鉆研數(shù)學(xué)教材的幾個(gè)視角

1、鉆研數(shù)學(xué)教材的幾個(gè)視角吳立寶/曹一鳴/秦華【專題名稱】高中數(shù)學(xué)教與學(xué)【專題號】G312【復(fù)印期號】2013年07期【原文出處】中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（西安）2013年4上期第2- 4, 8頁【作者簡介】吳立寶，內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院；曹一鳴、秦華，北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院教材是連接課程方案與教學(xué)實(shí)踐的樞紐，是教師教和學(xué)生學(xué)的載體.研究者普遍認(rèn)為，教師在日常教學(xué)中相當(dāng)依賴教材，在很大程度上依據(jù)所使用的教材而決定教什么、怎么教以及給學(xué)生布置哪些習(xí)題等1.正因如此，在過去 20年里，教材在教師教和學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)中所扮演的角色越來越引起研究者的關(guān)注.但是教師在實(shí)際使用過程中，未真正認(rèn)識領(lǐng)悟教材價(jià)值，流于

2、表面，甚至出現(xiàn)脫離教材的現(xiàn)象，過度注重知識和技能，忽視隱藏的數(shù)學(xué)思想方法；過度注重事實(shí)性知識和概念性知識，忽視方法性知識和價(jià)值性知識；過度重視結(jié)果，忽視 過程；過度注重對考試有用的例題、習(xí)題，忽視閱讀材料等.學(xué)記 尚書記載： 既知教之所由興，又知教之所由廢，然后，可以為人師也.”為此需要教師進(jìn)行多角度解讀，鉆研教材的隱性價(jià)值，切實(shí)提高自身的教育教學(xué)水平，促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展一、數(shù)學(xué)的視角教育是傳遞知識，這好像是天經(jīng)地義的，毋庸在這個(gè)問題上吹毛求疵2.數(shù)學(xué)專業(yè)知識是數(shù)學(xué)教材的骨架，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)教材的靈魂，從數(shù)學(xué)學(xué)科視角挖掘教材是首要的，也是必需的.美國著名學(xué)者布魯納說：不論我們選教什么學(xué)科，務(wù)必

3、使學(xué)生理解學(xué)科的基本結(jié)構(gòu).”對數(shù)學(xué)而言，就是務(wù)必使學(xué)生理解數(shù)學(xué)學(xué)科的基本結(jié)構(gòu).教師講好數(shù)學(xué)，學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的前提是教師要理解數(shù)學(xué)，弄清楚教材中數(shù)學(xué)知識的基本結(jié)構(gòu)、基本思想方法.教師雖不是數(shù)學(xué)家，但是講授的是數(shù)學(xué)知識，需要從數(shù)學(xué)的角度、從純數(shù)學(xué)的視角來看教材，弄清楚數(shù)學(xué)概念、命題的來龍去脈，弄清楚教材中哪些是數(shù)學(xué)事實(shí)性知識、原理性知識、策略性知識，尤其是原理性知識與策略性知識作為一名數(shù)學(xué)教師，要想給學(xué)生一杯水，自己先要有一桶水”，正如前蘇聯(lián)教育家馬卡連柯所認(rèn)為學(xué)生可以原諒教師嚴(yán)厲、刻板甚至吹毛求疵，但不能原諒他們不學(xué)無術(shù) ” 4教師要深入鉆研數(shù)學(xué)教材，把其承載的數(shù)學(xué)知識提取出來，還原為學(xué)術(shù)形態(tài)，掌

4、握其精髓，把握其本質(zhì)， 理解其內(nèi)涵.試想一下，如果沒有教師對教材數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)把握，哪有可能站得高、看得遠(yuǎn)，高屋建瓴、游刃有余地處理教材內(nèi)容？合 作學(xué)習(xí)也好，探究學(xué)習(xí)也罷，如果沒有扎實(shí)的數(shù)學(xué)知識做鋪墊，如何有效開展？現(xiàn)在，一些教師的公開課、示范課引起了評課者（或?qū)?家）的質(zhì)疑， 你們上的是數(shù)學(xué)課？ ”這在一定程度上說明現(xiàn)在部分教師對數(shù)學(xué)知識的忽視或者重視程度不夠，重點(diǎn)不夠突出從數(shù)學(xué)學(xué)科的視角來分析教材，弄清楚知識的來龍去脈，并非要求教師一定去學(xué)大量的純數(shù)學(xué)知識，教師可從縱向上了解中小學(xué)數(shù)學(xué) 中每個(gè)主要概念和定理的來龍去脈和直觀意義，從史學(xué)的角度了解，力爭做到中小學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的對接，以切實(shí)把

5、握蘊(yùn)涵在其中的 數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)精神.唯有如此，才能知道數(shù)學(xué)概念從何處來，到哪里去，把知識連成線、串成網(wǎng)、構(gòu)成體.例如，用函數(shù)的思想處理方程、不等式的相關(guān)問題，方程、不等式本質(zhì)上都是函數(shù)的特定狀態(tài)，這樣可使方程、不等式與函數(shù)緊密聯(lián)系在一起；再如，高中階段 用初等代數(shù)的語言定義函數(shù)單調(diào)性，微積分中則是用導(dǎo)數(shù)刻畫單調(diào)性，兩者之間有什么關(guān)系？目前數(shù)學(xué)教學(xué)中一味地去形式化是不可取 的，容易導(dǎo)致 撿了芝麻，丟了西瓜”的后果，畢竟形式化是數(shù)學(xué)的基本特征之一.近兩年的 國培計(jì)劃”明確要求加大教師對于數(shù)學(xué)專業(yè)知識、數(shù)學(xué)思想方法的理解與領(lǐng)悟，作為教師必須掌握講清概念的本領(lǐng)，只有講清概念，才能講清數(shù)學(xué).二、教的

6、視角教師對教材理解要體現(xiàn)教者本色，對教材內(nèi)容按照教的視角進(jìn)行重構(gòu).在數(shù)學(xué)教與學(xué)研究手冊中， Elizabeth Fennema和Megan LoefFranke說道：另一類與內(nèi)容并不完全分離的知識是應(yīng)該如何在教學(xué)中表達(dá)數(shù)學(xué).這牽涉取出復(fù)雜的教材內(nèi)容，并將它轉(zhuǎn)化成學(xué)生能理解的表達(dá)形式，這種從數(shù)學(xué)到可理解的表達(dá)形式的轉(zhuǎn)變正是區(qū)分?jǐn)?shù)學(xué)教師與數(shù)學(xué)家的地方.” 5數(shù)學(xué)是由一大群高度有關(guān)聯(lián)的抽象概念所組成的，如果教師不知道如何把這些抽象概念轉(zhuǎn)換化為能使學(xué)習(xí)者把數(shù)學(xué)與他已經(jīng)知道的聯(lián)系起來的方式，那么他們就不可能理解地學(xué)會這 一切.” 5需注意，教師是 用教材教”而不是 教教材”.首先，教師要整體把握教材.瀏

7、覽整套教材、整冊教材，宏觀了解其編寫體例與說明、要求及教材的基本特點(diǎn)，形成對教材的宏觀認(rèn)識.清楚各個(gè)知識單元組塊之間的安排次序，明確單元之間的前后聯(lián)系，進(jìn)一步明確單元內(nèi)每一個(gè)概念與命題的地位與作用.反過來，再把每一個(gè)概念與命題放到整節(jié)課、整個(gè)單元、整章、整冊書、整個(gè)學(xué)段進(jìn)行通篇考慮：教材呈現(xiàn)的靜態(tài)知識隱藏什么數(shù)學(xué)思想方法？蘊(yùn)涵什 么情感因素？是直線式還是螺旋式編排？知識銜接如何？關(guān)聯(lián)度有多大？后續(xù)知識是對前面知識的加深還是其應(yīng)用？等等其次，教師要從細(xì)微之處入手 .教師需要仔細(xì)推敲教材中的每一個(gè)字、每一句話、每一幅圖、每一道例題、每一個(gè)練習(xí)、每一個(gè)備注.只有反復(fù)推敲打磨，才能有效確定重難點(diǎn)，畢竟

8、有的新知識可能在練習(xí)中出現(xiàn).然后對教材中的主題圖、概念、命題、例題、習(xí)題進(jìn)行教學(xué)法的加工，使之符合自己的風(fēng)格，按照教學(xué)邏輯來設(shè)計(jì)教學(xué)，根據(jù)自己班級的具體情境進(jìn)行更改，形成自己的特色.教材從內(nèi)容呈現(xiàn)方式來看，是由自然語言、符號語言、圖表語言混合編排的，這三種語言是如何轉(zhuǎn)換的？三種語言承載的教材內(nèi)容對培養(yǎng)學(xué)生擔(dān)負(fù)何種職 能？這些需要教師從教的角度思考，如例題中的插圖是告訴學(xué)生一個(gè)情節(jié)、一些生活原型，是培養(yǎng)學(xué)生想象力的地方，切不可將插圖變 成文字，要讓學(xué)生自由地發(fā)揮、理解、想象.三、學(xué)的視角學(xué)生的學(xué)習(xí)是建立在已有的知識技能、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、生活背景等基礎(chǔ)上的.奧蘇貝爾認(rèn)為， 影響學(xué)習(xí)最主要的因素是學(xué)生已知

9、的內(nèi)容，弄清了這一點(diǎn)之后，進(jìn)行相應(yīng)的教學(xué).” 6只有當(dāng)學(xué)習(xí)的新內(nèi)容與學(xué)生頭腦中的原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)相聯(lián)系，才會產(chǎn)生有意義的學(xué)習(xí)，從而產(chǎn)生新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從學(xué)生學(xué)的視角來看待教材，務(wù)必要考慮學(xué)生的現(xiàn)有認(rèn)知水平以及潛在的認(rèn)知水平，教師需要換位思考，把自己放在學(xué)生的位置上，他應(yīng)當(dāng)看到學(xué)生的情況，應(yīng)當(dāng)努力去理解學(xué)生心里正在想什么，然后提出一個(gè)問題或是指出一個(gè)步驟，而這正是學(xué)生自己 原本應(yīng)想到的7教材雖然在編寫時(shí)考慮了學(xué)生的身心發(fā)展，但此一時(shí)彼一時(shí)，隨著時(shí)代發(fā)展，教材未必能緊隨改變.教師需考慮學(xué)生的需要、學(xué)生的基礎(chǔ)，從學(xué)生的認(rèn)知邏輯來挖掘教材，使其服務(wù)于學(xué)生的學(xué)習(xí).模擬”學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，回顧以前自己學(xué)習(xí)時(shí)的困

10、惑，站在學(xué)生的角度觀察，概念呈現(xiàn)是否從學(xué)生的需要出發(fā)？出發(fā)點(diǎn)是否合適？是否符合自己班級學(xué)生實(shí)際？學(xué)生如何理解教材呈現(xiàn)的主題圖（包括插圖）、備注、例題、習(xí)題？有沒有困難？如果有，困難在什么地方？這些困難是如何產(chǎn)生的？如何引導(dǎo)學(xué)生解決？解決路徑是否唯 一？等等.1994年，Sfard在第18屆數(shù)學(xué)教育心理學(xué)大會上提出，如果要洞察學(xué)生的學(xué)習(xí)過程以及學(xué)習(xí)遇到的困難，歷史無疑是一個(gè)極佳 的視角.不僅如此，他還說：這種相似性在同化或創(chuàng)造或?qū)W習(xí)新概念的特別關(guān)頭是非常顯著的，已經(jīng)建構(gòu)的知識要經(jīng)受徹底的再組織，整個(gè)認(rèn)識論基礎(chǔ)也要重新建構(gòu).”此外還要依靠自己過去的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，有效地但不露痕跡和自然地幫助學(xué)生，為此教

11、師需要不止一遍地問同樣的問題.基于學(xué)生，為了學(xué)生，有效促進(jìn)學(xué)生發(fā)展始終是教師鉆研教材的落腳點(diǎn).鉆研教材還需要具有發(fā)展性，具有一定的超前性，使教材內(nèi)容真正成為促進(jìn)學(xué)生個(gè)體自由和諧發(fā)展的載體、工具.教材內(nèi)容是學(xué)生學(xué)會的，而不是教師教會的.教師唯有站在學(xué)生的角度思考教材、挖掘教材，才能更好地理解教材，提高教師與學(xué)生課堂對話的深度與有效性，才能真正提高自己的教學(xué)效率.教材承載的數(shù)學(xué)科學(xué)知識體系同中小學(xué)生認(rèn)知能力發(fā)展的現(xiàn)有水平是矛盾的，年齡越小，知識越少，矛盾越尖銳.因此，鉆研教材務(wù)必思考學(xué)生的心理發(fā)展水平，需要教師充分考慮學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展起點(diǎn)，使得跳一跳，摘到桃子”再者，教師面對的學(xué)生不同，其學(xué)習(xí)路徑就

12、不同，遇到的困難也就不同，需要教師根據(jù)學(xué)生群體的不同，采取靈活多樣的處理方式.此外，還需要思考學(xué)生在學(xué)習(xí)相關(guān)知識過程中對態(tài)度、理想、情感和興趣的習(xí)得，使其產(chǎn)生愉快的心理體驗(yàn)，這就是伴隨學(xué)習(xí)或者附帶學(xué)習(xí).如對于學(xué)有余力的學(xué)生，增加例題、習(xí)題等難度；對于學(xué)習(xí)困難的學(xué)生，例題、習(xí)題等更側(cè)重于基礎(chǔ)性習(xí)題，多結(jié)合知識在學(xué)生日常生活中的應(yīng)用，以激發(fā)學(xué)生對知識的興趣等.四、考的視角（評價(jià)的視角）教材是中考、高考等各類考試試題的來源，問渠哪得清如許，為有源頭活水來 .'對教材的例題或習(xí)題進(jìn)行改編，獲得較為新穎的高考數(shù)學(xué)試題，但是并不是完全出自于教材，而是基于教材，高于教材.那么教師為了更好地提高學(xué)生的

13、成績與能力，也應(yīng)該具備從命題者的視角，從考的角度來挖掘教材，為考而教未必都是壞事.2010年高考數(shù)學(xué)四川卷文、理科第19題，直接考查教材中最基本的兩角和的余弦公式的推導(dǎo)；2012年高校自主招生考試試題 證明內(nèi)角相等的圓內(nèi)接五邊形必為正五邊形”就源自于人教版數(shù)學(xué)（九年級上冊）第24章 圓”第3節(jié) 正多邊形和圓”的練習(xí)第2題 各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形嗎？各角相等的圓內(nèi)接多邊形呢？如果是，說明為什么；如果不是，舉出反例.'這些來自于教材的試題得分比較低，說明了教師對教材有所忽視.教師鉆研教材不能脫離中考、高考，這是中國目前教育必須面對的現(xiàn)實(shí)問題，一定程度上可以避免師生共同陷入學(xué)生解題

14、和教師講題的題?！敝?有大學(xué)教授曾建議：中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該重視教材的利用與開發(fā)、重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)的揭示與思維過程的暴露、重知識的形成過程與知識間的邏輯關(guān)系、重?cái)?shù)學(xué)概念的理解與內(nèi)化、 重?cái)?shù)學(xué)思想方法的總結(jié)與提煉 .” 8譬如，在復(fù)習(xí)概率知識時(shí)，不是簡單對學(xué)過的知識重復(fù)，而是要幫助學(xué)生整體宏觀建構(gòu)概率知識網(wǎng)絡(luò)， 從而更好地促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的完善，這樣記憶才能牢靠，提取才能快速，應(yīng)用才能靈活.在梳理知識網(wǎng)絡(luò)的過程中，一定要注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的提煉，強(qiáng)化隨機(jī)思想.隨機(jī)思想是高中數(shù)學(xué)課程的核心思想之一，貫穿于高中數(shù)學(xué)課程始終，也是高中數(shù)學(xué)的一條主要脈絡(luò)9.五、生活的視角英國教育家懷特海曾說：教育只有一種教材，那就

15、是生活的一切方面.” 1（強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系是我國第八次基礎(chǔ)教育課程改革的一個(gè)重要特征.中國的數(shù)學(xué)教師對數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識普遍重視不夠11.從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)更好地理解與掌握抽象的數(shù)學(xué)概念與知識，把抽象出來的數(shù)學(xué)概念與知識應(yīng)用于新的情境中.數(shù)學(xué)的應(yīng)用越來越廣泛，正在不斷地滲透到社會生活的方方面面，有力地推動(dòng)著社會生產(chǎn)力的發(fā)展.教材里的主題圖、例題、習(xí)題的背景，都來自于社會生活的各個(gè)方面，既有個(gè)體的生活背景，又有社會群體的公共生活背景、 科學(xué)背景等，如中學(xué)教材中方程的引入、應(yīng)用等都密切聯(lián)系了學(xué)生生活的實(shí)際.要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，必須密切與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，在應(yīng)用過程中培養(yǎng).現(xiàn)實(shí)生活是數(shù)學(xué)知

16、識的原型，可以有效鍛煉學(xué)生舉三反一 ”的數(shù)學(xué)歸納能力，掌握知識之后，訓(xùn)練學(xué)生舉一反三”的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，把學(xué)到的新知識應(yīng)用于新的情境之中普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))要求通過典型例子的分析和學(xué)生自主探索活動(dòng)，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論逐步形成的過程，體會蘊(yùn)涵在其中的思想方法”.學(xué)校應(yīng)該關(guān)心學(xué)生畢業(yè)離校時(shí)世界將要發(fā)生的情況，要據(jù)此來培養(yǎng)青少年，使他們善于適應(yīng)做成人時(shí)將要遇到的情況.”12當(dāng)然凡事都有個(gè)度，這個(gè)需要處理好生活化”的度13，不是 去數(shù)學(xué)化”，不是以 生活化”取代數(shù)學(xué)味”.六、研究的視角教師擁有研究者的視角，進(jìn)行全方位研究，在這里特指課后反思.如教師對方程的課后反思，通過自己的教學(xué)實(shí)踐，從多

17、個(gè)層面、多個(gè)角度反思，以研究者的角色查找自己鉆研教材是否存在有待進(jìn)一步改進(jìn)的問題，教學(xué)存在的問題是什么，學(xué)生學(xué)習(xí)的困難在哪里，為什么會有這樣的問題，解決的辦法是否合適，哪些方法取得了好的教學(xué)效果，有沒有更好的教學(xué)方法，有沒有更好的解題策略.通過一系列這樣的思考，找到自己在教學(xué)中存在的優(yōu)點(diǎn)、缺點(diǎn)，通過不斷地摸索，揚(yáng)長避短，多次反復(fù)，逐漸形成自己獨(dú)特的教學(xué)風(fēng)格.通過回歸自我，凝神拷問，梳理歸納出一個(gè)較為完整的鉆研數(shù)學(xué)教材的方案，之后再實(shí)施，再反思，再修改.教育沒有最好，只有更好，盡量超越自己，把 追求卓越”作為自己的奮斗目標(biāo)和追求，正如摩根尼斯(Mogens Niss)所說： 理想的數(shù)學(xué)教師是一個(gè)美好的事物.這樣的教師，應(yīng)是一位純粹數(shù)學(xué)家、應(yīng)用數(shù)學(xué)家，一位歷史學(xué)家、社會學(xué)家、教育社會學(xué)家，一位教育家、數(shù)學(xué)教育家、