高中數(shù)學(xué)邏輯專題訓(xùn)練

1、12簡易邏輯一、命題1.2.1如果一個命題的逆命題是真命題，那么這個命題的()(A) 否命題必是真命題(B) 否命題必是假命題(C) 原命題必是假命題(D) 逆否命題必是真命題解析一個命題的逆命題與否命題真假相同，答案為A1.2.2命題“對任意的xR，x3x210”的否定是()(A) 不存在xR，x3x210(B) 存在xR，x3x210(C) 存在xR，x3x210(D) 對任意的xR，x3x210解析“對任意的xR，x3x210”的否定是“存在xR，使得x3x210”，答案為C1.2.3與命題“若aM，則bM”等價的命題是()(A) 若bM，則aM(B) 若bM，則aM(C) 若bM，則a

2、M(D) 若aM，則bM解析逆否命題與原命題互為等價命題，原命題的逆否命題為“若bM，則aM”，所以，答案為C1.2.4設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：“當f(k)k2成立時，總可以推出f(k1)(k1)2成立”，那么，下列命題總成立的是()(A) 若f(3)9成立，則當k1時，均有f(k)k2成立(B) 若f(5)25成立，則當k5時，均有f(k)k2成立(C) 若f(7)49成立，則當k8時，均有f(k)16得f(4)25使得f(4)42成立，由已知可得當k4時，均有f(k)k2成立，答案為D1.2.5命題“若x21，則1x1”的逆否命題是()(A) 若x21，則x1或

3、x1(B) 若1x1，則x21或x1(D) 若x1或x1，則x21解析命題“若x21，則1x0等價解析若|a|b|ab|，則(|a|b|)2|ab|2，a2b22|a|b|a2b22ab，于是，|ab|ab，可得ab0；若ab0，則 或于是，|a|b|ab|所以，當a，b都是非零實數(shù)時，|a|b|ab|與ab0等價1.2.8已知A和B都是非空集合，證明：“ABAB”與“AB”是等價的解析若ABAB，則任取xA，必有xABAB，于是，xAB，則xB，所以，AB，同理可得BA，于是，AB；若AB，則顯然有ABAB，所以，“ABAB”與“AB”是等價的1.2.9已知a，b，c是實數(shù)，則與“a，b，c

4、互不相等”等價的是()(A) ab且bc(B) (ab)(bc)(ca)0(C) (ab)2(bc)2(ca)20(D) a2，b2，c2互不相等解析由于不相等關(guān)系不具有傳遞性，當ab且bc，a與c可能相等；由(ab)2(bc)2(ca)20可得ab，bc，ca中至少有一個不成立，即(ab)2(bc)2(ca)20等價于“a，b，c不全相等”，而不能等價于“a，b，c互不相等”；a1，b0，c1，此時a，b，c互不相等，但a2c2，所以，“a，b，c互不相等”與“a2，b2，c2互不相等”不是等價的；ab等價于ab0，“a，b，c互不相等”等價于ab0，bc0，ca0同時成立，所以，“a，b，

5、c互不相等”與“(ab)(bc)(ca)0”等價，答案為B1.2.10命題“若ab0，則a、b中至少有一個為零”的逆否命題為 解析原命題的逆否命題為“若a、b均不為零，則ab0”1.2.11給出下列四個命題： 若x2y2，則xy； 若xy，則x2y2； 若x2y2，則xy； 若xy且xy，則x2y2，其中真命題的序號是解析由x2y2可得xy或xy，命題不成立；若xy0，此時xy，而x2y2，于是，命題不成立；若x2y2時有xy，則可得x2y2，矛盾，于是，命題成立；對于xy且xy，如果x2y2，則有xy或xy，即xy與xy至少有一個成立，矛盾，于是，命題成立所以，上述四個命題中，真命題的序號是

6、和1.2.12已知命題p：方程x2mx10有兩個不等的負實根命題q：方程4x2 4(m2)x10沒有實根若“p或q”為真，“p且q”為假，求實數(shù)m的取值范圍解析當命題p為真時，應(yīng)有解得m2當命題q為真時，應(yīng)有16(m2)2160，解得1m1，使“p且q”為假的m的取值范圍是m2或m3，所以，使兩者同時成立的m的取值范圍是m3或10，a21a22a230，a31a32a330可得數(shù)表中的九個數(shù)之和為正；同時，又有a11a21a310，a12a22a320，a13a23a3312，與a2b2144矛盾，所以，滿足要求的a，b不存在1.2.15中學(xué)數(shù)學(xué)中存在許多關(guān)系，比如“相等關(guān)系”，“平行關(guān)系”等

7、等，如果集合A中元素之間的一個關(guān)系“”滿足以下三個條件：(1) 自反性：對于任意aA，都有aa；(2) 對稱性：對于a，bA，若ab，則有ba；(3) 傳遞性：對于a，b，cA，若ab，bc，則有ac，則稱“”是集合A的一個等價關(guān)系，例如：“數(shù)的相等”是等價關(guān)系，而“直線的平行”不是等價關(guān)系(自反性不成立)，請你再列出三個等價關(guān)系：解析由集合、角、向量的性質(zhì)可知，“集合相等”、“角相等”、“向量相等”都是滿足要求的等價關(guān)系1.2.16已知函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，a，bR寫出命題“若ab0，則f(a)f(b)f(a)f(b)”的逆命題，并判斷其真假若所寫命題是真命題，給出證明；若所寫命題是假

8、命題，給出反例解析所求逆命題為：已知函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，a，bR若f(a)f(b)f(a)f(b)，則ab0該命題是真命題證明如下：若ab0，即ab，由函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)得f(a)f(b)，同理f(b)f(a)，由此可得f(a)f(b)f(a)f(b)，與已知條件矛盾所以，ab0二、充分條件和必要條件1.2.17兩個圓“周長相等”是“面積相等”的()(A) 充分不必要條件(B) 必要不充分條件(C) 充要條件(D) 既不充分也不必要條件解析兩個圓周長相等，則由2r12r2得兩圓半徑r1r2，則兩圓面積相等，反之亦然，所以，兩個圓“周長相等”是“面積相等”的充要條件，答案為C1.

9、2.18P：四邊形四條邊長相等，Q：四邊形是平行四邊形，則P是Q的()(A) 充分不必要條件(B) 必要不充分條件(C) 充要條件(D) 既不充分也不必要條件解析當四邊形的四條邊長相同時，它是菱形，一定是平行四邊形；反之，一個平行四邊形的四條邊長不一定都相等，所以，P是Q的充分不必要條件，答案為A1.2.19已知a，b，c，d都是實數(shù)，則“ab且cd”是“acbd”的()(A) 充分不必要條件(B) 必要不充分條件(C) 充要條件(D) 既不充分也不必要條件解析對于實數(shù)a，b，c，d，如果ab且cd，則有ab0，cd0，則ac(bd)(ab)(cd)0，于是，acbd；反之，如果a1，b2，c

10、4，d3，有acbd，但此時ab，cd，所以，“ab且cd”是“acbd”的充分不必要條件，答案為A1.2.20已知a，b，c是實數(shù)，則“ab”是“acbc”的()(A) 充分不必要條件(B) 必要不充分條件(C) 充要條件(D) 既不充分也不必要條件解析如果ab，則ab0，于是，acbc(ab)c0，可得acbc；反之，如果c0，a1，b2，此時有acbc，但ab，所以，“ab”是“acbc”的充分不必要條件，答案為A1.2.21設(shè)m，n是整數(shù)，則“m，n均為偶數(shù)”是“mn是偶數(shù)”的()(A) 充分不必要條件(B) 必要不充分條件(C) 充要條件(D) 既不充分也不必要條件解析如果m，n均為

11、偶數(shù)，則mn一定是偶數(shù)；反之，如果m1，n3，mn4為偶數(shù)，但此時m和n都不是偶數(shù)，所以，“m，n均為偶數(shù)”是“mn是偶數(shù)”的充分而不必要條件，答案為A1.2.22設(shè)集合A，B是全集U的兩個子集，則AB是UABU的()(A) 充分不必要條件題1.2.22(B) 必要不充分條件(C) 充要條件(D) 既不充分也不必要條件解析由表示集合U，A，B關(guān)系的圖形可知當AB時必有UABU成立，反之，當AB時，也有UABU成立，即A是B的真子集不是UABU成立的必要條件，所以，答案為A1.2.23對于集合M和P，“xM或xP”是“xMP”的()(A) 充分不必要條件題1.2.23(B) 必要不充分條件(C)

12、 充要條件(D) 既不充分也不必要條件解析由表示集合M，P的圖形可知當xM或xP時不一定有xMP，而當xMP時必有xM或xP，所以，“xM或xP”是“xMP”的必要不充分條件，答案為B1.2.24如果x，y是實數(shù)，那么“cos xcos y”是“xy”的()(A) 充分不必要條件(B) 必要不充分條件(C) 充要條件(D) 既不充分也不必要條件解析當cos xcos y時，不一定有xy，而當xy時，必有 cos xcos y，所以，“cos xcos y”是“xy”的必要不充分條件，答案為B1.2.25使不等式(1|x|)(1x)0成立的充要條件為()(A) x1(B) 1x1且x1(D) x

13、1且x1解析此不等式等價于或解得1x1或x1，即為x0(B) ab0(D) ac0解析若一元二次方程ax2bxc0有一個正數(shù)根x1和一個負數(shù)根x2，則x1x20，則ac0；反之，若ac0，此方程一定有兩個實數(shù)根，且兩根之積為0，這兩個實數(shù)根一定是一個正數(shù)和一個負數(shù)，所以，一元二次方程ax2bxc0有一個正數(shù)根和一個負數(shù)根的充要條件是ac1”是“1，則10，即1；反之，如果x0，則有1不成立，所以，“x1”是“0對任意的xR恒成立的充要條件是解析當a1時，f(x)30恒成立而當a1時，f(x)2x3不是對一切xR都有f(x)0成立當a1時，使f(x)0對一切xR都成立的充要條件是解得a1或a0對

14、任意的xR恒成立充要條件是a1或a3且b3時，必有ab6，ab9成立反之，在ab6且ab9的條件下，不一定有a3且b3成立，如a1，b10所以，是的充分不必要條件(2) 成立的充要條件是1.2.34證明：AB是(AC)(BC)的充分不必要條件解析當AB時，任取xBC有xB且xC，于是有xA且xC，則xAC，所以，AB是(AC)(BC)的充分條件，而C使(AC)(BC)成立，但B不一定是A的子集，所以，AB是(AC)(BC)充分不必要條件1.2.35“ab”是否為“關(guān)于x的方程a(ax1)b(bx1)有解”的充要條件?若是，請予以證明；若不是，請指出它是什么條件?并請說明理由解析對于未知數(shù)是x的方程(a2b2)xab，如果a1而b1，此時有ab，而原方程是0x2，此方程無解，于是，“ab”不是“關(guān)于x的方程a(ax1)b(bx1)有解”的充分條件；反之，如果ab，則關(guān)于x的方程(a2b2)xab即為0x0，此方程的解集為R，則“ab”不是“關(guān)于x的方程a(ax1)b(bx1)有解”的必要條件，即“ab”是“關(guān)于x的方程a(ax1)b(bx1)有解”的既不充分也不必要條件1.2.36如果系數(shù)a1，b1，c1和a2，b2，c2都是非零常數(shù)的方程a1x2b1xc10和a2x2b2xc20的解集分別是A和B，求證：“”是“AB”的