高一數(shù)學(xué)上冊期中復(fù)習(xí)知識點(diǎn)和試卷

1、.高一數(shù)學(xué)：解函數(shù)常見的題型及方法主編：東平校區(qū) 張忠兵一、函數(shù)定義域的求法函數(shù)的定義域是函數(shù)三要素之一，是指函數(shù)式中自變量的取值范圍。高考中考查函數(shù)的定義域的題目多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，有時也出現(xiàn)在大題中作為其中一問。以考查對數(shù)和根號兩個知識點(diǎn)居多。1、 求具體函數(shù)定義域 求函數(shù)的定義域，其實質(zhì)就是以函數(shù)解析式所含的運(yùn)算有意義為準(zhǔn)則，列出不等式或不等式組，然后求出它們的解集，其準(zhǔn)則一般是：分式中分母不為零偶次方根，被開方數(shù)非負(fù)對于，要求指數(shù)式子中，底數(shù)大于零且不等于1對數(shù)式中，真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1由實際問題確定的函數(shù)，其定義域要受實際問題的約束例：函數(shù)y的定義域為 。解:

2、要使函數(shù)有意義，則所以原函數(shù)的定義域為x|x，且x. 評注：對待此類有關(guān)于分式、根式的問題，切記關(guān)注函數(shù)的分母與被開方數(shù)即可，兩者要同時考慮，所求“交集”即為所求的定義域。2、 求抽象函數(shù)的定義域(1) 若已知函數(shù)的定義域為，其復(fù)合函數(shù)的定義域由不等式求出的取值范圍，即為函數(shù)的定義域；例: 若函數(shù)的定義域為，則的定義域為 。分析：由函數(shù)的定義域為可知：；所以中有。解：依題意知： 解之，得的定義域為點(diǎn)評：對數(shù)式的真數(shù)為，本來需要考慮，但由于已包含的情況，因此不再列出。(2) 若已知函數(shù)的定義域為，其函數(shù)的定義域為在時的值域。例3：已知的定義域為（-1，5，求函數(shù)的定義域。解： -1x5 -32x

3、-19所以，函數(shù)的定義域為.2、 函數(shù)值域求解方法 求函數(shù)的值域是高中數(shù)學(xué)基本問題之一，也是考試的熱點(diǎn)和難點(diǎn)之一，由于求函數(shù)的值域往往需要綜合用到眾多的知識內(nèi)容，技巧性強(qiáng)，所以難度比較大。 以下是求函數(shù)值域的幾種常用方法：1、直接法：從自變量的范圍出發(fā)，推出的取值范圍?；蛴珊瘮?shù)的定義域結(jié)合圖象，或直觀觀察，準(zhǔn)確判斷函數(shù)值域的方法。 例：求函數(shù)的值域。 例：求函數(shù)的值域。解：，函數(shù)的值域為。2、配方法：配方法式求“二次函數(shù)類”值域的基本方法。形如的函數(shù)的值域問題，均可使用配方法。例：求函數(shù)（）的值域。解：， ，函數(shù)（）的值域為。3、函數(shù)的單調(diào)性法：確定函數(shù)在定義域（或某個定義域的子集）上的單調(diào)性

4、，求出函數(shù)的值域。例：求函數(shù)在區(qū)間上的值域。分析與解答：任取，且，則，因為，所以：，當(dāng)時，則；當(dāng)時，則；而當(dāng)時，于是：函數(shù)在區(qū)間上的值域為。4、反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系，通過求反函數(shù)的定義域，得到原函數(shù)的值域。例：求函數(shù)的值域。解：由可得，則其反函數(shù)為，其定義域為：函數(shù)的值域為。5、換元法：運(yùn)用代數(shù)代換，將所給函數(shù)化成值域容易確定的另一函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域，形如（、均為常數(shù)，且）的函數(shù)常用此法求解。例：求函數(shù)的值域。解：令（），則，當(dāng)，即時，無最小值。函數(shù)的值域為。6、判別式法：把函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于的二次方程；通過方程有實數(shù)根，判別式，從而求得原函數(shù)的值域，形如

5、（、不同時為零）的函數(shù)的值域，常用此方法求解。例：求函數(shù)的值域。解：由變形得，當(dāng)時，此方程無解；當(dāng)時，解得，又，函數(shù)的值域為7、分離常數(shù)法：分子、分母是一次函數(shù)得有理函數(shù)，可用分離常數(shù)法，此類問題一般也可以利用反函數(shù)法。例：求函數(shù)的值域。解：，函數(shù)的值域為。8、有界性法：利用某些函數(shù)有界性求得原函數(shù)的值域。例：求函數(shù)的值域。解：由函數(shù)的解析式可以知道，函數(shù)的定義域為，對函數(shù)進(jìn)行變形可得，（，），函數(shù)的值域為3、 求函數(shù)解析式的方法 求函數(shù)的解析式是函數(shù)的常見問題,也是高考的常規(guī)題型之一,方法眾多,下面對一些常用的方法一一辨析.1、配湊法：已知復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式，求的解析式，的表達(dá)式容易配成的運(yùn)算

6、形式時，常用配湊法。但要注意所求函數(shù)的定義域不是原復(fù)合函數(shù)的定義域，而是的值域。 例： 已知 ，求 的解析式解：， 2、換元法：已知復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式時，還可以用換元法求的解析式。與配湊法一樣，要注意所換元的定義域的變化。例： 已知，求解：令，則， 3、待定系數(shù)法：若已知函數(shù)類型（如一次函數(shù)、二次函數(shù)），可用待定系數(shù)法例：已知是二次函數(shù)，且，求的解析式解：設(shè)解得4、構(gòu)造方程組法：若已知的函數(shù)關(guān)系較為抽象簡約，則可以對變量進(jìn)行置換，設(shè)法構(gòu)造方程組，通過解方程組求得函數(shù)解析式。例： 設(shè)求解 顯然將換成，得： 解 聯(lián)立的方程組，得：例： 設(shè)為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，又試求的解析式解 為偶函數(shù)，為奇函數(shù)， 又

7、 ，用替換得： 即 解 聯(lián)立的方程組，得 ， 5、賦值法：當(dāng)題中所給變量較多，且含有“任意”等條件時，往往可以對具有“任意性”的變量進(jìn)行賦值，使問題具體化、簡單化，從而求得解析式。 例： 已知：，對于任意實數(shù)x、y，等式恒成立，求解對于任意實數(shù)x、y，等式恒成立， 不妨令，則有 以函數(shù)解析式為：6、代入法：求已知函數(shù)關(guān)于某點(diǎn)或者某條直線的對稱函數(shù)時，一般用代入法。例：已知：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，求的解析式解：設(shè)為上任一點(diǎn)，且為關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn) 則，解得： ，點(diǎn)在上 把代入得： 整理得 例：設(shè)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)，試求函數(shù)的解析式解：設(shè)，則 是定義在R上的奇函數(shù) 故 ，當(dāng)時，4、 判斷具體函

8、數(shù)單調(diào)性的方法1、定義法 一般地，設(shè)為定義在上的函數(shù)。若對任何、，當(dāng)時，總有(1)，則稱為上的增函數(shù)； (2),則稱為上的減函數(shù)，。 利用定義來證明函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性的一般步驟：（1）設(shè)元，任取,且；（2）作差；（3）變形（普遍是因式分解和配方）；（4）斷號（即判斷差與0的大?。?； （5）定論（即指出函數(shù) 在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性）。例：用定義證明函數(shù) 在上的單調(diào)性。證明：設(shè)、，且，則，又 所以，當(dāng)、時，此時函數(shù)為減函數(shù)；當(dāng)、時，此時函數(shù)為增函數(shù)。綜上函數(shù) 在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)；在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)。2、函數(shù)性質(zhì)法函數(shù)性質(zhì)法是用單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)來判斷函數(shù)單調(diào)性的方法。函數(shù)性質(zhì)法通常與我們常見的簡單

9、函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合起來使用。對于一些常見的簡單函數(shù)的單調(diào)性如下表：函數(shù)函數(shù)表達(dá)式單調(diào)區(qū)間特殊函數(shù)圖像一次函數(shù)當(dāng)時，在R上是增函數(shù)；當(dāng)時，在R上是減函數(shù)。二次函數(shù)當(dāng)時，時單調(diào)減,時單調(diào)增；當(dāng)時，時單調(diào)增，時單調(diào)減。反比例函數(shù)且當(dāng)時,在時單調(diào)減，在時單調(diào)減；當(dāng)時,在時單調(diào)增，在時單調(diào)增。指數(shù)函數(shù)當(dāng)時，在R上是增函數(shù)；當(dāng)，時在R上是減函數(shù)。對數(shù)函數(shù) 當(dāng)時，在上是增函數(shù)；當(dāng)時，在上是減函數(shù)。幾個常用的結(jié)論：若、為增函數(shù)，則有一下結(jié)論：+為增函數(shù)；（為常數(shù)）當(dāng)時，為增函數(shù)，為減函數(shù)；恒成立時，為減函數(shù)；當(dāng)，為增函數(shù)；為增函數(shù)；當(dāng)、，則為增函數(shù)。例：判斷的單調(diào)性。解:函數(shù)的定義域為，由簡單函數(shù)的單調(diào)性知在此

10、定義域內(nèi) 均為增函數(shù)，因為,由性質(zhì)可得也是增函數(shù)；由單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)知為增函數(shù)，再由性質(zhì)知函數(shù)+5在為單調(diào)遞增函數(shù)。3、圖像法 用函數(shù)圖像來判斷函數(shù)單調(diào)性的方法叫圖像法。根據(jù)單調(diào)函數(shù)的圖像特征，若函數(shù)的圖像在區(qū)間上從左往右逐漸上升則函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；若函數(shù)圖像在區(qū)間上從左往右逐漸下降則函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)。、例: 如圖1-1是定義在閉區(qū)間-5,5上的函數(shù)的圖像，試判斷其單調(diào)性。解：由圖像可知：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間有-5,-2），-2,1），1,3），3,5）.其中函數(shù)在區(qū)間-5,-2），1,3）上的圖像是從左往右逐漸下降的，則函數(shù)在區(qū)間-5,-2），1,3）為減函數(shù)；函數(shù)在區(qū)間-2,1），3,5上

11、的圖像是從往右逐漸上升的，則函數(shù)在區(qū)間-2,1），3,5上是增函數(shù)。 4、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷法 若是增函數(shù)，是增（減）函數(shù)，則是增（減）函數(shù)。（2）若是減函數(shù)，是增（減）函數(shù)，則是減（增）函數(shù)。 歸納此定理，可得口訣：同則增，異則減（同增異減）復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的四種情形可列表如下：情形 單調(diào)性函數(shù) 第種情形第種情形第種情形第種情形內(nèi)層函數(shù)外層函數(shù)復(fù)合函數(shù)判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟：合理地分解成兩個基本初等函數(shù)；分別解出兩個基本初等函數(shù)的定義域；分別確定單調(diào)區(qū)間；若兩個基本初等函數(shù)在對應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性是同時單調(diào)遞增或同單調(diào)遞減，則為增函數(shù)，若為一增一減，則為減函數(shù)（同增異減）；求出相應(yīng)區(qū)間的交

12、集，既是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。以上步驟可以用八個字簡記“一分”，“二求”，“三定”，“四交”。利用“八字”求法可以解決一些復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題。 例: 求（且）的單調(diào)區(qū)間。解：由題可得函數(shù)是由外函數(shù)和內(nèi)函數(shù)符合而成。由題知函數(shù)的定義域是。內(nèi)函數(shù)在內(nèi)為增函數(shù)，在內(nèi)為減函數(shù)。若，外函數(shù)為增函數(shù)，由同增異減法則，故函數(shù)在上是增函數(shù)；函數(shù)在上是減函數(shù)。若，外函數(shù)為減函數(shù)，由同增異減法則，故函數(shù)在上是減函數(shù)；函數(shù)在上是增函數(shù)。五、判斷函數(shù)奇偶性的方法：1、定義法：對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個x，都有函數(shù)f（x）是偶函數(shù)； 對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個x，都有 函數(shù)f（x）是奇函數(shù)； 判斷函數(shù)奇偶性的步驟：、判

13、斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱；、比較與的關(guān)系，、按照定義，下結(jié)論。例：判斷下列函數(shù)的奇偶性 解：函數(shù)定義域為 為奇函數(shù)。2、圖象法：圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱的函數(shù)是奇函數(shù)；圖象關(guān)于y軸對稱的函數(shù)是偶函數(shù)。，例：判斷下列函數(shù)的奇偶性 解：圖像如右圖所示由圖像可知為偶函數(shù)。說明：一般情況下，解答題要用定義法判斷函數(shù)的奇偶性，選擇題、填空題可用圖象法判斷函數(shù)的奇偶性。3、運(yùn)算法：幾個與函數(shù)奇偶性相關(guān)的結(jié)論：奇函數(shù)+奇函數(shù)=奇函數(shù)；偶函數(shù)+偶函數(shù)=偶函數(shù)；奇函數(shù)奇函數(shù)=偶函數(shù)；奇函數(shù)偶函數(shù)=奇函數(shù)；偶函數(shù)偶函數(shù)=偶函數(shù)。4、復(fù)合函數(shù)： 函數(shù)g(x)，f(x)，fg(x)的定義域都是關(guān)于原點(diǎn)對稱的， 若u=g

14、(x)，y=f(u)都是奇函數(shù)時，y=fg(x)是奇函數(shù)； 若u=g(x)，y=f(u)都是偶函數(shù)，或者一奇一偶時，y= fg(x)是偶函數(shù)。 復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點(diǎn)是：“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外”。廣東惠州高中一年級(上)期中考試 數(shù)學(xué)科試題命題人：東平校區(qū) 張忠兵一、選擇題（每小題5分，共50分）1.已知全集,，則( )A. B. C. D. 2.函數(shù)的圖象是（ ） A 3. 如果冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn),則的值等于（ ） A.16 B. 2 C. D. 4. 設(shè)，c，則（ ）A B C D5下列函數(shù)在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（ ） A.y = x (x(0,+) B.y = 3x (xR)C

15、.y = x (xR) D.y = lg|x| (x0)6. 偶函數(shù)在區(qū)間0，4上單調(diào)遞減，則有（ ） A. B. C. D. 7. 在中，實數(shù)的取值范圍是（ ）A B C D 8若函數(shù)，則 （ ）A B C D9. 設(shè)集合若則的范圍是 （ ）A B C D 10.如果一個函數(shù)滿足： （1）定義域為R； （2）任意，若，則； （3）任意，若，.則可以是（ ）ABCD二、填空題（每小題5分，共20分）11的定義域為_12函數(shù)的圖象與函數(shù)（）的圖象關(guān)于直線對稱，則函數(shù)的解析式為_13函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是_14.定義集合運(yùn)算：設(shè)則集合的所有元素之和為 三、解答題：(共80分、解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)15. （本題12分）計算（1） （2）16. （本題12分）設(shè)函數(shù)且（1）求a,b的值；（2）當(dāng)時，求最大值。17. （本小題14分）已知奇函數(shù)（1）求實數(shù)