個環(huán)內外直徑分別為8和10，如圖3613圖中兩兩相交的小曲邊四邊形（黑色部分）的面積相等已知5個環(huán)覆蓋的總面積是122.5，求每個小曲邊四邊形的面積（取3.14）圖36-13解因為環(huán)內、外半徑分別為4、5，故每個環(huán)的面積為52-42=9=28.26而 5個環(huán)的總面積為 528.26=141.

9、3，但覆蓋的面積只有122.5，則重疊的總面積為：141.3-122.5=18.8 重疊的小曲邊四邊形共有8個，故每個這樣的四邊形面積為：18.88=2.35問題 368求圖3614中陰影部分的面積S和周長C圖36-14分析在圖3614中，我們會求面積的圖形只有長方形和扇形要把圖中陰影部分通過“分”、“補”或“加”、“減”，組合轉化成長方形和扇形不但困難，簡直就是束手無策，我們另起一個思路：和這個和不但把長方形內兩塊非陰影部分（這個不在S中）的面積算進去了，而且把長方形內陰影面積也重復地算了一次，即一共正好多算了一個長方形的面積 問題369將圖36-15（1）中的三角形紙片沿虛線折疊得到的粗實

10、線圖形（圖（2）的面積與原三角形面積之比為23已知圖（2）中三個陰影三角形的面積之和為1，那么重疊部分的面積是多少？分析把折過去的小三角形重新翻回來如圖3616，則折疊后的圖形面積與原三角形除掉梯形ABCD后的面積正好相等因為折疊后的圖形面積是形ABCD的面積與梯形CDFE的面積相等，所以這兩個梯形的面積都與三個小三角形面積之和相等，故重疊部分的面積仍然為1問題3610大寶和小貝是一對孿生兄妹，今天滿8歲媽媽特意給他們訂做了一個面積為S的正方形生日蛋糕爸爸要大寶把蛋糕均分成四份，使家里一人吃一塊大寶首先切一塊給爸爸，但不小心把蛋糕切成了如圖3617的形狀（O是正方形的中心）妹妹小貝連忙責備大寶

11、，大寶也很難為情但爸爸、媽媽說大寶沒有切錯同學們你知道這是怎么回事嗎？可為此，延長 BO和 AO（如圖3617中的虛線），即得4個完全相同的四邊形故問題得證圖36-17實驗剪兩個面積為S的正方形，先固定其中一個而把另一個的某一頂點用針釘到固定的正方形中心點上，然后轉動后一個正方形，并觀察這兩個正方形重疊部分面積的變化情況不難發(fā)現，旋轉過程中有兩個特殊位置的疊合面就來證實這一猜想如圖3619，設四邊形OBCA是上述正方形轉到任一位置的重疊部分顯然要直接計算它的面積是困難的，只有來找它與特殊位置（比如圖3618（1）的關系為此，在圖3619中作出特殊位置的小正方形ONCM因為直角OMA與直角ONB完全一樣，故可把OMA割下來補到ONB的位置上，即得到四練 習 36 1圖3620