涵蓋所有高中數(shù)列求和的方法和典型例題

1、數(shù)列的求和1直接法：即直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求和。（1）等差數(shù)列的求和公式： （2）等比數(shù)列的求和公式（切記：公比含字母時(shí)一定要討論）2公式法： 3錯(cuò)位相減法：比如4裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差、正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng)。常見(jiàn)拆項(xiàng)公式： ； （三）例題分析：例1求和： 求數(shù)列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，前n項(xiàng)和思路分析：通過(guò)分組，直接用公式求和。解：（1）當(dāng)時(shí)，（2）當(dāng)總結(jié)：運(yùn)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，要注意公比討論。2錯(cuò)位相減法求和例2已知數(shù)列，求前n項(xiàng)和。思路分析：已知數(shù)列各項(xiàng)是等差數(shù)列1，3，5，2n-1與等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)積，可用錯(cuò)位相減法求和。解： 當(dāng) 當(dāng)3.

2、裂項(xiàng)相消法求和例3.求和思路分析:分式求和可用裂項(xiàng)相消法求和.解: 練習(xí):求 答案: 4.倒序相加法求和例4求證：思路分析：由可用倒序相加法求和。證：令則 等式成立1an是首項(xiàng)a11，公差為d3的等差數(shù)列，如果an2 005，則序號(hào)n等于( )解析：由題設(shè)，代入通項(xiàng)公式ana1(n1)d，即2 00513(n1)，n6992在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列an中，首項(xiàng)a13，前三項(xiàng)和為21，則a3a4a5解析：本題考查等比數(shù)列的相關(guān)概念，及其有關(guān)計(jì)算能力設(shè)等比數(shù)列an的公比為q(q0)，由題意得a1a2a321，即a1(1qq2)21，又a13，1qq27解得q2或q3(不合題意，舍去)，a3a4a5

3、a1q2(1qq2)3×22×7843如果a1，a2，a8為各項(xiàng)都大于零的等差數(shù)列，公差d0，則( B )Aa1a8a4a5Ba1a8a4a5Ca1a8a4a5Da1a8a4a5解析：由a1a8a4a5，排除C又a1·a8a1(a17d)a127a1d，a4·a5(a13d)(a14d)a127a1d 12d2a1·a84已知方程(x22xm)(x22xn)0的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為的等差數(shù)列，則mn等于( C )解法1：設(shè)a1，a2d，a32d，a43d，而方程x22xm0中兩根之和為2，x22xn0中兩根之和也為2，a1a2a3a416d4，

4、d，a1，a4是一個(gè)方程的兩個(gè)根，a1，a3是另一個(gè)方程的兩個(gè)根，分別為m或n，mn，故選Cf2：設(shè)方程的四個(gè)根為x1，x2，x3，x4，且x1x2x3x42，x1·x2m，x3·x4n由等差數(shù)列的性質(zhì)：若gspq，則agasapaq，若設(shè)x1為第一項(xiàng)，x2必為第四項(xiàng)，則x2，于是可得等差數(shù)列為，m，n，mn5等比數(shù)列an中，a29，a5243，則an的前4項(xiàng)和為S4120a29，a5243，q327， q3，a1q9，a13，6若數(shù)列an是等差數(shù)列，首項(xiàng)a10，a2 003a2 0040，a2 003·a2 0040，則使前n項(xiàng)和Sn0成立的最大自然數(shù)n是( )

5、4 005 4 0064 0074 008 解法1：由a2 003a2 0040，a2 003·a2 0040，知a2 003和a2 004兩項(xiàng)中有一正數(shù)一負(fù)數(shù)，又a10，則公差為負(fù)數(shù)，否則各項(xiàng)總為正數(shù)，故a2 003a2 004，即a2 0030，a2 0040.S4 0060，S4 007·(a1a4 007)·2a2 0040，故4 006為Sn0的最大自然數(shù). 選B(第6題)解法2：由a10，a2 003a2 0040，a2 003·a2 0040，同解法1的分析得a2 0030，a2 0040，S2 003為Sn中的最大值Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)

6、，如草圖所示，2 003到對(duì)稱(chēng)軸的距離比2 004到對(duì)稱(chēng)軸的距離小，在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)根據(jù)已知條件及圖象的對(duì)稱(chēng)性可得4 006在圖象中右側(cè)零點(diǎn)B的左側(cè)，4 007，4 008都在其右側(cè)，Sn0的最大自然數(shù)是4 0067已知等差數(shù)列an的公差為2，若a1，a3，a4成等比數(shù)列, 則a2826an是等差數(shù)列，a3a14，a4a16，又由a1，a3，a4成等比數(shù)列，(a14)2a1(a16)，解得a18，8設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若，則( )·19已知數(shù)列1，a1，a2，4成等差數(shù)列，1，b1，b2，b3，4成等比數(shù)列，則 設(shè)d和q分別為公差和公比，則413d且4(1)q4，d1，q2

7、2，10在等差數(shù)列an中，an0，an1an10(n2)，若S2n138，則n( 10 )an為等差數(shù)列，an1an1，2an，又an0，an2，an為常數(shù)數(shù)列，而an，即2n119，11設(shè)f(x)，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法，可求得f(5)f(4)f(0)f(5)f(6)的值為 .f(x)，f(1x)，f(x)f(1x)設(shè)Sf(5)f(4)f(0)f(5)f(6)，則Sf(6)f(5)f(0)f(4)f(5)，2Sf(6)f(5)f(5)f(4)f(5)f(6)6，Sf(5)f(4)f(0)f(5)f(6)312已知等比數(shù)列an中，(1)若a3·a4·a58

8、，則a2·a3·a4·a5·a6 由a3·a5，得a42，a2·a3·a4·a5·a632(2)若a1a2324，a3a436，則a5a6 ，a5a6(a1a2)q44(3)若S42，S86，則a17a18a19a20 .，a17a18a19a20S4q163214在等差數(shù)列an中，3(a3a5)2(a7a10a13)24，則此數(shù)列前13項(xiàng)之和為 .a3a52a4，a7a132a10，6(a4a10)24，a4a104，S132615在等差數(shù)列an中，a53，a62，則a4a5a1049 da6a55，a

9、4a5a107(a52d)17(1)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn3n22n，求證數(shù)列an成等差數(shù)列.(2)已知，成等差數(shù)列，求證，也成等差數(shù)列.判定給定數(shù)列是否為等差數(shù)列關(guān)鍵看是否滿(mǎn)足從第2項(xiàng)開(kāi)始每項(xiàng)與其前一項(xiàng)差為常數(shù)證明：（1）n1時(shí)，a1S1321，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn13n22n3(n1)22(n1)6n5，n1時(shí)，亦滿(mǎn)足，an6n5(nN*)首項(xiàng)a11，anan16n56(n1)56(常數(shù))(nN*)，數(shù)列an成等差數(shù)列且a11，公差為6（2），成等差數(shù)列，化簡(jiǎn)得2acb(ac) 2·，也成等差數(shù)列18設(shè)an是公比為 q 的等比數(shù)列，且a1，a3，a2成等差數(shù)列(1)求q的值

10、；(2)設(shè)bn是以2為首項(xiàng)，q為公差的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)n2時(shí)，比較Sn與bn的大小，并說(shuō)明理由（1）由題設(shè)2a3a1a2，即2a1q2a1a1q，a10，2q2q10，q1或（2）若q1，則Sn2n當(dāng)n2時(shí)，SnbnSn10，故Snbn若q，則Sn2n ()當(dāng)n2時(shí)，SnbnSn1，故對(duì)于nN+，當(dāng)2n9時(shí)，Snbn；當(dāng)n10時(shí)，Snbn；當(dāng)n11時(shí)，Snbn19數(shù)列an的前n項(xiàng)和記為Sn，已知a11，an1Sn(n1，2，3)求證：數(shù)列是等比數(shù)列an1Sn1Sn，an1Sn，(n2)Snn(Sn1Sn)，整理得nSn12(n1) Sn，所以故是以2為公比的等比數(shù)列20已知數(shù)列a

11、n是首項(xiàng)為a且公比不等于1的等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，a1，2a7，3a4成等差數(shù)列，求證：12S3，S6，S12S6成等比數(shù)列.證明：由a1，2a7，3a4成等差數(shù)列，得4a7a13a4，即4 a1q6a13a1q3， 變形得(4q31)(q31)0，q3或q31(舍) 由； 111q61； 得12S3，S6，S12S6成等比數(shù)列方法32 / 32四、數(shù)列通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系12題型一 歸納、猜想法求數(shù)列通項(xiàng)【例1】根據(jù)下列數(shù)列的前幾項(xiàng)，分別寫(xiě)出它們的一個(gè)通項(xiàng)公式 7，77，777，7777，1，3，3，5，5，7，7，9，9解析：將數(shù)列變形為，將已知數(shù)列變?yōu)?+0，2+1，3+0，4+1，

12、5+0，6+1，7+0，8+1，9+0，?？傻脭?shù)列的通項(xiàng)公式為點(diǎn)撥：本例的求解關(guān)鍵是通過(guò)分析、比較、聯(lián)想、歸納、轉(zhuǎn)換獲得項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的一般規(guī)律，從而求得通項(xiàng)。題型二 應(yīng)用求數(shù)列通項(xiàng)例2已知數(shù)列的前項(xiàng)和，分別求其通項(xiàng)公式. 解析：當(dāng)，當(dāng)又不適合上式，故 三、利用遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)【例3】根據(jù)下列各個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)和遞推關(guān)系，求其通項(xiàng)公式解析：因?yàn)?，所以所?以上個(gè)式相加得 即：點(diǎn)撥：在遞推關(guān)系中若求用累加法，若求用累乘法，若，求用待定系數(shù)法或迭代法。是數(shù)列成等差數(shù)列的充要條件。等差中項(xiàng)：若成等差數(shù)列，則稱(chēng)的等差中項(xiàng)，且；成等差數(shù)列是的充要條件。前項(xiàng)和公式 ； 是數(shù)列成等差數(shù)列的充要條件。判斷或證明一個(gè)

13、數(shù)列是等差數(shù)列的方法：定義法：是等差數(shù)列中項(xiàng)法：是等差數(shù)列通項(xiàng)公式法：是等差數(shù)列前項(xiàng)和公式法：是等2等差數(shù)列中，解3等差數(shù)列中，則前10或11項(xiàng)的和最大。解：為遞減等差數(shù)列為最大。4已知等差數(shù)列的前10項(xiàng)和為100，前100項(xiàng)和為10，則前110項(xiàng)和為110解：成等差數(shù)列，公差為D其首項(xiàng)為，前10項(xiàng)的和為 6.3等比數(shù)列知識(shí)要點(diǎn)1 定義：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，記為。2 遞推關(guān)系與通項(xiàng)公式3 等比中項(xiàng)：若三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則稱(chēng)為的等比中項(xiàng)，且為是成等比數(shù)列的必要而不充分條件。4 前項(xiàng)和公式5 等比數(shù)列的

14、基本性質(zhì)， 反之不真！ 為等比數(shù)列，則下標(biāo)成等差數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)成等比數(shù)列。 仍成等比數(shù)列。6 等比數(shù)列與等比數(shù)列的轉(zhuǎn)化 是等差數(shù)列是等比數(shù)列； 是正項(xiàng)等比數(shù)列是等差數(shù)列； 既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列是各項(xiàng)不為零的常數(shù)列。7 等比數(shù)列的判定法定義法：為等比數(shù)列；中項(xiàng)法：為等比數(shù)列； 通項(xiàng)公式法：為等比數(shù)列；前項(xiàng)和法：為等比數(shù)列。二、性質(zhì)運(yùn)用例2：在等比數(shù)列中，求，若 在等比數(shù)列中，若，則有等式成立，類(lèi)比上述性質(zhì)，相應(yīng)的在等比數(shù)列中，若則有等式 成立。 解：由等比數(shù)列的性質(zhì)可知： 由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，是等差數(shù)列，因?yàn)橛深}設(shè)可知，如果在等差數(shù)列中有成立，我們知道，如果，而對(duì)于等比數(shù)列，則有所以可以得出

15、結(jié)論，若成立，在本題中典例精析一、 錯(cuò)位相減法求和例1：求和： 解： 由得：點(diǎn)撥：若數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，則求數(shù)列的前項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法； 當(dāng)?shù)缺葦?shù)列公比為字母時(shí)，應(yīng)對(duì)字母是否為1進(jìn)行討論； 當(dāng)將與相減合并同類(lèi)項(xiàng)時(shí)，注意錯(cuò)位及未合并項(xiàng)的正負(fù)號(hào)。二、 裂項(xiàng)相消法求和例2：數(shù)列滿(mǎn)足=8， （） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；則所以，=8（1）×（2）102三、 奇偶分析法求和例3：設(shè)二次函數(shù) 1 在等差數(shù)列中，=1，前項(xiàng)和滿(mǎn)足 求數(shù)列的通項(xiàng)公式 記，求數(shù)列的前項(xiàng)和。解：設(shè)數(shù)列的公差為，由所以=由，有 所以 得課外練習(xí) 數(shù)列的前項(xiàng)和為，若等于（ B ）的定義域?yàn)?，且是?為周期的周期函數(shù)，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，那么的值為（ 0 ）A1 B1 C0 D10解：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，且是?為周期的周期函數(shù)，所以又?jǐn)?shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列故原式=0，選C。22.（2009全國(guó)卷理）在數(shù)列中，（I）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式（II）求數(shù)列的前項(xiàng)和分析：（I）由已知有利用累差迭加即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式: ()（II）由（I）知,=而,又是一個(gè)典型的錯(cuò)位相減法模型，易得 =17.(2009陜西卷理)設(shè)等差數(shù)列