Lingo軟件在數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的應(yīng)用

1、2010年8月十堰職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)Aug.,2010第23卷第4期Journal of Shiyan T echnical Institute V ol.23No.4 Lingo軟件在數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的應(yīng)用金晶晶(福建交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部,福建福州350007摘要針對(duì)三道全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽賽題,利用Lingo軟件對(duì)模型進(jìn)行求解,并分析了Lingo軟件在求解較大規(guī)模數(shù)學(xué)規(guī)劃模型所發(fā)揮的作用。關(guān)鍵詞Lingo軟件;數(shù)學(xué)建模;數(shù)學(xué)規(guī)劃;曲線擬合中圖分類號(hào)O141.4文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A文章編號(hào)100824738(20100420085204數(shù)學(xué)建模(Mathematical Modeling是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界

2、的一個(gè)特定對(duì)象,為了一個(gè)特定目的,根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律,作出一些必要的簡(jiǎn)化假設(shè),運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具,得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過程1。Lingo是Linear Interactive and General Opti2 mizer的縮寫。Lingo軟件是美國芝加哥大學(xué)的Li2 nus Schrage教授于1980年前后開發(fā)出來的一套專門用于求解最優(yōu)化問題的軟件包,即/交互式的線性和通用優(yōu)化求解器0,包括功能強(qiáng)大的建模語言,建立和編輯問題的全功能環(huán)境,讀取和寫入Excel和數(shù)據(jù)庫的功能,以及一系列完全內(nèi)置的求解程序。使用者甚至不需要指定或啟動(dòng)特定的求解器,因?yàn)長(zhǎng)ingo會(huì)讀取方程式并自動(dòng)選擇合適的求解器。

3、目前Lingo產(chǎn)品已經(jīng)有Lingo8.0版本,新版本的求解規(guī)模都在原有基礎(chǔ)上得到進(jìn)一步加強(qiáng)。Lingo軟件的最大特色在于其具有的快速建構(gòu)模型、輕松編輯數(shù)據(jù)、強(qiáng)大求解工具、交互式模型或建立完成應(yīng)用、豐富的文件支持?？v觀近幾年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽賽題,參賽者大都需要處理較復(fù)雜的數(shù)學(xué)規(guī)劃和曲線擬合等問題,模型的建立與求解較為復(fù)雜、計(jì)算量大,而matlab、mathmatica等軟件語法比較復(fù)雜不易掌握。Lingo軟件程序簡(jiǎn)潔、計(jì)算精度高、結(jié)果可靠、易于修改和擴(kuò)展,其內(nèi)部建模語言是建立與求解大規(guī)模數(shù)學(xué)規(guī)劃模型的有力武器。2000年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽B題(鋼管訂購和運(yùn)輸中的最小費(fèi)用流問題、2004

4、年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽C題(酒后駕車的曲線擬合問題、2006年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中C題(易拉罐的最優(yōu)設(shè)計(jì)的非線性規(guī)劃問題都可以充分展示用Lingo建模語言求解的優(yōu)越性。1非線性規(guī)劃模型歷年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽都需解決最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃、最優(yōu)分配最優(yōu)設(shè)計(jì)、最優(yōu)決策、最佳管理等較為復(fù)雜的非線性規(guī)劃問題,模型由決策變量、目標(biāo)函數(shù)、約束條件三個(gè)要素組成,其計(jì)算量較大,可用Lingo軟件求解。2006/高教社杯0全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽C題3第二小題,設(shè)易拉罐是一個(gè)正圓柱體,什么是它的最優(yōu)設(shè)計(jì)?經(jīng)測(cè)量得圓柱的上底厚度為a=0.036c m、下底厚度為c=0.040c m、圓柱側(cè)壁厚度為b=0.012 c

5、 m?？紤]易拉罐設(shè)計(jì)美觀性、便于把握以及材料節(jié)省等因素,于是建立目標(biāo)規(guī)劃模型如下:目標(biāo)函數(shù):min W=b2P Rh+(a+cP R2約束條件:V=P R2>3552R/h=0.618P r218.56,h8.71R>0,h>0,a=0.036,b=0.012利用Lingo8.0編程如下:Model:min=b*2*3.14159*R*h+(a+c*3.14159*R2;!以上是目標(biāo)函數(shù),以下為約束條件;3.14159*R2*h>355;2*R/h=0.618;3.14159*R2=18.56;85*收稿日期2010206220基金項(xiàng)目福建交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院科技發(fā)展基金(

6、Ky1001。作者簡(jiǎn)介金晶晶(1983-,男,福建交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部助教,理學(xué)碩士,研究方向:組合數(shù)學(xué)與圖論。h>=8.71;R>0;h>0;a=0.036;c=0.040;b=0.012;EndLingo 以語句Model 開始,以語句End 結(jié)束,這兩個(gè)語句單獨(dú)成一行。語句分為集合定義部分、數(shù)據(jù)初始化部分、目標(biāo)函數(shù)、約束條件部分,這幾個(gè)部分的先后次序無關(guān)緊要。min 開頭的語句表示求目標(biāo)函數(shù)最小值。/!0開頭的語句是注釋語句,Lingo 不作運(yùn)行,每條中間語句必須以/;0號(hào)作為結(jié)尾。注意乘號(hào)不能省略,語句不計(jì)大小寫。運(yùn)行SOVLE,得部分結(jié)果如下:Local opti

7、mal solution found at iteration:1151Objective value: 5.157389VariableValue Reduced Cost B 0.1200000E-010.000000R 3.2684800.000000H 10.577600.000000A 0.3600000E-010.000000C 0.4000000E-010.000000R25.9078360.000000即底面半徑為3.268480,圓柱體高為10.57760時(shí),用料體積為5.157389,此為最優(yōu)設(shè)計(jì)。第三題亦可按此方法迎刃而解。上例充分體現(xiàn)Lingo 其簡(jiǎn)單易學(xué)、方便快捷的優(yōu)

8、越性。2 曲線擬合模型曲線擬合在眾多領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用,將曲線擬合問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)規(guī)劃模型,并使用Lingo 軟件來求解,該方法簡(jiǎn)便快捷,是實(shí)現(xiàn)曲線擬合的一個(gè)有效方法。2004年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽C 題(酒后駕車中給出某人短時(shí)間內(nèi)喝下兩瓶啤酒后,間隔一定時(shí)間得到數(shù)據(jù)。以下建立無約束的非線性規(guī)劃模型2。間隔一定時(shí)間t 測(cè)量他的血液中酒精含量y (毫克/百毫升,得到數(shù)據(jù)如表1:表1 2004年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽C 題(酒后駕車數(shù)據(jù)時(shí)間(小時(shí)0.250.50.751 1.52 2.53 3.54 4.55酒精含量306875828277686858515041時(shí)間(小時(shí)6789101112

9、13141516酒精含量3835282518151210774題目要求結(jié)合給定數(shù)據(jù)建立飲酒后血液中酒精濃度的數(shù)學(xué)模型。通過建立微分方程模型得到短時(shí)間內(nèi)喝酒后血液中酒精濃度與時(shí)間的關(guān)系為:y =a 1(e -a 2t -e -a 3t 求均方誤差Q(a 1,a 2,a 3=Eni =1a 1(e-a 2t-e-a 3t-y i 2取極小值的待定系數(shù),即為最小二乘解。下面用Lingo 軟件求解,具體算法如下:MODEL: SETS:BAC/R1.R23/:T,Y; ENDSET S DA TA:T=0.25,0.5,0.75,1,1.5,2,2.5,3,3.5,4,4.5,5,6,7,8,9,10

10、,11,12,13,14,15,16;Y=30,68,75,82,82,77,68,68,58,51,50,41,38,35,28,25,18,15,12,10,7,7,4; ENDDATAMIN =SU M(BAC:(A 1*(EXP(-A2*T -EXP(-A3*T-Y2;END以上程序中,SETS 和ENDSET S 之間的語句是對(duì)集合作定義,在此所定義的BAC 是包含23個(gè)成員的集合,T 和Y 是BAC 的兩個(gè)屬性,分別表示時(shí)間t 和血液中酒精濃度y,它們都是含有23個(gè)成員的一維數(shù)組。DAT A 和ENDDAT A 之間的語句是對(duì)T 和Y 的進(jìn)行賦值,其中SUM 和EXP 是Lingo

11、 提供的內(nèi)部函數(shù),SU M 的作用是對(duì)某個(gè)集合的所有成員求某個(gè)表達(dá)式的和,該函數(shù)需要兩個(gè)參數(shù),第一個(gè)參數(shù)為集合名稱,指定對(duì)該集合的所有成員求和,此處第一個(gè)參數(shù)是BAC,它有23個(gè)成員,則求和運(yùn)算對(duì)這23個(gè)成員進(jìn)行。第二個(gè)參數(shù)是一個(gè)表達(dá)式,表示求和運(yùn)算對(duì)該表達(dá)式進(jìn)行,兩個(gè)參數(shù)之間用/:0號(hào)隔開。如果有約束條件,可放在目標(biāo)函數(shù)之后,此處沒有約束條件,故目標(biāo)函數(shù)之后即以END 結(jié)束整個(gè)程序。點(diǎn)擊SOLVE,運(yùn)行結(jié)果如下:Local optimal solution found at iter ation:98 Objective value:225.3417VariableValue Reduced

12、 Cost A1114.43230.3477201E-08A20.18550140.000000A32.0079440.5661852E-07即:A1=114.4323,A2=0.1855014,A3= 2.007944,目標(biāo)函數(shù)最小值為225.3417。LINGO 求多元函數(shù)極小值時(shí)內(nèi)部所采用的算法效率高、速度快、精度高。用于非線性曲線擬合時(shí),對(duì)擬合函數(shù)的形式無任何限制,無需初始值,能準(zhǔn)確地得到回歸系數(shù)的最小二乘解,計(jì)算精度高,程序簡(jiǎn)潔。3 最小費(fèi)用流模型運(yùn)籌學(xué)的交通運(yùn)輸問題中,往往要求在完成運(yùn)輸86金晶晶:Lingo 軟件在數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的應(yīng)用任務(wù)的前提下,尋求一個(gè)使總運(yùn)輸費(fèi)用最省的運(yùn)輸方

13、案,這就是最小費(fèi)用流問題。如果只考慮單位貨物的運(yùn)輸費(fèi)用,那么這個(gè)問題就變成最短路問題。模型的傳統(tǒng)求解迭代次數(shù)太多,比較復(fù)雜,而matlab 、math 2matica 等軟件語法復(fù)雜不易編程,Lingo8.0其內(nèi)部語言為解決該類問題的強(qiáng)有力武器。2000年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽B 題/鋼管的訂購和運(yùn)輸0是一道離散優(yōu)化問題。如圖1,有7家鋼管生產(chǎn)廠S i (i =1,2,7,提供鋼管到一條擬鋪設(shè)鋼管的天然氣輸送主管道上的15個(gè)站點(diǎn)A j (j =1,2,15。鋼管可通過公路和鐵路運(yùn)至鋪設(shè)地點(diǎn),圖中粗線表示鐵路,單細(xì)線表示公路,雙細(xì)線表示要鋪設(shè)的管道(假設(shè)沿管道或者原有公路,或者建有施工公路,空心

14、圓點(diǎn)表示火車站。鋼管運(yùn)到站點(diǎn)后由各站點(diǎn)沿管道向兩邊鋪設(shè)直至合攏。該題要求制定鋼管訂購和運(yùn)輸?shù)膬?yōu)化計(jì)劃,使總費(fèi) 用最小。圖1 天然氣輸送主管道圖欲解決該問題首先需確定從S i 至A j 的最優(yōu)路徑,從而確定出鋼管從i 地運(yùn)往j 地的最小運(yùn)費(fèi),即求解最小費(fèi)用流問題。根據(jù)該題的需要,不妨設(shè)從S i 至A j 的鋼管經(jīng)過鐵路后,一旦走公路,則不會(huì)再通過鐵路運(yùn)輸。下以S 2為例,計(jì)算S 2至A j 的最優(yōu)路徑。圖1中B k /L k (k=16,2,32中表示S 2至沿鐵路至火車站B k 的費(fèi)用為L(zhǎng) k 。問題轉(zhuǎn)化為求以S i 為起點(diǎn)、A j 為終點(diǎn)的賦權(quán)圖的最短路徑問題。由Dijkstra 算法,運(yùn)用

15、Lingo8.0編程如下:MODEL:SET S:CIT IES/1.33/:F;ROADS(CITIES,CITIES/1,22,32,163,43,174,54,185,65,196,76,207,87,217,228,98,239,109,2410,1110,2511,1211,2612,1312,2713,1413,2814,1514,2914,3015,3115,3216,3317,3318,3319,3320,3321,3322,3323,3324,3325,3326,3327,3328,3329,3330,3331,3332,33/:D ENDSETS DAT A:D=10.43

16、0.10.375.00.260.66019.4120.50.520.11.03.168.01.248.04.230.07.022.01.021.01.042.06.250.011.03.02.02.0205.0190.0125.0110.095.085.085.070.0110.0135.0145.0155.0165.0180.0175.0190.0190.0;ENDDAT AF(SIZE(CIT IES=0;FOR(CIT IES(i|i#LT#SIZE(CIT IES:F(i=MIN(ROADS(i,j:D(i,j+F(j;END以上SETS 開始至ENDSETS 結(jié)束的內(nèi)容是定義所有的邊

17、。/CITIES/1.33/:F;0是用集合CITIES 定義一維變量F,其格式為:/setname/memberlist(or1.n/:attribute,.0,一個(gè)集合只需要給出維數(shù)(mem 287十堰職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)2010年第4期第23卷第4期berlist,用1.n表示或其他文字符號(hào)表示或用集合表示,后接具有該維數(shù)的變量(attribute。以上DA T A 開始至ENDD A TA結(jié)束的內(nèi)容是賦以上各邊以相應(yīng)的權(quán)。Dijkstra算法的循環(huán)語句為:/FOR(CITIES( i|i#LT#SIZE(CITIES:F(i=MIN( ROAD S(i,j:D(i,j+F(j;0,其中邏輯

18、運(yùn)算符/#LT#0表示小于。運(yùn)行此程序,得部分結(jié)果如下:Feasible solution found at iter ation:0 Variable V alueF(1215.7000F(2205.3000即可求得單位鋼管從S2到A j的最小運(yùn)費(fèi)F(j (j=1,15如下:表2單位鋼管從S2到A j的最小運(yùn)費(fèi)F(j單位鋼管的運(yùn)輸費(fèi)F(j單位鋼管的運(yùn)輸費(fèi)F(1215.7000F(2205.3000F(3190.2000F(4171.6000F(5111.0000F(695.50000F(786.00000F(871.20000F(9114.2000F(10142.0000F(11146.00

19、00F(12156.0000F(13171.2000F(14178.0000F(15192.0000同理可求得S1,S3,S4,S5,S7,S7各點(diǎn)到目的點(diǎn)的最優(yōu)單位運(yùn)費(fèi)。經(jīng)定量分析可得較合理的方案為:S1,S2,S3負(fù)責(zé)往鋪設(shè)點(diǎn)A1至A9供應(yīng)鋼管,S4、S5、S6、S7負(fù)責(zé)往A8至A15供應(yīng)鋼管。Lingo軟件內(nèi)置建模語言以較少的語句、直觀的方式描述較大規(guī)模的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型。其中, SU M、For和IF等語句的應(yīng)用,極大地方便了數(shù)學(xué)模型的建立。此外,由曲線擬合模型可得,可以將原先不屬于優(yōu)化問題的模型,利用Lingo軟件內(nèi)部建模語言進(jìn)行求解,較之傳統(tǒng)的求解方法更簡(jiǎn)單。在實(shí)際應(yīng)用領(lǐng)域,Lingo其線性、非線性和整數(shù)規(guī)劃求解程序已經(jīng)被全世界數(shù)千萬的公司用來做最大化利潤(rùn)和最小化成本的分析。Lingo能在產(chǎn)品分銷、成分混合、生產(chǎn)與個(gè)人事務(wù)安排、存貨管理、生產(chǎn)線性規(guī)劃、運(yùn)輸、財(cái)務(wù)金融、投資分配、資本預(yù)算、混合排程、庫存管理、資源配置等問題的數(shù)學(xué)建模中發(fā)揮巨大作用。參考文獻(xiàn)1姜啟源,謝金星,葉俊.數(shù)學(xué)模型:第三版M.北京