泰勒公式的理解及泰勒公式

1、對(duì)泰勒公式的理解及泰勒公式的應(yīng)用1 函數(shù)展開(kāi)與向量空間泰勒公式是函數(shù)展開(kāi)的一種工具,也就是說(shuō),利用泰勒公式將函數(shù)展成冪級(jí)數(shù)是函數(shù)展開(kāi)的一 種方法,當(dāng)然,函數(shù)的展開(kāi)方法有多種,例如：用泰勒公式展開(kāi)、三角級(jí)數(shù)的展開(kāi)等。為更好 地理解函數(shù)展開(kāi)的意義以及泰勒公式的應(yīng)用，文章先對(duì)函數(shù)的展開(kāi)進(jìn)行論述,然后,用例題對(duì) 其應(yīng)用做進(jìn)一步的說(shuō)明。在高等數(shù)學(xué)中,函數(shù)展開(kāi)有許多不同的形式,最常用的有如下兩種類(lèi)型的函數(shù)級(jí)數(shù)展開(kāi)。1.1 函數(shù)的泰勒展開(kāi)（冪級(jí)數(shù)展開(kāi)）若函數(shù)f(x)在區(qū)間xx-x0R內(nèi)無(wú)窮可微,且它的Lagrange余項(xiàng)rn(x)當(dāng)n 時(shí),收斂于零,則在這區(qū)間內(nèi)有：12 函數(shù)的三角級(jí)數(shù)展開(kāi)若函數(shù)f(x)在區(qū)

2、間-,上連續(xù)且逐段光滑,則在這區(qū)間內(nèi)有：從函數(shù)展開(kāi)式(1)和(2)兩邊的項(xiàng)來(lái)看,左邊的函數(shù)f(x)作為一個(gè)整體,它只有有限的一項(xiàng),而 右邊卻包含著無(wú)限多項(xiàng),說(shuō)明在一定條件下,有限形式的函數(shù)可以用無(wú)限形式的級(jí)數(shù)來(lái)表示, 關(guān)于這一點(diǎn),可以從另一個(gè)視角來(lái)看，若把展開(kāi)式(1)和(2)中的函數(shù)系：1,(x-x0),(x-x0)2,(x-x0)3,(x-x0)n,1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,cosnx,sinnx,分別看成無(wú)限維函數(shù)空間的兩個(gè)坐標(biāo)系, 其中的函數(shù)就是相應(yīng)的坐標(biāo)向量,則f(x)就可以看作這個(gè)空間的一個(gè)點(diǎn)（或一個(gè)向量）,則兩 級(jí)數(shù)的系數(shù)組成的兩個(gè)數(shù)列:a0,a1,a2,an

3、與a0,a1,b1,a2,b2，n,bn,就是f(x)分別在這兩個(gè)坐標(biāo)系中的坐標(biāo),于是從形式來(lái)看，f(x)作為這無(wú)限維空間中的一個(gè) 點(diǎn)（一個(gè)向量）,但從數(shù)來(lái)看，f(x)在這個(gè)空間中卻要用無(wú)限個(gè)坐標(biāo)來(lái)決定.在高等數(shù)學(xué)中, 根據(jù)問(wèn)題的需要,進(jìn)行有限與無(wú)限形式的相互變換,在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中是常有的。可見(jiàn),換個(gè) 角度看函數(shù)的展開(kāi),會(huì)給人加深印象,能在原有的基礎(chǔ)上根深蒂固。談到有限與無(wú)限,在高等數(shù)學(xué)中,根據(jù)問(wèn)題的需要,進(jìn)行有限與無(wú)限形式的相互變換,在解決數(shù) 學(xué)問(wèn)題中是常常會(huì)用到的,這就是泰勒公式的魅力所在.比如說(shuō)：函數(shù)的分解與求和,函數(shù)關(guān) 系的證明等,就要用這種有限與無(wú)限之間的變換方法?？梢?jiàn),這種有限與無(wú)限的變換方法的重要性,也體現(xiàn)了泰勒公式的奧妙之處。通過(guò)認(rèn)識(shí)這種函 數(shù)展開(kāi)與向量空間的聯(lián)系可以更深刻的理解函數(shù)的展開(kāi),從而更會(huì)、深刻的理解泰勒公式,使 它成為解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的更加有力的工具。2 泰勒公式的應(yīng)用21 用泰勒公式求極限運(yùn)用泰勒公式方法時(shí)需要注意的一個(gè)問(wèn)題是：將函數(shù)展開(kāi)到多少項(xiàng)才可以呢？其實(shí)從例題中 不難看出,只須展開(kāi)至分子及分母分別經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)后系數(shù)不為零的階數(shù)即可。從以上例子中可以看出泰勒公式在求一些極限問(wèn)題中起著非常大的作用,