北師大版初三下冊數(shù)學(xué)知識點總結(jié)

1、第一章 直角三角形邊的關(guān)系一. 正切：定義：在RtABC中，銳角A的對邊與鄰邊的比叫做A的正切，記作tanA，即;tanA是一個完整的符號，它表示A的正切，記號里習(xí)慣省去角的符號“”；tanA沒有單位，它表示一個比值，即直角三角形中A的對邊與鄰邊的比；tanA不表示“tan”乘以“A”；初中階段，我們只學(xué)習(xí)直角三角形中，A是銳角的正切；tanA的值越大，梯子越陡，A越大；A越大，梯子越陡，tanA的值越大。二. 正弦：定義：在RtABC中，銳角A的對邊與斜邊的比叫做A的正弦，記作sinA，即;三. 余弦：定義：在RtABC中，銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做A的余弦，記作cosA，即;余切：定義：在

2、RtABC中，銳角A的鄰邊與對邊的比叫做A的余切，記作cotA，即;一個銳角的正弦、余弦、正切、余切分別等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。0º30 º45 º60 º90 ºsin01cos10tan01cot10（通常我們稱正弦、余弦互為余函數(shù)。同樣，也稱正切、余切互為余函數(shù)，可以概括為：一個銳角的三角函數(shù)等于它的余角的余函數(shù)）用等式表達(dá)：若A為銳角，則； ； 當(dāng)從低處觀測高處的目標(biāo)時，視線與水平線所成的銳角稱為仰角當(dāng)從高處觀測低處的目標(biāo)時，視線與水平線所成的銳角稱為俯角圖1利用特殊角的三角函數(shù)值表，可以看出，(1)當(dāng)角度在0°

3、90°間變化時，正弦值、正切值隨著角度的增大(或減小)而增大(或減小)；余弦值、余切值隨著角度的增大(或減小)而減小(或增大)。(2)0sin1，0cos1。同角的三角函數(shù)間的關(guān)系：倒數(shù)關(guān)系：tg·ctg=1。在直角三角形中，除直角外，一共有五個元素，即三條邊和二個銳角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形。在ABC中，C為直角，A、B、C所對的邊分別為a、b、c，則有 (1)三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2；(2)兩銳角的關(guān)系：AB=90°； (3)邊與角之間的關(guān)系：(4)面積公式:(hc為C邊上的高); (5)直角三角形的

4、內(nèi)切圓半徑 (6)直角三角形的外接圓半徑解直角三角形的幾種基本類型列表如下：圖2hi=h:llABC解直角三角形的幾種基本類型列表如下：圖3圖4 如圖2，坡面與水平面的夾角叫做坡角 (或叫做坡比)。用字母i表示，即從某點的指北方向按順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角，叫做方位角。如圖3，OA、OB、OC的方位角分別為45°、135°、225°。指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如圖4，OA、OB、OC、OD的方向角分別是；北偏東30°，南偏東45°(東南方向)、南偏西為60°，北偏西60°。

5、第二章 二次函數(shù)二次函數(shù)的概念：形如(、b、c是常數(shù),0)的函數(shù)，叫做x的二次函數(shù)。自變量的取值范圍是全體實數(shù)。 是二次函數(shù)的特例，此時常數(shù)b=c=0.在寫二次函數(shù)的關(guān)系式時，一定要尋找兩個變量之間的等量關(guān)系，列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，并確定自變量的取值范圍。二次函數(shù)yax2的圖象是一條頂點在原點關(guān)于y軸對稱的曲線，這條曲線叫做拋物線。描述拋物線常從開口方向、對稱性、y隨x的變化情況、拋物線的最高（或最低）點、拋物線與x軸的交點等方面來描述。函數(shù)的取值范圍是全體實數(shù)；拋物線的頂點在(0，0)，對稱軸是y軸(或稱直線x0)。當(dāng)a0時，拋物線開口向上，并且向上方無限伸展。當(dāng)a0時，拋物線開口向下，并且

6、向下方無限伸展。函數(shù)的增減性：A、當(dāng)a0時 B、當(dāng)a0時當(dāng)a越大，拋物線開口越??；當(dāng)a越小，拋物線的開口越大。最大值或最小值：當(dāng)a0，且x0時函數(shù)有最小值，最小值是0；當(dāng)a0，且x0時函數(shù)有最大值，最大值是0。二次函數(shù)的圖象是一條頂點在y軸上且與y軸對稱的拋物線二次函數(shù)的圖象是以為對稱軸，頂點在（，）的拋物線。（開口方向和大小由a來決定）|a|的越大，拋物線的開口程度越小，越靠近對稱軸y軸，y隨x增長（或下降）速度越快；|a|的越小，拋物線的開口程度越大，越遠(yuǎn)離對稱軸y軸，y隨x增長（或下降）速度越慢。二次函數(shù)的圖象中，a的符號決定拋物線的開口方向，|a|決定拋物線的開口程度大小，c決定拋物線

7、的頂點位置，即拋物線位置的高低。二次函數(shù)的圖象與yax2的圖象的關(guān)系： 的圖象可以由yax2的圖象平移得到，其步驟如下： 將配方成的形式；（其中h=，k=）；把拋物線向右（h>0）或向左（h<0）平移|h|個單位，得到y(tǒng)=a(x-h)2的圖象；再把拋物線向上（k>0）或向下（k<0）平移| k|個單位，便得到的圖象。二次函數(shù)的性質(zhì)：二次函數(shù)配方成則拋物線的對稱軸：x= 頂點坐標(biāo)：（，）增減性：若a>0，則當(dāng)x<時，y隨x的增大而減??；當(dāng)x>時，y隨x的增大而增大。若a<0，則當(dāng)x<時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x>時，y隨x的增大而減小。

8、最值：若a>0，則當(dāng)x=時，； 若a<0，則當(dāng)x=時，畫二次函數(shù)的圖象： 我們可以利用它與函數(shù)的關(guān)系，平移拋物線而得到，但往往我們采用簡化了的描點法-五點法來畫二次函數(shù)來畫二次函數(shù)的圖象，其步驟如下： 先找出頂點（，），畫出對稱軸x=；找出圖象上關(guān)于直線x=對稱的四個點（如與坐標(biāo)的交點等）；把上述五點連成光滑的曲線。¤二次函數(shù)的最大值或最小值可以通過將解析式配成y=a(x-h)2+k的形式求得，也可以借助圖象觀察。¤解決最大（?。┲祮栴}的基本思路是： 理解問題；分析問題中的變量和常量，以及它們之間的關(guān)系；用數(shù)學(xué)的方式表示它們之間的關(guān)系；做數(shù)學(xué)求解；檢驗結(jié)果的合理

9、性、拓展性等。二次函數(shù)的圖象(拋物線)與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)x1，x2是對應(yīng)一元二次方程的兩個實數(shù)根拋物線與x軸的交點情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定： >0 <=> 拋物線與x軸有2個交點； =0 <=> 拋物線與x軸有1個交點； <0 <=> 拋物線與x軸有0個交點（無交點）；當(dāng)>0時，設(shè)拋物線與x軸的兩個交點為A、B，則這兩個點之間的距離：化簡后即為： - 這就是拋物線與x軸的兩交點之間的距離公式。第三章 圓一. 車輪為什么做成圓形1. 圓的定義： 描述性定義：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端

10、點A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圓形叫做圓；固定的端點O叫做圓心；線段OA叫做半徑；以點O為圓心的圓，記作O，讀作“圓O” 集合性定義：圓是平面內(nèi)到定點距離等于定長的點的集合。其中定點叫做圓心，定長叫做圓的半徑，圓心定圓的位置，半徑定圓的大小，圓心和半徑確定的圓叫做定圓。對圓的定義的理解：圓是一條封閉曲線，不是圓面；圓由兩個條件唯一確定：一是圓心（即定點），二是半徑（即定長）。2. 點與圓的位置關(guān)系及其數(shù)量特征： 如果圓的半徑為r，點到圓心的距離為d，則 點在圓上 <=> d=r;點在圓內(nèi) <=> d<r;點在圓外 <=> d>r.其中點在圓上的數(shù)量特征是重

11、點，它可用來證明若干個點共圓，方法就是證明這幾個點與一個定點、的距離相等。二. 圓的對稱性: 1. 與圓相關(guān)的概念：弦和直徑： 弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦。 直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑?；?、半圓、優(yōu)弧、劣?。夯。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧，用符號“”表示，以CD為端點的弧記為“”，讀作“圓弧CD”或“弧CD”。半圓：直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧叫做半圓。優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)弧。劣?。盒∮诎雸A的弧叫做劣弧。(為了區(qū)別優(yōu)弧和劣弧，優(yōu)弧用三個字母表示。)弓形：弦及所對的弧組成的圖形叫做弓形。同心圓：圓心相同，半徑不等的兩個圓叫做同心圓。等圓：能夠完全重合的兩個圓叫做等圓，

12、半徑相等的兩個圓是等圓。等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角.弦心距:從圓心到弦的距離叫做弦心距.2. 圓是軸對稱圖形，直徑所在的直線是它的對稱軸，圓有無數(shù)條對稱軸。3. 垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。說明：根據(jù)垂徑定理與推論可知對于一個圓和一條直線來說，如果具備： 過圓心；垂直于弦；平分弦；平分弦所對的優(yōu)??；平分弦所對的劣弧。 上述五個條件中的任何兩個條件都可推出其他三個結(jié)論。4. 定理：在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧相等、所對的弦相等、所對的弦心距

13、相等。推論: 在同圓或等圓中,如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等,那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等.三. 圓周角和圓心角的關(guān)系:1.1°的弧的概念: 把頂點在圓心的周角等分成360份時,每一份的角都是1°的圓心角,相應(yīng)的整個圓也被等分成360份,每一份同樣的弧叫1°弧.2. 圓心角的度數(shù)和它所對的弧的度數(shù)相等.這里指的是角度數(shù)與弧的度數(shù)相等,而不是角與弧相等.即不能寫成AOB= ,這是錯誤的.3. 圓周角的定義: 頂點在圓上,并且兩邊都與圓相交的角,叫做圓周角.4. 圓周角定理: 一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.推論1:

14、同弧或等弧所對的圓周角相等；反之，在同圓或等圓中，相等圓周角所對的弧也相等；推論2: 半圓或直徑所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑；四. 確定圓的條件:1. 理解確定一個圓必須的具備兩個條件: 圓心和半徑,圓心決定圓的位置,半徑?jīng)Q定圓的大小. 經(jīng)過一點可以作無數(shù)個圓,經(jīng)過兩點也可以作無數(shù)個圓,其圓心在這個兩點線段的垂直平分線上.2. 經(jīng)過三點作圓要分兩種情況:(1)經(jīng)過同一直線上的三點不能作圓.(2)經(jīng)過不在同一直線上的三點,能且僅能作一個圓.定理: 不在同一直線上的三個點確定一個圓.3. 三角形的外接圓、三角形的外心、圓的內(nèi)接三角形的概念: (1)三角形的外接圓和圓的

15、內(nèi)接三角形: 經(jīng)過一個三角形三個頂點的圓叫做這個三角形的外接圓,這個三角形叫做圓的內(nèi)接三角形.(2)三角形的外心: 三角形外接圓的圓心叫做這個三角形的外心.(3)三角形的外心的性質(zhì):三角形外心到三頂點的距離相等.五. 直線與圓的位置關(guān)系1. 直線和圓相交、相切相離的定義:(1)相交: 直線與圓有兩個公共點時,叫做直線和圓相交,這時直線叫做圓的割線.(2)相切: 直線和圓有惟一公共點時,叫做直線和圓相切,這時直線叫做圓的切線,惟一的公共點做切點.(3)相離: 直線和圓沒有公共點時,叫做直線和圓相離.2. 直線與圓的位置關(guān)系的數(shù)量特征: 設(shè)O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d；d<r <

16、;=> 直線L和O相交.d=r <=> 直線L和O相切.d>r <=> 直線L和O相離.3. 切線的總判定定理: 經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這個條半徑的直線是圓的切線.4. 切線的性質(zhì)定理: 圓的切線垂直于過切點的半徑.推論1 經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點.推論2 經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.分析性質(zhì)定理及兩個推論的條件和結(jié)論間的關(guān)系,可得如下結(jié)論:如果一條直線具備下列三個條件中的任意兩個,就可推出第三個.垂直于切線; 過切點; 過圓心.5. 三角形的內(nèi)切圓、內(nèi)心、圓的外切三角形的概念. 和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓,內(nèi)切圓的圓心

17、叫做三角形的內(nèi)心, 這個三角形叫做圓的外切三角形.6. 三角形內(nèi)心的性質(zhì): (1)三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等.(2)過三角形頂點和內(nèi)心的射線平分三角形的內(nèi)角.由此性質(zhì)引出一條重要的輔助線: 連接內(nèi)心和三角形的頂點,該線平分三角形的這個內(nèi)角.六. 圓和圓的位置關(guān)系.1. 外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含(包括同心圓)這五種位置關(guān)系的定義.(1)外離: 兩個圓沒有公共點,并且每個圓上的點都在另一個圓的外部時,叫做這兩個圓外離.(2)外切: 兩個圓有惟一的公共點,并且除了這個公共點以外,每個圓上的點都在另一個圓的外部時, 叫做這兩個圓外切.這個惟一的公共點叫做切點.(3)相交: 兩個圓有兩個公共點,此

18、時叫做這個兩個圓相交.(4)內(nèi)切: 兩個圓有惟一的公共點,并且除了這個公共點以外,一個圓上的都在另一個圓的內(nèi)部時,叫做這兩個圓內(nèi)切.這個惟一的公共點叫做切點.(5)內(nèi)含: 兩個圓沒有公共點, 并且一個圓上的點都在另一個圓的內(nèi)部時,叫做這兩個圓內(nèi)含.兩圓同心是兩圓內(nèi)的一個特例.2. 兩圓位置關(guān)系的性質(zhì)與判定:(1)兩圓外離 <=> d>R+r(2)兩圓外切 <=> d=R+r(3)兩圓相交 <=> R-r<d<R+r (Rr)(4)兩圓內(nèi)切 <=> d=R-r (R>r)(5)兩圓內(nèi)含 <=> d<R-r

19、(R>r)3. 相切兩圓的性質(zhì): 如果兩個圓相切,那么切點一定在連心線上.4. 相交兩圓的性質(zhì):相交兩圓的連心線垂直平分公共弦.七. 弧長及扇形的面積1. 圓周長公式: 圓周長C=2R (R表示圓的半徑)2. 弧長公式: 弧長 (R表示圓的半徑, n表示弧所對的圓心角的度數(shù))3. 扇形定義:一條弧和經(jīng)過這條弧的端點的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形.4. 弓形定義:由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形. 弓形弧的中點到弦的距離叫做弓形高.5. 圓的面積公式.圓的面積 (R表示圓的半徑)6. 扇形的面積公式:扇形的面積 (R表示圓的半徑, n表示弧所對的圓心角的度數(shù))弓形的面積公式: (1)當(dāng)弓

20、形所含的弧是劣弧時, (2)當(dāng)弓形所含的弧是優(yōu)弧時, (3)當(dāng)弓形所含的弧是半圓時, 八. 圓錐的有關(guān)概念:1. 圓錐可以看作是一個直角三角形繞著直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的圖形,另一條直角邊旋轉(zhuǎn)而成的面叫做圓錐的底面,斜邊旋轉(zhuǎn)而成的面叫做圓錐的側(cè)面.2. 圓錐的側(cè)面展開圖與側(cè)面積計算:圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形,這個扇形的半徑是圓錐側(cè)面的母線長、弧長是圓錐底面圓的周長、圓心是圓錐的頂點.如果設(shè)圓錐底面半徑為r,側(cè)面母線長(扇形半徑)是l, 底面圓周長(扇形弧長)為c,那么它的側(cè)面積是:¤九. 與圓有關(guān)的輔助線1.如圓中有弦的條件,常作弦心距,或過弦的一端作半徑為輔助線.2.如圓

21、中有直徑的條件,可作出直徑上的圓周角.3.如一個圓有切線的條件,常作過切點的半徑(或直徑)為輔助線.4.若條件交代了某點是切點時,連結(jié)圓心和切點是最常用的輔助線.¤十. 圓內(nèi)接四邊形若四邊形的四個頂點都在同一個圓上,這個四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形,這個圓叫做這個四邊形的外接圓.圓內(nèi)接四邊形的特征: 圓內(nèi)接四邊形的對角互補; 圓內(nèi)接四邊形任意一個外角等于它的內(nèi)錯角.十一.北師版數(shù)學(xué)未出現(xiàn)的有關(guān)圓的性質(zhì)定理1.切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。_圖6_P_O_B_A如圖6，PA，PB分別切O于A、BPA=PB，PO平分APB2弦切角定理：弦切角等于它