中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)題型歸納與分層訓(xùn)練專(zhuān)題20 勾股定理(原卷版)

專(zhuān)題20勾股定理【專(zhuān)題目錄】技巧1：判定直角的四種方法技巧2：巧用勾股定理解折疊問(wèn)題技巧3：巧用勾股定理求最短路徑的長(zhǎng)【題型】一、勾股定理理解三角形【題型】二、勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題【題型】三、解直角三角形在實(shí)際中的應(yīng)用【題型】四、利用勾股定理證明線(xiàn)段的平方關(guān)系【題型】五、求梯子滑落高度【題型】六、求旗桿高度【題型】七、求螞蟻爬行距離【題型】八、求大樹(shù)折斷前的高度【題型】九、求臺(tái)階上的地毯長(zhǎng)度【題型】十、利用勾股定理選址使到兩地距離相等【考綱要求】1、了解直角三角形的有關(guān)概念，掌握其性質(zhì)與判定．2、掌握勾股定理與逆定理，并能用來(lái)解決有關(guān)問(wèn)題.【考點(diǎn)總結(jié)】一、直角三角形與勾股定理直角三角形與勾股定理直角三角形性質(zhì)①直角三角形的兩銳角互余;②直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半;③直角三角形中,斜邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)等于斜邊長(zhǎng)的一半.勾股定理概念直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，斜邊為SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0變式：1）a2=c2-b22）b2=c2-a2適用范圍：勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，因而在應(yīng)用勾股定理時(shí)，必須明了所考察的對(duì)象是直角三角形。勾股定理的證明方法一：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)可證．方法二：四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積．四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和為SKIPIF1<0大正方形面積為SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0方法三：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)得證SKIPIF1<0勾股數(shù)勾股數(shù)概念：能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱(chēng)為勾股數(shù)，即SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為正整數(shù)時(shí)，稱(chēng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為一組勾股數(shù)常見(jiàn)的勾股數(shù)：如SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0等擴(kuò)展：用含字母的代數(shù)式表示SKIPIF1<0組勾股數(shù)：1）SKIPIF1<0（SKIPIF1<0SKIPIF1<0為正整數(shù)）；2）SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為正整數(shù)）3）SKIPIF1<0（SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為正整數(shù)）注意：每組勾股數(shù)的相同整數(shù)倍，也是勾股數(shù)?！炯记蓺w納】技巧1：判定直角的四種方法【類(lèi)型】一、利用三邊的數(shù)量關(guān)系說(shuō)明直角1．如圖，在△ABC中，D為BC邊上一點(diǎn)，且AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17，求CD的長(zhǎng)．【類(lèi)型】二、利用轉(zhuǎn)化為三角形法構(gòu)造直角三角形2．如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝eq\r(5)，CD＝5，AD＝4，求S四邊形ABCD.【類(lèi)型】三、利用倍長(zhǎng)中線(xiàn)法構(gòu)造直角三角形3．如圖，在△ABC中，D為邊BC的中點(diǎn)，AB＝5，AD＝6，AC＝13，求證：AB⊥AD.【類(lèi)型】四、利用“三線(xiàn)合一”法構(gòu)造直角三角形4．如圖①，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，D為AB的中點(diǎn)，M，N分別為AC，BC上的點(diǎn)，且DM⊥DN.(1)求證：CM＋CN＝eq\r(2)BD；(2)如圖②，若M，N分別在AC，CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，探究CM，CN，BD之間的數(shù)量關(guān)系．技巧2：巧用勾股定理解折疊問(wèn)題【類(lèi)型】一、巧用全等法求折疊中線(xiàn)段的長(zhǎng)1．如圖①是一直角三角形紙片，∠A＝30°，BC＝4cm，將其折疊，使點(diǎn)C落在斜邊上的點(diǎn)C′處，折痕為BD，如圖②，再將圖②沿DE折疊，使點(diǎn)A落在DC′的延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)A′處，如圖③，則折痕DE的長(zhǎng)為()A.eq\f(8,3)cmB．2eq\r(3)cmC．2eq\r(2)cmD．3cm【類(lèi)型】二、巧用對(duì)稱(chēng)法求折疊中圖形的面積2．如圖，將長(zhǎng)方形ABCD沿直線(xiàn)BD折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)C′處，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面積．【類(lèi)型】三、巧用方程思想求折疊中線(xiàn)段的長(zhǎng)3．如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，E是邊CD的中點(diǎn)，將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，延長(zhǎng)EF交BC于點(diǎn)G，連接AG.(1)求證：△ABG≌△AFG；(2)求BG的長(zhǎng)．【類(lèi)型】四、巧用折疊探究線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系4．如圖，將長(zhǎng)方形ABCD沿直線(xiàn)EF折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，連接CE.(1)求證：AE＝AF＝CE＝CF；(2)設(shè)AE＝a，ED＝b，DC＝c，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)a，b，c三者之間的數(shù)量關(guān)系式．技巧3：巧用勾股定理求最短路徑的長(zhǎng)【類(lèi)型】一、構(gòu)造直角三角形法求平面中最短問(wèn)題1．如圖，學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形花圃，有極少數(shù)人從A走到B，為了避免拐角C走“捷徑”，在花圃?xún)?nèi)走出了一條“路”，他們僅僅少走了________步路(假設(shè)2步為1m)，卻踩傷了花草．2．小明聽(tīng)說(shuō)“武黃城際列車(chē)”已經(jīng)開(kāi)通，便設(shè)計(jì)了如下問(wèn)題：如圖，以往從黃石A坐客車(chē)到武昌客運(yùn)站B，現(xiàn)在可以在黃石A坐“武黃城際列車(chē)”到武漢青山站C，再?gòu)那嗌秸綜坐市內(nèi)公共汽車(chē)到武昌客運(yùn)站B.設(shè)AB＝80km，BC＝20km，∠ABC＝120°.請(qǐng)你幫助小明解決以下問(wèn)題：(1)求A，C之間的距離．(參考數(shù)據(jù)：eq\r(21)≈4.6)(2)若客車(chē)的平均速度是60km/h，市內(nèi)的公共汽車(chē)的平均速度為40km/h，“武黃城際列車(chē)”的平均速度為180km/h，為了在最短時(shí)間內(nèi)到達(dá)武昌客運(yùn)站，小明應(yīng)選擇哪種乘車(chē)方案？請(qǐng)說(shuō)明理由．(不計(jì)候車(chē)時(shí)間)【類(lèi)型】二、用平移法求平面中最短問(wèn)題3．如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬和高分別是50cm，30cm，10cm，A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只壁虎，它想到B點(diǎn)去吃可口的食物，請(qǐng)你想一想，這只壁虎從A點(diǎn)出發(fā)，沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)，至少需爬()A．13cmB．40cmC．130cmD．169cm4．如圖，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，則AF的長(zhǎng)是________．【類(lèi)型】三、用對(duì)稱(chēng)法求平面中最短問(wèn)題5．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)M在DC上且DM＝2，N是AC上的一動(dòng)點(diǎn)，求DN＋MN的最小值．6.高速公路的同一側(cè)有A，B兩城鎮(zhèn)，如圖，它們到高速公路所在直線(xiàn)MN的距離分別為AA′＝2km，BB′＝4km，A′B′＝8km.要在高速公路上A′，B′之間建一個(gè)出口P，使A，B兩城鎮(zhèn)到P的距離之和最?。筮@個(gè)最短距離．【類(lèi)型】四、用展開(kāi)法求立體圖形中最短問(wèn)題題型1：圓柱中的最短問(wèn)題7．如圖，已知圓柱體底面圓的半徑為eq\f(2,π)，高為2，AB，CD分別是兩底面的直徑．若一只小蟲(chóng)從A點(diǎn)出發(fā)，沿圓柱側(cè)面爬行到C點(diǎn)，則小蟲(chóng)爬行的最短路線(xiàn)的長(zhǎng)度是________(結(jié)果保留根號(hào))．題型2：圓錐中的最短問(wèn)題8．已知：如圖，觀察圖形回答下面的問(wèn)題：(1)此圖形的名稱(chēng)為_(kāi)_______．(2)請(qǐng)你與同伴一起做一個(gè)這樣的物體，并把它沿AS剪開(kāi)，鋪在桌面上，則它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)________．(3)如果點(diǎn)C是SA的中點(diǎn)，在A處有一只蝸牛，在C處恰好有蝸牛想吃的食品，但它又不能直接沿AC爬到C處，只能沿此立體圖形的表面爬行，你能在側(cè)面展開(kāi)圖中畫(huà)出蝸牛爬行的最短路線(xiàn)嗎？(4)SA的長(zhǎng)為10，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為90°，請(qǐng)你求出蝸牛爬行的最短路程．題型3：正方體中的最短問(wèn)題9．如圖，一個(gè)正方體木柜放在墻角處(與墻面和地面均沒(méi)有縫隙)，有一只螞蟻從柜角A處沿著木柜表面爬到柜角C1處．(1)請(qǐng)你在正方體木柜的表面展開(kāi)圖中畫(huà)出螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑；(2)當(dāng)正方體木柜的棱長(zhǎng)為4時(shí)，求螞蟻爬過(guò)的最短路徑的長(zhǎng)．題型4：長(zhǎng)方體中的最短問(wèn)題10．如圖，長(zhǎng)方體盒子的長(zhǎng)、寬、高分別是12cm，8cm，30cm，在AB的中點(diǎn)C處有一滴蜜糖，一只小蟲(chóng)從E處沿盒子表面爬到C處去吃，求小蟲(chóng)爬行的最短路程．【題型講解】【題型】一、勾股定理理解三角形例1、在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，如果SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0的正弦值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【題型】二、勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題例1、如圖，在3×3的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，若BD是△ABC的高，則BD的長(zhǎng)為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【題型】三、解直角三角形在實(shí)際中的應(yīng)用例3、如圖，數(shù)學(xué)興趣小組成員想測(cè)量斜坡SKIPIF1<0旁一棵樹(shù)SKIPIF1<0的高度，他們先在點(diǎn)C處測(cè)得樹(shù)頂A的仰角為SKIPIF1<0，然后在坡頂D測(cè)得樹(shù)頂A的仰角為SKIPIF1<0，已知斜坡SKIPIF1<0的坡度（坡面的鉛直高度與水平寬度的比）SKIPIF1<0，斜坡SKIPIF1<0，求樹(shù)SKIPIF1<0的高度．（結(jié)果精確到SKIPIF1<0，參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0）【題型】四、利用勾股定理證明線(xiàn)段的平方關(guān)系例4、對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形SKIPIF1<0，對(duì)角線(xiàn)SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0__________．【題型】五、求梯子滑落高度例5、如圖所示，一架梯子AB長(zhǎng)2.5米，頂端A靠在墻AC上，此時(shí)梯子下端B與墻角C的距離為1.5米，當(dāng)梯子滑動(dòng)后停在DE的位置上，測(cè)得BD長(zhǎng)為0.9米．則梯子頂端A沿墻下移了______米．【題型】六、求旗桿高度例6、如圖，小華將升旗的繩子拉到豎直旗桿底端，繩子末端剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿SKIPIF1<0處，此時(shí)繩子末端距離地面SKIPIF1<0，則繩子的長(zhǎng)度為_(kāi)___SKIPIF1<0．【題型】七、求螞蟻爬行距離例7、如圖，有一只小鳥(niǎo)從小樹(shù)頂飛到大樹(shù)頂上，它飛行的最短路程是（）A．13米 B．12米 C．5米 D．SKIPIF1<0米【題型】八、求大樹(shù)折斷前的高度例8、“折竹抵地”問(wèn)題源自《九章算術(shù)》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，問(wèn)折者高幾何？意思是：一根竹子，原高一丈，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部4尺遠(yuǎn)(如圖)，則折斷后的竹子高度為多少尺？(1丈=10尺)()A．3 B．5 C．SKIPIF1<0 D．4【題型】九、求臺(tái)階上的地毯長(zhǎng)度例9、一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)寬和高分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是這個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，SKIPIF1<0點(diǎn)有一只螞蟻，想到SKIPIF1<0點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬到SKIPIF1<0點(diǎn)最短路程為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【題型】十、利用勾股定理選址使到兩地距離相等例10、如圖，高速公路上有SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點(diǎn)相距SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為兩村莊，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，現(xiàn)要在SKIPIF1<0上建一個(gè)服務(wù)站SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩村莊到SKIPIF1<0站的距離相等，則SKIPIF1<0的長(zhǎng)是（）SKIPIF1<0．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0勾股定理（達(dá)標(biāo)訓(xùn)練）一、單選題1．如圖，矩形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC的垂直平分線(xiàn)分別交AD、AC、BC于點(diǎn)E、O、F，若SKIPIF1<0，則EF的長(zhǎng)為（

）A．8 B．15 C．16 D．242．已知SKIPIF1<0的三條邊分別是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則下列條件中不能判斷SKIPIF1<0是直角三角形的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．如圖，在等邊SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的長(zhǎng)為（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<04．如圖，是一株美麗的勾股樹(shù)，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面積分別是3、5、2、3，則最大正方形E的面積是（

）A．10 B．13 C．15 D．265．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分別為CA，CB的中點(diǎn)，BF平分∠ABC，交DE于點(diǎn)F，若AC=2SKIPIF1<0，BC=4，則DF的長(zhǎng)為（

）A．0.5 B．1 C．1.5 D．2二、填空題6．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上取點(diǎn)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______．7．如圖，O是矩形ABCD的對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，M是AD的中點(diǎn)．若BC=8，OB=5，則OM的長(zhǎng)為_(kāi)______．三、解答題8．已知：△ABC的邊長(zhǎng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)判斷三角形的形狀，并說(shuō)明理由；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的三邊長(zhǎng)．勾股定理（提升測(cè)評(píng)）一、單選題1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，SKIPIF1<0的頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則頂點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．如圖，矩形ABCD中，AB=3，AD=8，E是BC中點(diǎn)，BF⊥AE于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)F，則AM長(zhǎng)為（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．如圖，平行四邊形ABCD中，AC，BD為對(duì)角線(xiàn)，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若平行四邊形ABCD的面積為48，則AB的長(zhǎng)為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．如圖，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1