泰州中考格點(diǎn)問題賞析_3

1、泰州中考格點(diǎn)問題賞析 朱桂平正方形網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，研究以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的圖形的問題稱為格點(diǎn)問題.格點(diǎn)問題綜合了平移、旋轉(zhuǎn)、三角函數(shù)、全等、相似等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，突出了“數(shù)形結(jié)合”的思想，可以考查學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、猜想能力和實(shí)踐能力，已成為近年來中考中的熱點(diǎn)題型.格點(diǎn)問題在泰州市中考題中也多次出現(xiàn)，以填空、選擇這兩種題型為主.雖然分值較?。ㄒ话闶?分），但經(jīng)常能夠起到“秤砣雖小壓千斤”的效果，頗有壓軸題的意味，體現(xiàn)了泰州中考題與其它地區(qū)別具一格的特色.本文擬通過對(duì)泰州中考格點(diǎn)問題的剖析，談?wù)劯顸c(diǎn)問題對(duì)初中學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng).例1（2003年）如圖，由邊長為1的25個(gè)小正方形組成的正方形網(wǎng)

2、格上有一個(gè)ABC；在網(wǎng)格上畫出一個(gè)與ABC相似且面積最大的A1B1C1，使它的三個(gè)頂點(diǎn)都落在小正方形的頂點(diǎn)上，則A1B1C1的最大面積是_. A1C1B1ACB1分析：格點(diǎn)問題中的相似一般用 “三邊對(duì)應(yīng)成比例”或“兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且夾角相等”來解決問題計(jì)算矩形對(duì)角線的長度要用到勾股定理，證明夾角相等時(shí)，除特殊值（如：450，900，1350）外，經(jīng)常要觀察相似矩形（如1×2的矩形與2×4的矩形相似），因?yàn)橄嗨凭匦蔚膶?duì)應(yīng)角相等.本題可以先計(jì)算出ABC三邊的長度分別為、2、，求A1B1C1的最大面積可以假設(shè)A1C1 的長度為圖中的最長對(duì)角線的長度5，從而得到假設(shè)的相似比為，可求

3、假設(shè)的A1B1C1的三邊長分別為、2、5，通過嘗試、探索不難發(fā)現(xiàn)如圖所示的A1B1C1，其面積為5. 故A1B1C1的最大面積是5.點(diǎn)評(píng)：此題在最長邊確定之后，也可以畫相等的角來尋找答案；如果能夠順勢旋轉(zhuǎn)、放大，也能發(fā)現(xiàn)最大的相似三角形.一般來說，作已知三角形的相似三角形的關(guān)鍵是確定已知三角形的特征，根據(jù)條件找到要作三角形的對(duì)應(yīng)特征例2（2006年）如圖，在10×10的正方形網(wǎng)格紙中，線段AB、CD的長均等于5則圖中到AB和CD所在直線的距離相等的網(wǎng)格點(diǎn)的個(gè)數(shù)有 ( )A2個(gè) B3個(gè) C 4個(gè) D5個(gè)ADCBM分析1：從題目中“到AB和CD所在直線的距離相等”的條件分析，需要畫直線A

4、B與CD 夾角的平分線延長BA和DC交于O，作BOD的平分線，通過操作、猜測、驗(yàn)證，可以找出符合條件的點(diǎn)有4個(gè)故選C分析2：題中圖形的特殊性在于AC/BD（由相似矩形的對(duì)應(yīng)角相等可以得到），又已知AB=CD，因此四邊形ABDC是等腰梯形，線段AC的垂直平分線就是這個(gè)等腰梯形的對(duì)稱軸根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，連接AC，作AC的垂直平分線，查出平分線上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)有4個(gè)故到AB和CD所在直線的距離相等的網(wǎng)格點(diǎn)的個(gè)數(shù)有4個(gè)選C分析3：可以嘗試尋找某個(gè)符合條件的格點(diǎn)，如圖，M點(diǎn)似乎到AB和CD所在直線的距離相等，進(jìn)而可以發(fā)現(xiàn)MA=MC，MB=MD，加上已知條件AB=CD，易證MCD MAB，由全等三角

5、形的對(duì)應(yīng)高相等得到M點(diǎn)似乎到AB和CD所在直線的距離相等同理可得其它3個(gè)符合條件的點(diǎn)故選C點(diǎn)評(píng)：格點(diǎn)問題的解決需要用到相似、全等、軸對(duì)稱等知識(shí)，但筆者認(rèn)為，最重要的還是學(xué)生應(yīng)用知識(shí)的能力在平時(shí)的教學(xué)中教師應(yīng)當(dāng)給學(xué)生提供動(dòng)手操作的機(jī)會(huì)，要重視培養(yǎng)學(xué)生的分析能力、觀察能力和應(yīng)用能力；教師本身要具有創(chuàng)新意識(shí)，應(yīng)當(dāng)肯定猜想和直覺能力的發(fā)展性和可培養(yǎng)性，注意強(qiáng)化學(xué)生的猜想能力和直覺能力例3（2007年）如圖，在的正方形格紙中，有一個(gè)以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的，請(qǐng)你找出格紙中所有與成軸對(duì)稱且也以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形，這樣的三角形共有 個(gè)分析：根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，可先確定對(duì)稱軸，不同的對(duì)稱軸有不同的對(duì)稱圖形，而對(duì)稱軸的

6、尋找也需要一定的順序及耐心，要將所有可能出現(xiàn)的情況一一列出如圖，找出與ABC成軸對(duì)稱且也以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形有5個(gè)點(diǎn)評(píng)：本題將圖形的變換、軸對(duì)稱有機(jī)的結(jié)合在一起，主要考查了軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，以及畫軸對(duì)稱圖形的方法在平時(shí)的教學(xué)中，教師要注意培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力，注意培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.ABCDl13l2l3l4ABCDl1l2l3l4例4.（2011年）如圖，平面內(nèi)4條直線l1、l2、 l3、 l4是一組平行線，相鄰2條平行線的距離都是1個(gè)單位長度，正方形ABCD的4個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D都在這些平行線上，其中點(diǎn)A、C分別在直線l1、l4上，該正方形的面積是 平方單位圖2圖1分析：本題以一組

7、平行線為背景，將正方形至于其中，是格點(diǎn)問題的一種變型，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的變化與奧妙學(xué)生拿到題目以后可能感到無從下手，由題中的“1個(gè)單位長度”“ 頂點(diǎn)在平行線上”“正方形的面積”應(yīng)當(dāng)聯(lián)想到格點(diǎn)問題如上圖，以格點(diǎn)為背景，可以假設(shè)A點(diǎn)固定，C點(diǎn)在l4上左右移動(dòng)，通過嘗試、變化、計(jì)算，問題迎刃而解解：（1）如圖1，當(dāng)正方形的邊長和平行線垂直或平行時(shí)，對(duì)角線AC的長為3，正方的邊長為3，所以面積為9（2）如圖2，當(dāng)正方形的對(duì)角線AC為時(shí)，正方形的邊長為， 所以正方形的面積為5（3）隨著點(diǎn)C在l4上左右移動(dòng)，當(dāng)正方形的對(duì)角線AC的長度發(fā)生變化，為時(shí)，不能構(gòu)成符合條件的正方形；當(dāng)AC的長度大于3時(shí)，正方形的邊

8、長大于3，顯然不能構(gòu)成符合條件的正方形故答案為9或5點(diǎn)評(píng)：本題情境鮮活，思維量大，綜合性強(qiáng)，巧妙地考查了學(xué)生的聯(lián)想能力和思維的縝密性、靈活性“靈機(jī)一動(dòng)”式的聯(lián)想，不是憑空出現(xiàn)的，是平時(shí)思維訓(xùn)練積累的結(jié)果，課堂教學(xué)中應(yīng)以學(xué)生為中心，注重學(xué)生對(duì)問題的探究過程和對(duì)學(xué)習(xí)的體驗(yàn).思維縝密性是數(shù)學(xué)思維的重要品質(zhì)之一，從考試的結(jié)果來看，許多同學(xué)的答案只有一解，有些優(yōu)等生答案是5，反而忽略了第一種簡單的結(jié)果. 在教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)訓(xùn)練學(xué)生全面地思考問題，注重培養(yǎng)學(xué)生思維的縝密性和靈活性.作為近幾年中考數(shù)學(xué)命題的熱點(diǎn)問題，有關(guān)格點(diǎn)問題的新穎題目不斷涌現(xiàn)，但是歸根到底，中考題還是來源于課本.課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思考能力和解決問題的能力非常重視，蘇科版數(shù)學(xué)教材九（上）第74頁安排了一節(jié)關(guān)于格點(diǎn)問題的數(shù)學(xué)活動(dòng)課，旨在通過活動(dòng)挖掘其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展學(xué)生的思維能力.格點(diǎn)問題形式活潑，操作性強(qiáng)，趣味性濃，體現(xiàn)了“在玩中學(xué)，在學(xué)中思，在思中得”的嶄新理念.在日常