八年級數(shù)學平行四邊形中的最值問題專練

1、八年級數(shù)學平行四邊形中的最值問題專練一、選擇題1.如圖，將兩張長為8,寬為2的長方形紙條交叉， 使重疊部分是一個菱形（四條邊相等），容易知道當兩張紙條垂直時，菱形的周長有最小值 8,那么菱形周長的最大值A. 17B. 16C. 8亞D. 2vT72. 如圖，已知 /?30, B為OM上一點，？?L?十點A,四邊形 ABCD為正 方形，P為射線BM上一動點，連結(jié) CP,將CP繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)90 得CE, 連接BE ,若？?= 2 ,貝U BE的最小值為（）A. v3 + 1D. 4- v33. 如圖，/MON=90。，矩形ABCD的頂點A、B分別在邊OM , ON上，當B在邊ON上運動時，

2、A隨之在邊OM上運動，矩形 ABCD的形狀保持不變，其中 AB= 2 , BC=1,運動過程中，點 D到點O的最大距離為（）A. v2+ 1B. V5C 145D. 24.如圖，在？? /?90, / ? 30, ?= 4V3, BC 的中點為？.將?點C順時針旋轉(zhuǎn)任意一個角度得到?EF的中點為G,連接？?在旋轉(zhuǎn)過程中，DG的最大值是 （）A. 4B. 6C. 2+ 2v3D. 85.如圖，正方形 ABCD,邊長為2, E是邊BC上的一動點，連 DE,取DE中點G,將GE繞E順時針旋轉(zhuǎn)90 到EF,連接CF。則CF的最小值為（）D. 2-建A. UB. |4C.2D.16 . 如圖，在邊長為

3、4的正方形 ABCD中，E是AB邊上的一點,且？?= 3,點Q為對角線AC上的動點，則 ?長的最小值為（）A. 5B. 6C. 4v2D. 8 一 一 ，.一.、一 ， 7 . 如圖，在平行四邊形 ABCD中，/ ?= 120,?2? 4,點H、G分別是邊AD、BC上的動點.連 接AH、HG,點E為AH的中點，點 F為GH的中 點，連接？?. EF的最大值與最小值的差為（）A. 1B. v5- 1C. 二、填空題8 . 如圖，在菱形 ABCD 中，/ ?120 , ? 6, 點E在邊AB上，且？?= 2, P是對角線 AC上的一 個動點，則？? ?最小值是.9 . 點P是菱形 ABCD的對角線

4、 AC上的一個動點，已知？?= 1 , / ?120,點M, N分別是AB, BC邊上的中點，則 ?周長最小值是 .10 .如圖，在?!?, ? 3, ?= 4, ? 5, P 為邊 BC 上一動點，？亂?E, ?L? F, M為EF中點，則 AM的最小值為 A11 .如圖，已知菱形 ABCD的面積為8 V5, /?60,對角線AC、BD交于點O,1若點P為對角線AC上一點，則2?+ ?最小值是 .12 .如圖，在？?, /?90,將 4?點 C 逆時針旋轉(zhuǎn)得到 ? ? ? M是BC的中點，P是？的舛點，連接 PM。過點C作PM的垂線，垂足為 H, 若？?= 2, / ?30 ,則線段PH的最

5、小值是 .13 .如圖，線段？?= 4, M為AB的中點，動點 P到點M的距離是1,連接PB,線段 。一 .一一 PB繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90 得到線段PC,連接AC,則線段AC長度的最大值是14 .如圖，O為矩形 ABCD對角線 AC, BD的交點，？? 6, M, N是直線BC上的動 點，且？?= 2,則？仔？的最小值是 .三、解答題15 .已知在？, ？= ？D是BC邊上一點，連接 AD右側(cè)作等腰 ？=？圖3如圖 1, /？/ ？90,連接？求證：？(2)如圖 2, / ？/ ？120 , ？= ？= 2,取 AC 邊的中點 F,連接？當D點從B點運動到C點過程中，求線段EF長度的最小值，并

6、直接寫出它的最大值；如圖 3,四邊形 ABCD 中，/ ？/ ？90 , ？= ？= 1,連接 AC, 且？=同產(chǎn)，求ab的長.16.如圖所示，在平面直角坐標系中?個頂點的坐標分別是點？?(-2,3)、點?(-1,1)、點？(0,2).作?于C成中心對稱的 ?；(2)將?向右平移3個單位，作出平移后的 ?;在x軸上求作一點 P,使？?+ ?勺值最小，并寫出點P的坐標.(不寫解答過程，直接寫出結(jié)果)17.如圖1,等邊?邊長為4cm,動點D從點B出發(fā)，沿射線BC方向移動，以AD為邊作等邊?(1)在點D運動的過程中，點E能否移動至直線 AB上若能，求出此時BD的長;若 不能，請說明理由；(2)如圖2

7、,在點D從點B開始移動至點 C的過程中，以等邊 ?邊人口、DE 為邊作? ADEF .?ADEF的面積是否存在最小值 若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由；?若點M、N、P分別為AE、AD、DE上的動點，直接寫出 ？?+ ?酌最小值.18 .如圖，在平面直角坐標系中有矩形OABC,點？?(0,2),將矩形OABC沿AC折疊，使得點B落在點D, Z ?30 ,過O作？?點E.(1)求OE的長.(2)已知點P是線段AD上的一點，連接 EP、CP,求？? ?最小值.(3)在x軸上是否存在點 Q,使?等腰三角形？若存在，請直接寫出點Q的坐標，若不存在，請說明理由.19 .如圖，以長方形 OAB

8、C的頂點。為原點，OA所在直線為x軸，OC所在直線為y軸，建立平面直角坐標系已知？?3, ?2,點E是AB的中點，在 OA上取一點D,連結(jié)BD,點A關于BD的對稱點恰好落在線段BC邊上的點F處.(1)直接寫出點E, F的坐標;(2)在線段CB上是否存在一點P,使?等腰三角形？若存在，求出所有滿足條件的P點坐標；若不存在，請說明理由. 在x軸、y軸上是否分別存在點 M、N,使四邊形MNFE的周長最??？如果存在, 求出周長的最小值；如果不存在，請說明理由.20.【閱讀】如圖 1,四邊形 OABC 中，?= ? ?= 8, ?= 6, / ?/ ?90, 經(jīng)過點O的直線l將四邊形分成兩部分，直線 l

9、與OC所成的角設為?將四邊形 OABC的直角/ ?沿直線l折疊，點C落在點D處，我們把這個操作過程記為若點D與點A重合，則這個操作過程為 ？?45 8;,【嘗試】(1)若點D與OA的中點重合，則這個操作過程為？?!, ;(2)若點D恰為AB的中點(如圖2),求？?勺值；【應用】經(jīng)過？?？45?操作，點B落在點E處，若點E在四邊形OABC的邊AB上，直線 l與AB相交于點F，試畫出圖形并解決下列問題：求出a的值；若P為邊OA上一動點，連接 PE、PF,請直接寫出？? ?就最小值.(備注:等腰直角三角形的三邊關系滿足1:1:/或J2：2)答案和解析1. A解：當兩張紙條如圖所示放置時，菱形周長最大

10、，設這時菱形的邊長為x,在？?？?，由勾股定理：？= （8 - ？2+22,解得：？= 4，4？= 17,即菱形的最大周長為17.2. A解：如圖，連接 PD,由題意可得，？= ？ / ？00 二 / ？= ？ / ？/ ？= ？在？ ？, /？/ ？= ？ ？ ？（？）.,.？,= ？ ，當？?？L？寸,DP最短，此時 BE最短, / ？30 o, ？= 2 = ？ .？= ？+ ？= 2 v3+ 2,1-.當？！ ？寸,？= 2？= V3 + 1,？最小值為v3+ 1 .3. A解：如圖，取 AB的中點E,連接OE、DE、OD,里OD & OE+DE，.當O、D、E三點共線時，點 D到點O

11、的距離最大,此時，,AB=2, bc=1 ,1OE=AE= 2 AB= 1，DE= V ?2?= V12+12=v2,.OD的最大值為：v2 + 1 -4. B解：在？?？?？，/ ?90 , / ? 30 , ?= 431結(jié)合勾股定理：？= 8, ? 2? 4,.?中點為D, 11.? 2? 2X4= 2,連接CG, .*?點C順時針旋轉(zhuǎn)任意一個角度得到?EF的中點為G, .?= 2? 2?= 2*8= 4,由三角形的三邊關系得，？?？+ ? ?.?2 C、G三點共線時 DG有最大值，此時？ ?+ ?= 2+ 4 = 6.5. A6. B解：連接BD, DE,四邊形ABCD是正方形，.點B與

12、點D關于直線AC對稱,.?的長即為？? ?最小值，. ? ? ?，？? ?=，不 + 32 = 5, .,.? 的最/、值=?+ ?= 5+1 = 6.7. CAD的中點M,連接CM、AG、AC,作？? N.解：如圖，取.四邊形ABCD是平行四邊形，/ ?120 ,. ./?= 180 - Z ?60 , ?= ?= 2, .?= ?= ?= 2 .,.?等邊三角形,.?=?/ ?=?60 , ?= ?/ ?30 ,?90 ,.?= 2 V3,在?, .?= 2v3, /?/ ?30 , .?= 1? v3, ? ? ? ?: ? ?.,.?= 1 ? ，易知AG的最大值為AC的長，最小值為

13、AN的長, .？?？最大值為2v3,最小值為 為，.?最大值為 3，最小值為 良 ?潮最大值與最小值的差為?8. 2萬解：連接 DE交AC于？?，連接DE, DB,過D作？?，？?由菱形的對角線互相垂直平分，可得B、D關于AC對稱，則？=?,?.? +? =?登？ +? =?即DE就是？? ?最小值，. / ?120 ,?60 ,. ?,= ?= 6, ，,. ? ? I ，. .?= 3, ?= 3 v，.-.?= ? ?= 3 - 2 = 1 , I 7在?, ?= V7?- ?= V(3 v3) 2 + 12 = 27-即？? ?最小值為2V7,9. T+ 1解：如圖:作點M關于AC的對

14、稱點?；連接? 支?AC于P,此時？?仔？?？最小值，最小值為 ?的收.,菱形ABCD關于AC對稱，M是AB邊上的中點，.?是AD的中點，又,？腥BC邊上的中點，,-.? /?,?= ? ?= 1 ? * , 2).,四邊形？?？?？平行四邊形，.? ? 1,.? ? ? ?1,即？?？ ?最小值為 1, . / ?120 ,?60 ,?30 ,1 a/3sinz ?號？=?= !？=, 22 ，.一？周長=1+ 1.610.1.解：.在？, ？2 3, ？= 4, ？= 5,.,.？2?+ ？= ？2？ ，即 / ？90 .又. ？ ？ E, ？L ？ F,四邊形AEPF是矩形，.,.？=

15、？ ，??？提EF的中點，1 I.？=沙？噂 AP,因為AP的最小值即為直角三角形ABC斜邊上的高，即等于 :，11. 23解：過 P點作？?？L ？垂足為 K,四邊形 ABCD為菱形，/ ?60/ ?30 . .? 2?作？?？，？?,？交 AC于？垂足為?,當P點運動到？的位置，.?= ?1?+ ?= ?1?,即為 2? ?就最/、值,.,”?為等邊三角形，菱形 ABCD的面積為8 v3，改?？的面積為4 v3設菱形ABCD的邊長為a，? = 4v3.?= 4（負值舍去）1?= ?= 212.,.?= V42 - 22 = 2V3,-12. 蓬解：如圖連接PC.在?, . /? 30, ?=

16、 2, .? 4,根據(jù)旋轉(zhuǎn)不變性可知，？ =? ?= 4, .? =?1.?= ? =，,.?= ?= 1, ,.在？?,已知?= 2為定值，當直角邊CH值最大時，PH值則最小.由旋轉(zhuǎn)可知，當/?30時，CH最大=1,，？?優(yōu)貝”最小.為怎13. 3V2解：如圖所示：過點 C作？?L?軸，垂足為D,過點P作？?L?垂足為E,延長 EP交x軸于點F . ? 4, O為AB的中點， .?(-2,0) , ?(2,0).設點P的坐標為(?)則？ + ?另=1 .?宜?90 , / ?也？0 , / ?/ ?由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：？? ? ?在? ?,/ ?r=?L ? / ?r=?L ?= ?.? ?

17、?.?= ?=? ?全？= 2 - ? .,.?(?+ ?+ 2 - ?) 、 尸 卜.？ 4, O為AB的中點，.?= V ?(? ?+ 2) 2 + (?+ 2 - ?2 =，2刃+ 2? + 8?+ 8 .? + ?2 = 1 ,.?= V10 + 8?-1 w?w 1 ,.當？?= 1時，AC有最大值，AC的最大值為 V10 + 8 = 34.14. 2v10?仔？的值最小,作?L ? E,.?= 2,.?= ? 1?= 1,.? 6,.? 3 ,.?= ?=彳+ 12 =工，. .?+ ?= 2v1?15.解：(1)如圖1中，. / ?=?/ ?90 , / ?=?/ ?在?故?=

18、?/ ?/ ?= ? ? ?(2) ,取AB的中點F,連接DG和CG, ,？?？ ?= 2, F 是 AC邊的中點 F.?： ?= ?= 1 , ，. ./ ? 120 ?/ ?/ ?/ ?在?, ?= ? / ?/ ? ?. “？?？?（?）.?= ?即DG有最小值時，EF也為最小值當？?L?即，DG最小值為0.5,當點D移動到C時，CG取最大值即為EF最大值,. ?=),?= 2v3, .? ?？2 3V3, ?= v71.,.?即小值為-,取大值為 v7.過點A作？?？?L?？?即交BC于點E,將?即？?點A 逆時針旋轉(zhuǎn)90 到?即 /?即/即？?即？180 , .點C, D, E三點共

19、線， / ?？?即？/ ?/ ?？即即？/ ?即 / ? 90 ,四邊形AECF為正方形， 設？? ?即？=?+ i , ?=業(yè)產(chǎn)=亞（？+ 1）, 解得？?=當L,.,.? ?= v/?+ ?= 2v2-16.解：（1）如圖，?為所求；（2）如圖，?？為所求； 點?即和?關于x軸對稱，連結(jié)? 1支?x軸于P,則?= ?則？?？?+ ?？?=?=?？1,?此時?+?酌值最小，設直線? 1的解析式為？?=?把？ （0）?(2,1)代入得?= -22?+ ?= 13,解得?= 2?= -23所以直線？i的解析式為？?= 2? 2,34當？?= 0時，2?0 2=0,解得？?= 3,所以點P的坐標為

20、（3,0）.17.解：（1）不能.理由：如圖1所示:“？? ?為等邊三角形，.?/ ?/ ?60 . / ?/ ?也?60 ,?60 ,又/ ?/ ?60 ,/ ?/ ?+?/ ?180 :.點E不能移動到直線 AB上.(2)存在：在圖(2)中，當？?面積最小.B D C(圖”,四邊形ADEF為平行四邊形，AE為對角線，.,平行四邊形ADEF的面積是?的2倍.?ADEF的面積的最小值=2 X3v3= 6v3； ？?+?酌最小值為3.如圖3所示：作點P關于AE的對稱點？,圖3 C? v3,當點N、M、？?在一條直線上，且 ？?，？?皿，?+ ?宥最小值, 過點 A 作？?/?. ?/? ?/?四

21、邊形？?？為平行四邊形.由可得？? ?最小值為2 V3，即？?+ ?的最小值為3,故答案為？?+ ?的最小值為3.18.解：.點？(0,2),.? 2,在? ?, / ?30 ,.? v3?= 2v3， ?= 2? 4,.?!_ ? ?11.? 2? 2?2 X2v3 = 4 x?.? v3；(2)如圖(1),延長CD交y軸于？?,四邊形OABC是矩形，/ ?/?.?/ ?30 ,由折疊知，/ ?/ ?30 ,?90 - / ?30 o,./ ?30 ,?90 ,.點？?, C關于AD對稱，連接? ,?就提?+ ?最小值， 由折疊知， / ?/ ?50 ,/ ?30 = / ?. ?!_ ?. .?=? 2,. .? (0),過點E作？?L ?釉于F,在?, Z ?90 - Z ?30a/33:？, , , , 223y =? ?=/ - + 2 =-,根據(jù)勾股定理得，？ =?/?為？ ？ 2