數(shù)學(xué)模型的建立

1、第二章 數(shù)學(xué)模型的建立The Set Up for the Math Model本章要求理解靜態(tài)特性和動(dòng)態(tài)特性的概念；掌握用用微分方程描述系統(tǒng)或環(huán)節(jié)動(dòng)態(tài)特性的方法；通過對(duì)拉普拉斯變換的定義、定理的復(fù)習(xí)，掌握拉氏變換和反變換的應(yīng)用；了解采用傳遞函數(shù)描述系統(tǒng)（環(huán)節(jié)）的優(yōu)越性；理解傳遞函數(shù)的性質(zhì)，掌握傳遞函數(shù)的求取方法；掌握階躍響應(yīng)描述動(dòng)態(tài)特性的方法；掌握基本環(huán)節(jié)的類型、動(dòng)態(tài)特性，能熟練表達(dá)其傳遞函數(shù)、階躍響應(yīng)；掌握環(huán)節(jié)的連接方式；掌握方框圖的等效變換；能熟練求取系統(tǒng)的綜合傳遞函數(shù)。本章重點(diǎn)：1、靜態(tài)特性和動(dòng)態(tài)特性的概念 2、用微分方程描述系統(tǒng)或環(huán)節(jié)動(dòng)態(tài)特性3、掌握傳遞函數(shù)、階躍響應(yīng)描述動(dòng)態(tài)特性的方

2、法 4、等效變換法則的應(yīng)用本章難點(diǎn)：1、用微分方程描述系統(tǒng)或環(huán)節(jié) 2、 系統(tǒng)綜合傳遞函數(shù)的求取第一節(jié) 系統(tǒng)和環(huán)節(jié)的特性Character of System and Link一 靜態(tài)特性（Static character） 靜態(tài) -運(yùn)動(dòng)中的自動(dòng)調(diào)節(jié)系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)），其輸入信號(hào)和輸出信號(hào)都不隨時(shí)間變化時(shí)，稱系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）處于平衡狀態(tài)，或靜態(tài)。靜態(tài)特性-在平衡狀態(tài)時(shí)，輸出信號(hào)和引起它變化的輸入信號(hào)之間的關(guān)系，稱為系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）的靜態(tài)特性 給出了幾個(gè)靜態(tài)特性的例子。(1) RC電路，把它作為一個(gè)環(huán)節(jié)，其輸入量為電壓u1，輸出量為電容兩端的電壓uc。在平衡狀態(tài)下，應(yīng)有下列代數(shù)方程： uc= u1(2)

3、閥門，其輸入量是閥門前后的差壓P，輸出量為流量Q，靜態(tài)特性曲線是一條二次方曲線，靜態(tài)特性方程可用下式表示： 式中 閥門局部阻力系數(shù)。(3) 閥門，其輸入量為閥門開度m，輸出量為流量Q。靜態(tài)特性曲線如圖所示，該曲線形狀隨閥芯的不同而異，一般通過試驗(yàn)獲得，很難用方程式來描述。二動(dòng)態(tài)特性（dynamic character）什么是數(shù)學(xué)模型？1.數(shù)學(xué)模型的建立下面舉例說明推導(dǎo)微分方程的基本方法。例: RC電路，已知電阻阻值為R，電容為C ,當(dāng)輸入信號(hào)為u1，輸出信號(hào)為uc時(shí)，試寫出該電路的動(dòng)態(tài)特性方程。解： 例：試列出圖2-5所示系統(tǒng)的微分方程式，并比較得到的結(jié)果。（a）中系統(tǒng)的輸入信號(hào)為FA,輸出信

4、號(hào)為質(zhì)量m的位移x;(b)中系統(tǒng)的輸入信號(hào)為流經(jīng)電路的電量q,輸出信號(hào)為ur。圖2-5 （a）質(zhì)量-彈簧-摩擦系統(tǒng) （b）電氣系統(tǒng)解：(a)根據(jù)牛頓第二定律 式中 f粘性磨擦系數(shù) K彈簧彈性系數(shù)（b）假定回路電流為i，則： 因此：請(qǐng)歸納建立系統(tǒng)微分方程的過程 ,q為電量，上式可寫成 通過上面分析，可歸納出：1.不同的環(huán)節(jié)雖然物理結(jié)構(gòu)不同，但是表示動(dòng)態(tài)特性的微分方程形式相同時(shí)，可以抽象地認(rèn)為是同類環(huán)節(jié)。2.同一個(gè)環(huán)節(jié)，當(dāng)取不同的量為輸入信號(hào)或輸出信號(hào)時(shí)，其微分方程是不同的。3.對(duì)一個(gè)具體環(huán)節(jié)來說，微分方程的階次和各系數(shù)值由環(huán)節(jié)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)和物理參數(shù)而決定。4.靜態(tài)特性包含在動(dòng)態(tài)特性之中。第二節(jié) 傳

5、遞函數(shù)及Laplace變換Transfer Function、Laplace Transfer一、拉普拉斯變換復(fù)習(xí)(Laplace)1、定義：拉普拉斯變換存在的條件為： 2、基本定理 (1)線性定理 (2)微分定理 (3)位移定理設(shè)F(s)=Lf(t)則Le-atF(t)=F(s+a)(4)遲延定理設(shè)F(s)=Lf(t)則Lf(t-T)=e-TSF(s)(5)初值定理 設(shè)F（s）=Lf(t)，如果下列極限存在的話，則有 (6)終值定理 設(shè)F（s）=Lf(t)，并且SF（s）在虛軸上及右半平面內(nèi)沒有極點(diǎn)，則有： (7)卷積定理設(shè) F1(s)=Lf1(t)，F(xiàn)2(s)=Lf2(t)則 3、部分分式

6、法例1 求的反變換。解：將F（s）分解為部分分式： 求待定常數(shù)K1，K2，由式（2-16），得： 所以 進(jìn)行反變換，求得原函數(shù) f(t)=-e-3t + 2e-t例2 求的反變換解： 查拉普拉斯變換對(duì)照表，得： f(t)=e-tcost + 2e-tsint R（s）=0有重根設(shè)R（s）=0的根中-S1為r階重根，其余（n-r）個(gè)根為單根，則F（s）可展開為 （2-18）（2-18）式中，Kr+1，Kr+2，Kn可按式（2-16）計(jì)算，而K1，K2，Kr則可按下列計(jì)算留數(shù)的公式求得： 例3 求F(S)的拉普拉斯反變換解: F(s)可展開成 因此， 查拉普拉斯關(guān)系對(duì)照表，得： 二、傳遞函數(shù)(Tr

7、ansfer Function)傳遞函數(shù)定義為：線性定常系統(tǒng)在零初始條件下，系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）輸出信號(hào)的拉普拉斯變換與輸入信號(hào)的拉普拉斯變換之比。設(shè)線性定常系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）的微分方程是： （nm） 在初始條件為零的情況下，對(duì)式（2-47）進(jìn)行拉普拉斯變換，得： 所以，該系統(tǒng)(或環(huán)節(jié))的傳遞函數(shù)為： 描述RC電路 請(qǐng)將系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和微分方程兩種描述法進(jìn)行比較描述加熱器傳遞函數(shù)具有以下性質(zhì)：傳遞函數(shù)是描述動(dòng)態(tài)特性的數(shù)學(xué)模型，它表征系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）的固有特性，和輸入信號(hào)的具體形式、大小無關(guān)。傳遞函數(shù)只能表示一個(gè)輸入對(duì)一個(gè)輸出的關(guān)系。系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分母就是系統(tǒng)的特征方程，從而能方便地判斷動(dòng)態(tài)過程的基本特性。

8、第三節(jié) 脈沖響應(yīng)和階躍響應(yīng)Impulse Response and Step Response一單位脈沖響應(yīng)函數(shù)當(dāng)系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）的輸入信號(hào)r(t)為單位脈沖函數(shù)d(t)，傳遞函數(shù)為G（s），則它的輸出信號(hào)c(t)稱為單位脈沖響應(yīng)，c(t)的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為單位脈沖響應(yīng)函數(shù)。 作圖例 RC電路的傳遞函數(shù)，試求其單位脈沖響應(yīng)函數(shù)，并作出單位脈沖響應(yīng)曲線。解：?jiǎn)挝幻}沖響應(yīng)函數(shù)uc(t)為： 作單位脈沖響應(yīng)曲線圖：二單位階躍響應(yīng)函數(shù)思考：研究熱工調(diào)節(jié)系統(tǒng)性能時(shí)，為什么常采用階躍信號(hào)作為輸入信號(hào)？當(dāng)系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）的輸入信號(hào)r(t)為單位階躍函數(shù)1(t)，傳遞函數(shù)為G（s），則它的輸出信號(hào)c(t)稱為單位階

9、躍響應(yīng)，c(t)的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為單位階躍響應(yīng)函數(shù)。由于單位階躍函數(shù)1(t)的拉普拉斯變換為： 則它的單位階躍響應(yīng)函數(shù)為： 例 RC電路的傳遞函數(shù)，試求其單位階躍響應(yīng)函數(shù)，并作出單位階躍響應(yīng)曲線。解：?jiǎn)挝浑A躍響應(yīng)函數(shù)為： 作單位階躍響應(yīng)曲線圖:第四節(jié) 基本環(huán)節(jié)及環(huán)節(jié)的聯(lián)接方式The Basic Link and the Connect Mode of Link一、基本環(huán)節(jié)1比例(Proportional)環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)的微分方程為： K環(huán)節(jié)的傳遞系數(shù)或比例系數(shù)。比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為： 作比例環(huán)節(jié)的階躍響應(yīng)曲線圖強(qiáng)調(diào)積分環(huán)節(jié)的“爬行”現(xiàn)象2.積分(Integral)環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)的微分方程為： 式中，

10、Ti積分時(shí)間。積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 作積分環(huán)節(jié)的階躍響應(yīng)曲線:3.慣性(Non-periodic)環(huán)節(jié)（非周期環(huán)節(jié)）慣性環(huán)節(jié)的微分方程為 式中 T慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)； K慣性環(huán)節(jié)的傳遞系數(shù)或稱靜態(tài)放大系數(shù)。慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 它的階躍響應(yīng)函數(shù)，即當(dāng)時(shí)，輸出信號(hào)c(t)為： 階躍響應(yīng)曲線是一條指數(shù)函數(shù)曲線。4.微分(Derivative)環(huán)節(jié)（1）理想微分環(huán)節(jié)思考：各個(gè)環(huán)節(jié)參數(shù)大小的變化會(huì)引起階躍響應(yīng)曲線形狀怎樣的變化？微分方程為 式中 Td微分時(shí)間傳遞函數(shù)為 它的階躍響應(yīng)函數(shù)為 (2)實(shí)際微分環(huán)節(jié)微分方程為 式中 Td實(shí)際微分環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)傳遞函數(shù)為 它的階躍響應(yīng)函數(shù)為 作階躍響應(yīng)曲線圖5.

11、純遲延(Delay)環(huán)節(jié)c(t)=r(t-t)式中 遲延時(shí)間，即輸出信號(hào)落后于輸入信號(hào)的一段時(shí)間。傳遞函數(shù)為 作階躍響應(yīng)曲線圖二環(huán)節(jié)的基本聯(lián)接方式1、環(huán)節(jié)的串聯(lián)(series connection)2、環(huán)節(jié)的并聯(lián)(parallel connection)3、環(huán)節(jié)的反饋聯(lián)接(feedback connection)三、方框圖的等效變換強(qiáng)調(diào)：等效變換時(shí)，只有相同方向的相鄰信號(hào)點(diǎn)才可交換位置。這是易出錯(cuò)的地方必須遵守以下規(guī)則：（1）相鄰相加點(diǎn)之間的移動(dòng) (2)相鄰引出點(diǎn)之間的移動(dòng) (3)相加點(diǎn)的后移 (4)相加點(diǎn)的前移 (5)引出點(diǎn)的后移 (6)引出點(diǎn)的前移舉例說明方框圖的等效變換。例 雙容水箱，其

12、輸入信號(hào)為流入水流量q1或流出水流量q3，其輸出信號(hào)為第二水箱的水位h2，R為線性化流阻，F(xiàn)1和F2分別為水箱的截面積，試寫出其傳遞函數(shù)。解：1、q1和q2的流量差引起第一水箱水位h1的變化過程。 2、兩個(gè)水箱中水位差（h1-h2）改變引起流量q2變化。請(qǐng)歸納系統(tǒng)綜合傳遞函數(shù)的求取步驟 3、第二水箱進(jìn)出口的流量差引起水位h2的變化。4、根據(jù)上式可得雙容水箱方框圖。根據(jù)等效變換法并以Q1（s）為輸入信號(hào)，傳遞函數(shù)為： 若以Q3（s）為輸入信號(hào)，傳遞函數(shù)為： 比較上面兩式可以看出兩個(gè)傳遞函數(shù)的分母是相同的，也就是說閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程只取決于閉環(huán)系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)，與輸入信號(hào)無關(guān) 作業(yè)：2-1 求下列函數(shù)的拉普拉斯反變換(1) (2) (3) (4)2-2 試求下圖所示環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)方程、靜態(tài)方程和傳遞函數(shù)。（a）水箱：輸入量為q1，輸出量為h，水箱截面積為F。(b)阻容電路：輸入量為u1，輸出量為u2，已知電阻R和電容C1、C2。(c)阻容電路：輸入量為u1，輸出量為u2，已知電阻R1、R2和電容C。 2-3 試分別根據(jù)比例環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、純遲延環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)方程式，推導(dǎo)出其相應(yīng)的傳遞函數(shù)及階躍響應(yīng)式，并畫出相應(yīng)的階躍響