混沌現(xiàn)象探討

1、混沌現(xiàn)象探討摘要混沌是現(xiàn)代科學(xué)的重要概念，是非線性科學(xué)的一個(gè)非常重要的內(nèi)容?；煦缱鳛橐婚T新興的科學(xué)，是人類在認(rèn)識(shí)大自然中的不規(guī)則性方面的一個(gè)舉足重輕的突破。它已滲透到全部科學(xué)之中。 混沌現(xiàn)象是發(fā)生在確定性系統(tǒng)中的貌似隨機(jī)的不規(guī)則運(yùn)動(dòng)，是確定論系統(tǒng)所表現(xiàn)的內(nèi)在隨機(jī)行為的總稱，其根源在于系統(tǒng)內(nèi)部的非線性交叉耦合作用，而不在于大量分子的無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)。 該理論所研究的是非線性動(dòng)力學(xué)，它是非線性動(dòng)力系統(tǒng)的固有特性，是非線性系統(tǒng)普遍存在的現(xiàn)象，目的是要揭示貌似隨機(jī)的現(xiàn)象背后可能隱藏的簡(jiǎn)單規(guī)律，以求發(fā)現(xiàn)一些復(fù)雜問題普遍遵行的共同規(guī)律。這種現(xiàn)象是比較廣義的，不僅討論混沌狀態(tài)下的運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程，也討論由有序向混沌演

2、化的特點(diǎn)。牛頓確定性理論能夠充分處理的多為線性系統(tǒng)，而線性系統(tǒng)大多是由非線性系統(tǒng)簡(jiǎn)化來(lái)的。因此，在現(xiàn)實(shí)生活和實(shí)際工程技術(shù)問題中，混沌是無(wú)處不在的。但因?yàn)槲覀儗?duì)它了解太少，所以往往視而不見，忽略了它的存在。 蝴蝶效應(yīng)、湍流、三體問題、昆蟲繁衍、機(jī)床切削金屬時(shí)或打印機(jī)機(jī)頭因沖擊而引起的混沌振動(dòng)等都屬于混沌現(xiàn)象。另外，癲癇病患者發(fā)病時(shí)的腦電波呈明顯的周期性，而正常的腦電波則近乎隨機(jī)訊號(hào)，其腦電圖曲線代表的就是曲型的混沌現(xiàn)象。單擺是我們熟知的確定性運(yùn)動(dòng)的典型，但當(dāng)角度大到一定程度并有驅(qū)動(dòng)力和阻力時(shí)也居然能夠進(jìn)入混沌狀態(tài)。而在政治、經(jīng)濟(jì)、戰(zhàn)爭(zhēng)、教育等社會(huì)科學(xué)各個(gè)領(lǐng)域也發(fā)現(xiàn)了許多混沌現(xiàn)象實(shí)例關(guān)鍵字：非線性

3、動(dòng)力學(xué) 確定論 隨機(jī)性 非線性交叉耦合一、混沌現(xiàn)象實(shí)例：1三體問題首先考慮一個(gè)比較特殊的三體問題：一顆質(zhì)量很小的衛(wèi)星在兩顆大質(zhì)量(為簡(jiǎn)單起見可設(shè)質(zhì)量相等)的行星作用下運(yùn)動(dòng)。假定行星在它們之間的萬(wàn)有引力作用下繞其聯(lián)線中心作圓周運(yùn)動(dòng)，而衛(wèi)星質(zhì)量很小，對(duì)行星運(yùn)動(dòng)的影響可以忽略。同時(shí)假定三個(gè)天體在同一平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。現(xiàn)在要問：衛(wèi)星在兩顆行星作用下的運(yùn)動(dòng)情況如何呢？上述模型及由牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬(wàn)有引力定律所列出的方程看上去挺簡(jiǎn)單的，但它們所代表的運(yùn)動(dòng)卻十分復(fù)雜，竟然無(wú)法得到解的數(shù)學(xué)解析式。現(xiàn)在知道原因在于方程的非線性。龐加萊對(duì)三體問題進(jìn)行了深入的探討，以其巨大的智慧，超常豐富的想像力發(fā)明了一套獨(dú)特的定性研究方

4、法，證明了方程根本不存在數(shù)學(xué)解析解。當(dāng)年并沒有計(jì)算機(jī)，但龐加萊卻能推斷出衛(wèi)星長(zhǎng)期運(yùn)動(dòng)的軌道是纏來(lái)繞去，錯(cuò)綜復(fù)雜的。他在科學(xué)的價(jià)值一書中肯定地指出：一個(gè)非常小的原因會(huì)引出一個(gè)我們不可能視而不見的重要結(jié)果。系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)和變化對(duì)初始條件的依賴極其敏感，系統(tǒng)的長(zhǎng)期行為似乎有一種不確定性。2蝴蝶效應(yīng)1961年美國(guó)氣象學(xué)家洛倫茲利用他的一臺(tái)老爺計(jì)算機(jī)，根據(jù)他導(dǎo)出的描述氣象演變的非線性動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行長(zhǎng)期氣象預(yù)報(bào)的模擬數(shù)值計(jì)算，探討準(zhǔn)確進(jìn)行長(zhǎng)期天氣預(yù)報(bào)的可能性。有一次，洛倫茲為了檢驗(yàn)上一次的計(jì)算結(jié)果，決定再算一遍。但他不是從上一次計(jì)算時(shí)的最初輸入的數(shù)據(jù)開始驗(yàn)算，而是以一個(gè)中間結(jié)果作為驗(yàn)算的輸入數(shù)據(jù)。他發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過(guò)

5、一段重復(fù)過(guò)程后，計(jì)算開始偏離上次的結(jié)果，甚至大相徑庭。就好比一個(gè)計(jì)算結(jié)果預(yù)報(bào)幾個(gè)月后的某天是晴空萬(wàn)里，另一個(gè)計(jì)算結(jié)果則告訴你這一天將電閃雷鳴！圖1為兩次計(jì)算結(jié)果逐漸顯示出來(lái)的巨大差別。圖1長(zhǎng)期天氣預(yù)報(bào)是不可能的正是初始條件的微小誤差導(dǎo)致了計(jì)算結(jié)果的巨大偏離。由此洛倫茲斷言：準(zhǔn)確地作出長(zhǎng)期天氣預(yù)報(bào)是不可能的。對(duì)此，洛倫茲作了個(gè)形象的比喻：一只蝴蝶在巴西扇動(dòng)一下翅膀會(huì)在美國(guó)的得克薩斯州引起一場(chǎng)龍卷風(fēng)，這就是蝴蝶效應(yīng)。 二、 模型建立：下面通過(guò)昆蟲繁衍模型來(lái)深入探討混沌現(xiàn)象。綜合考慮正增長(zhǎng)和負(fù)增長(zhǎng)，經(jīng)過(guò)一定的數(shù)學(xué)抽象和變換后，在1976年生物學(xué)家梅最終得到蟲口方程如下：式中各量的取值范圍為：1，2，

6、3，···：0，1：0，4式中各量的意義如下。假定蟲口環(huán)境所能支撐和供應(yīng)的最大蟲口限額為，且1。第代蟲口數(shù)為，則/，是為第代的相對(duì)蟲口數(shù)。顯然，1就是最大蟲口數(shù)目，故的值不能超過(guò)1。是控制參量。蟲口模型要求取值0，4，這是因?yàn)樵?時(shí)會(huì)出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象，方程就將失去意義。如對(duì)當(dāng)代入0.5后會(huì)得到1.25，而最大相對(duì)蟲口數(shù)只能為1，1.25顯然沒有意義。對(duì)于不同的值，通過(guò)迭代可得到不同的最終迭代值，從而由倍周期分岔通往混沌的道路就徹底打通了。圖2 倍周期分岔圖 (未按比例)以下用作圖法表示迭代過(guò)程 (見圖3)。在直角坐標(biāo)系中先分別作出的45°斜線及的拋物線。然后

7、在軸上取初始值(自變量)，作豎直線交于拋物線即得，再作水平線交于斜線，交點(diǎn)即為自變量，再作豎直線交于拋物線即得······一直作下去每一幅圖就代表取定值時(shí)的迭代演化過(guò)程。 圖3 蟲口方程圖解法三、總結(jié)：通過(guò)以上內(nèi)容我們很清楚地看出混沌現(xiàn)象的一些特性：1 在混沌區(qū)中混沌系統(tǒng)對(duì)初值的依賴具有敏感性。對(duì)方程進(jìn)行迭代，今分別取初始值為和0.1000001，迭代結(jié)果列表如下。12345···5152···0.360.92120.289013760.821939226·

8、3;·0.277569080.80209438···0.360000030.921600360.289013550.821938871···0.973249590.10413931···以上計(jì)算清楚地表明，初值的微小差異，經(jīng)過(guò)若干次迭代后就會(huì)“差之毫厘，失之千里”了。其長(zhǎng)期行為具有一種概率統(tǒng)計(jì)的特征。2 混沌區(qū)中存在周期窗口是混沌現(xiàn)象的又一大特性。就是在混沌區(qū)也并非一片混亂，混沌區(qū)中還有無(wú)數(shù)周期窗口。如對(duì)方程迭代結(jié)果為3周期，“終態(tài)”為，。而且對(duì)窗口放大后發(fā)現(xiàn)窗口中還有“結(jié)構(gòu)”(見圖4)，即窗口中又存在倍周期分岔進(jìn)小的混沌區(qū)，在小混沌區(qū)中又有小的窗口等等。所以混沌區(qū)為一個(gè)無(wú)限嵌套的自相似結(jié)構(gòu)。圖 4 混沌區(qū)中周期窗口及放大3 從不同的初始條件出發(fā)可以產(chǎn)生同樣的結(jié)果。在03之間一旦確定，則事實(shí)是不論初始值取多少，迭代的歸宿總是一個(gè)確定值。4 從同樣的初始條件出發(fā)可能得到完全不同的結(jié)果。分岔還表明，即使從完全相