高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：(理數(shù))專題13-圓錐曲線

1、1專題專題 13 圓錐曲線圓錐曲線1已知雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)分別為 F1，F(xiàn)2，以 F1，F(xiàn)2為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個交點(diǎn)為(3，4)，則此雙曲線的方程為()A.x216y291B.x23y241C.x29y2161D.x24y231【答案】C【解析】2橢圓x212y231 的焦點(diǎn)為 F1和 F2，點(diǎn) P 在橢圓上，如果線段 PF1的中點(diǎn)在 y 軸上，那么|PF1|是|PF2|的()A7 倍B5 倍C4 倍D3 倍【答案】A【解析】由題設(shè)知 F1(3，0)，F(xiàn)2(3，0)，如圖，線段 PF1的中點(diǎn) M 在 y 軸上，可設(shè) P(3，b)，把 P(3，b)代入橢

2、圓x212y231，得 b234.|PF1|36347 32，|PF2|03432.|PF1|PF2|7 32327.故選 A.3已知 F1，F(xiàn)2為雙曲線 C：x2y21 的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn) P 在 C 上，F(xiàn)1PF260，則|PF1|PF2|()A2B 4C6D8【答案】B【解析】由余弦定理得cosF1PF2|PF1|2|PF2|2|F1F2|22|PF1|PF2|2cos 60（|PF1|PF2|）22|PF1|PF2|F1F2|22|PF1|PF2|PF1|PF2|4.4設(shè) F1，F(xiàn)2分別是雙曲線 C：x2a2y2b21 的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn) P62，22 在此雙曲線上，且 PF1PF2，則雙

3、曲線 C 的離心率等于()A.22B. 2C. 3D.62【答案】B5已知拋物線 C 的頂點(diǎn)是橢圓x24y231 的中心，焦點(diǎn)與該橢圓的右焦點(diǎn) F2重合，若拋物線 C 與該橢圓在第一象限的交點(diǎn)為 P，橢圓的左焦點(diǎn)為 F1，則|PF1|()A.23B.73C.53D2【答案】B【解析】由橢圓的方程可得 a24，b23，c a2b21，故橢圓的右焦點(diǎn) F2為(1，0)，即拋物線 C 的焦點(diǎn)為(1，0)，p21，p2，2p4，拋物線 C 的方程為 y24x，聯(lián)立x24y231，y24x.解得x23，y2 63或x23，y2 63，P 為第一象限的點(diǎn)，P23，2 63，|PF2|12353，|PF1|

4、2a|PF2|45373，故選 B.6已知雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)的左頂點(diǎn)與拋物線 y22px(p0)的焦點(diǎn)的距離為 4，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2，1)，則雙曲線的焦距為()A2 3B2 5C4 3D4 5【答案】B37拋物線 y24x 的焦點(diǎn)為 F，準(zhǔn)線為 l，經(jīng)過 F 且斜率為 3的直線與拋物線在 x 軸上方的部分相交于點(diǎn) A，AKl，垂足為 K，則AKF 的面積是()A4B3 3C4 3D8【答案】C【解析】y24x，F(xiàn)(1，0)，l：x1，過焦點(diǎn) F 且斜率為 3的直線 l1：y 3(x1)，與 y24x 聯(lián)立，解得 x3 或 x13(舍)，故

5、A(3，2 3)，AK4，SAKF1242 34 3.故選 C.8已知直線 yk(x1)(k0)與拋物線 C：y24x 相交于 A，B 兩點(diǎn)，F(xiàn) 為拋物線 C 的焦點(diǎn)，若|FA|2|FB|，則 k()A.13B.2 23C.23D.23【答案】B49設(shè)橢圓的方程為x2a2y2b21(ab0)，右焦點(diǎn)為 F(c，0)(c0)，方程 ax2bxc0 的兩實(shí)根分別為 x1，x2，則 P(x1，x2)()A必在圓 x2y22 內(nèi)B必在圓 x2y22 外C必在圓 x2y21 外D必在圓 x2y21 與圓 x2y22 形成的圓環(huán)之間【答案】D【解析】橢圓的方程為x2a2y2b21(ab0)，右焦點(diǎn)為 F(

6、c，0)(c0)，方程 ax2bxc0的兩實(shí)根分別為 x1和 x2，則 x1x2ba，x1x2ca，x21x22(x1x2)22x1x2b2a22aca2a2c2a21e2，因?yàn)?0e1，即 0e21.所以 1e211，又b2a22aca2b2a2c2a22，所以 1x21x22b0)的左焦點(diǎn)為 F，右頂點(diǎn)為 A，拋物線 y2158(ac)x 與橢圓交于 B，C 兩點(diǎn)，若四邊形 ABFC 是菱形，則橢圓的離心率等于()5A.158B.415C.23D.12【答案】D11過曲線 C1：x2a2y2b21(a0，b0)的左焦點(diǎn) F1作曲線 C2：x2y2a2的切線，設(shè)切點(diǎn)為 M，直線 F1M 交曲

7、線 C3：y22px(p0)于點(diǎn) N，其中曲線 C1與 C3有一個共同的焦點(diǎn)，若|MF1|MN|，則曲線 C1的離心率為()A. 5B. 51C. 51D.512【答案】D【解析】12已知 F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn) F2與雙曲線的一條6漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點(diǎn) M，若點(diǎn) M 在以線段 F1F2為直徑的圓外，則雙曲線離心率的取值范圍是()A(1， 2)B( 2， 3)C( 3，2)D(2，)【答案】D【解析】如圖所示，過點(diǎn) F2(c，0)且與漸近線 ybax 平行的直線為 yba(xc)，與另一條漸近線 ybax 聯(lián)立得yba（xc

8、） ，ybax，解得xc2，ybc2a，即點(diǎn) Mc2，bc2a .|OM|c22bc2a2c21ba2.點(diǎn) M 在以線段 F1F2為直徑的圓外，|OM|c，即c21ba2c，得1ba22.雙曲線離心率 eca1ba22.故雙曲線離心率的取值范圍是(2，)故選 D.13已知雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)的右焦點(diǎn)為 F，由 F 向其漸近線引垂線，垂足為P，若線段 PF 的中點(diǎn)在此雙曲線上，則此雙曲線的離心率為_【答案】2【解析】7方法二：雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)的漸近線方程為xayb0，焦點(diǎn) F 到漸近線的距離 d|ca|1a21b2b.設(shè)線段 PF 的中點(diǎn) M(x0，y0)

9、，則其到兩條漸近線的距離分別為 b，b2，距離之積為b22，又距離之積為|x0ay0b|1a21b2|x0ay0b|1a21b2a2b2c2，則a2b2c2b22，a2c212，e 2.14已知 F1，F(xiàn)2分別是雙曲線 3x2y23a2(a0)的左、右焦點(diǎn)，P 是拋物線 y28ax與雙曲線的一個交點(diǎn)，若|PF1|PF2|12，則拋物線的準(zhǔn)線方程為_【答案】x2【解析】15設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，A(2，0)，B(0，1)是它的兩個頂點(diǎn)，直線 ykx(k0)與線段AB 相交于點(diǎn) D，與橢圓相交于 E，F(xiàn) 兩點(diǎn)若ED6DF，則 k 的值為_【答案】23或38【解析】依題意得橢圓的方程為x24y21，

10、直線 AB，EF 的方程分別為 x2y2，ykx(k0)如圖，設(shè) D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(xiàn)(x2，kx2)，其中 x1x2，則 x1，x2滿足方程(14k2)x24，8故 x2x1214k2.由ED6 DF知 x0 x16(x2x0)，得 x017(6x2x1)57x2107 14k2.由 D 在直線 AB 上知，x02kx02，x0212k，所以212k107 14k2，化簡得 24k225k60，解得 k23或 k38.16在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知點(diǎn) A 在橢圓x225y291 上，點(diǎn) P 滿足AP(1)OA(R)，且OAOP72，則線段 OP 在 x 軸上的投

11、影長度的最大值為_【答案】1517已知拋物線 C：y22px(p0)的焦點(diǎn)為 F(1，0)，拋物線 E：x22py 的焦點(diǎn)為 M.(1)若過點(diǎn) M 的直線 l 與拋物線 C 有且只有一個交點(diǎn)，求直線 l 的方程；(2)若直線 MF 與拋物線 C 交于 A，B 兩點(diǎn)，求OAB 的面積【解析】 ：(1)由題意得拋物線 C：y22px(p0)的焦點(diǎn)為 F(1，0)，拋物線 E：x22py的焦點(diǎn)為 M，所以 p2，M(0，1)，當(dāng)直線 l 的斜率不存在時，x0，滿足題意；當(dāng)直線 l 的斜率存在時，設(shè)方程為 ykx1，代入 y24x，得 k2x2(2k4)x10，當(dāng) k0 時，x14，滿足題意，直線 l

12、 的方程為 y1；當(dāng) k0 時，(2k4)24k20，所以 k1，方程為 yx1，綜上可得，直線l 的方程為 x0 或 y1 或 yx1.Com(2)結(jié)合(1)知拋物線 C 的方程為 y24x，直線 MF 的方程為 yx1，9聯(lián)立y24x，yx1，得 y24y40，設(shè) A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 y1y24，y1y24，所以|y1y2|4 2，所以 SOAB12|OF|y1y2|2 2.18如圖，已知橢圓 C 的中心在原點(diǎn)，其一個焦點(diǎn)與拋物線 y24 6x 的焦點(diǎn)相同，又橢圓 C 上有一點(diǎn) M(2，1)，直線 l 平行于 OM 且與橢圓 C 交于 A，B 兩點(diǎn)，連接 MA，MB.(

13、1)求橢圓 C 的方程；(2)當(dāng) MA，MB 與 x 軸所構(gòu)成的三角形是以 x 軸上所在線段為底邊的等腰三角形時，求直線 l 在 y 軸上截距的取值范圍x22mx2m240，(2m)24(2m24)4(4m2)0，.Comm 的取值范圍是m|2m2，且 m0，設(shè) MA，MB 的斜率分別為 k1，k2，k1k20，則 A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 k1y11x12，k2y21x22，x1x22m24，x1x22m，k1k2y11x12y21x22（y11） （x22）（y21） （x12）（x12） （x22）1012x1m1（x22）12x2m1（x12）（x12） （x22）x1x

14、2（m2） （x1x2）4（m1）（x12） （x22）2m242m24m4m4（x12） （x22）0，故 MA， MB 與 x 軸始終圍成等腰三角形時， 直線 l 在 y 軸上的截距 m 的取值范圍是m|2m2，且 m019已知橢圓 C：x2a2y2b21(ab0)的兩個焦點(diǎn)分別為 F1(1，0)，F(xiàn)2(1，0)，且橢圓 C經(jīng)過點(diǎn) P43，13 .(1)求橢圓 C 的離心率；(2)設(shè)過點(diǎn) A(0，2)的直線 l 與橢圓 C 交于 M，N 兩點(diǎn)，點(diǎn) Q 是線段 MN 上的點(diǎn)，且2|AQ|21|AM|21|AN|2，求點(diǎn) Q 的軌跡方程因?yàn)?M，N 在直線 l 上，可設(shè)點(diǎn) M，N 的坐標(biāo)分別為

15、(x1，kx12)，(x2，kx22)，則|AM|2(1k2)x21，|AN|2(1k2)x22.又|AQ|2x2(y2)2 (1k2)x2.由2|AQ|21|AM|21|AN|2，得2（1k2）x21（1k2）x211（1k2）x22，即2x21x211x22（x1x2）22x1x2x21x22.將 ykx2 代入x22y21 中，得(2k21)x28kx60.11由(8k)24(2k21)60，得 k232.其中 x62，62 ，y12，23 55.20如圖，已知 M(x0，y0)是橢圓 C：x26y231 上的任一點(diǎn)，從原點(diǎn) O 向圓 M：(xx0)2(yy0)22 作兩條切線，分別交橢

16、圓于點(diǎn) P，Q.(1)若直線 OP，OQ 的斜率存在，并記為 k1，k2，求證：k1k2為定值；(2)試問|OP|2|OQ|2是否為定值？若是，求出該值；若不是，說明理由126（1k21）12k216（1k22）12k226（1k21）12k216 112k121212k12918k2112k219.1321已知動點(diǎn) P 到定點(diǎn) F(1，0)和到直線 x2 的距離之比為22，設(shè)動點(diǎn) P 的軌跡為曲線 E，過點(diǎn) F 作垂直于 x 軸的直線與曲線 E 相交于 A，B 兩點(diǎn)，直線 l：ymxn 與曲線 E交于 C，D 兩點(diǎn)，與線段 AB 相交于一點(diǎn)(與 A，B 不重合)(1)求曲線 E 的方程；(2)當(dāng)直線 l 與圓 x2y21 相切時，四邊形 ABCD 的面積是否有最大值？若有，求出其最大值及對應(yīng)的直線 l 的方程；若沒有，請說明理由【解析】 ：(1)設(shè)點(diǎn) P(x，y)，由題意可得，（x1）2y2|x2|22，整理可得x22y21.曲線 E 的方程是x22y21.1422如圖，已知拋物線 C：y24x，過點(diǎn) A(1，2)作拋物線 C 的弦 AP，AQ.(1)若 APAQ，證明：直線 PQ 過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)假設(shè)直線 PQ 過點(diǎn) T(5，2)，請問是否存在以 PQ 為底邊的等腰三角形 APQ？若存在，求出APQ 的個數(shù)，