拋物線及其標準方程63913

1、噴泉噴泉拱橋拱橋 與一個定點與一個定點F的距離和一條定直線的距離和一條定直線l 的距離的比是常數(shù)的距離的比是常數(shù)e的點的軌跡的點的軌跡（直線（直線 l 不經(jīng)過點不經(jīng)過點F）, ,當當0 0e e1時，時，點的點的軌跡是軌跡是 ；當當e e1時，時，點的軌跡是點的軌跡是 ；我們把這個定義叫做橢圓和雙曲線的我們把這個定義叫做橢圓和雙曲線的第二定義第二定義。那么當。那么當e= =1時，點的軌跡又是什么呢？時，點的軌跡又是什么呢？ 橢圓橢圓雙曲線雙曲線復習提問：復習提問： lF拋物線拋物線拋物線的拋物線的焦點焦點拋物線的拋物線的準線準線 平面內(nèi)與平面內(nèi)與一個定點一個定點F F和和一條定直線一條定直線l

2、 l的距離相等的距離相等的點的軌跡的點的軌跡 叫做叫做拋物線拋物線（不經(jīng)過點F）M1.1.建建: :建立直角坐標系建立直角坐標系. .3.3.列列: :根據(jù)條件列出等式根據(jù)條件列出等式; ;4.4.代代: :代入坐標與數(shù)據(jù)代入坐標與數(shù)據(jù); ;5.5.化化: :化簡方程化簡方程. .2.2.設(shè)設(shè): :設(shè)點設(shè)點( (x,yx,y););回顧求曲線方程一般步驟：回顧求曲線方程一般步驟：6.6.（證證）: :檢驗檢驗 平面內(nèi)與一個定點平面內(nèi)與一個定點F和和一條定直線一條定直線l 的距離相的距離相等的點的軌跡叫做等的點的軌跡叫做拋拋物線物線。 （定點定點F不在定不在定直線直線l 上上） 點點F叫做拋物線

3、的叫做拋物線的焦點焦點,直線直線l 叫做拋物線的叫做拋物線的準準線線。（一）（一）拋物線的定義拋物線的定義lFKMN想一想：定義中當直線想一想：定義中當直線l 經(jīng)經(jīng)過定點過定點F，則點，則點M的軌跡的軌跡是什么是什么?lF一條經(jīng)過點一條經(jīng)過點F且且垂直于垂直于l 的直線的直線 FMlN想一想：求拋物線方程時該如何想一想：求拋物線方程時該如何建立直角坐標系？建立直角坐標系？（二）拋物線的標準方程（二）拋物線的標準方程yxoy=ax2+bx+cy=ax2+cy=ax2思考：思考： 拋物拋物線是一個怎樣線是一個怎樣的對稱圖形？的對稱圖形？如圖所示，以經(jīng)如圖所示，以經(jīng)過點過點F且垂直且垂直于于l 的直

4、線為的直線為x軸軸, x軸與直線軸與直線l 交于點交于點K，與拋物線交于點，與拋物線交于點O，則則O是線段是線段KF的中點的中點，以以O(shè)為為原點原點,建立直角坐標系。建立直角坐標系。 設(shè)設(shè)|KF|=p (p0),那么焦點那么焦點F的坐標為的坐標為( ,0),準準 線線 l 的方程為的方程為x= 。p2p2xyOFMlNK設(shè)點設(shè)點M(x,y)是拋物線上任意一點，點是拋物線上任意一點，點M到到l的距離的距離為為d=|MN|想一想：想一想：p的幾何意義？的幾何意義？求拋物線的方程求拋物線的方程為什么？為什么？2px (, 0 )2pxyOFMlNK由拋物線的定義，由拋物線的定義，|2pdx|MFd2

5、2()|22ppxyx22|()2pMFxy22ypx化簡后得化簡后得 :拋物線的標準方程為拋物線的標準方程為22(0)ypx p它表示的拋物線焦點在它表示的拋物線焦點在x軸的軸的正半軸上正半軸上,坐標是坐標是 ，準線方程是準線方程是(, 0 )2p2px 注意：拋物線注意：拋物線標準方程標準方程表示的是頂點在原點，表示的是頂點在原點，對稱軸為坐標軸的拋物線。對稱軸為坐標軸的拋物線。 一條拋物線，由于它在坐標平面內(nèi)的位置不一條拋物線，由于它在坐標平面內(nèi)的位置不同，方程也不同，所以拋物線的標準方程還有其同，方程也不同，所以拋物線的標準方程還有其它形式。它形式。想一想：怎樣推導出其它幾種形式的方程

6、？想一想：怎樣推導出其它幾種形式的方程？yox準線方程準線方程焦點坐標焦點坐標標準方程標準方程圖圖 形形x xF FOy ylx xF FOy ylx xF FOy ylx xFOy yl)0 ,2p(2px)0 ,2p(2px)2p0( ，2py)2p0(，2py P的意義的意義:拋物拋物線的焦點到準線的焦點到準線的距離線的距離方程的特點方程的特點:(1)左邊左邊是二次是二次式式,(2)右邊右邊是一次是一次式式;決定了決定了焦點焦點的位置的位置.想一想：想一想：第一：一次項變量決定對稱軸。第一：一次項變量決定對稱軸。第二：一次項系數(shù)的正負決定了開口方向。第二：一次項系數(shù)的正負決定了開口方向。

7、說明：當對稱軸和開口方向確定好之后，拋物線圖說明：當對稱軸和開口方向確定好之后，拋物線圖象就隨之確定，根據(jù)圖象可以很容易判斷焦點坐標象就隨之確定，根據(jù)圖象可以很容易判斷焦點坐標和準線方程。整個判斷過程體現(xiàn)出從數(shù)到形，再由和準線方程。整個判斷過程體現(xiàn)出從數(shù)到形，再由形到數(shù)的數(shù)形結(jié)合思想。形到數(shù)的數(shù)形結(jié)合思想。（1）已知拋物線的標準方程是）已知拋物線的標準方程是y2 = 6x， 求它的焦點坐標和準線方程；求它的焦點坐標和準線方程；（2）已知拋物線的方程是）已知拋物線的方程是y = 6x2， 求它的焦點坐標和準線方程；求它的焦點坐標和準線方程；（3）已知拋物線的焦點坐標是）已知拋物線的焦點坐標是F（

8、0，-2），）， 求它的標準方程。求它的標準方程。解：因為，故焦點坐標為（解：因為，故焦點坐標為（,）準線方程為準線方程為x=- .3232 1 12解解:方程可化為方程可化為:x =- y,故故p=,焦點坐標焦點坐標為為(0, -),準線方程為準線方程為y= .16 1 24 1 242解解:因焦點在因焦點在y軸的負半軸上軸的負半軸上,且且p/2=2,p=4,故其標準方程為故其標準方程為:x = - 8y21：根據(jù)下列條件，寫出拋物線的標準方程：根據(jù)下列條件，寫出拋物線的標準方程：（1）焦點是）焦點是F（3，0）（2）準線方程）準線方程 是是x = 41（3）焦點到準線的距離是）焦點到準線的

9、距離是2解：解：y2 =12x解：解：y2 =x小結(jié)強化提高根據(jù)下列條件寫出拋物線的標準方程.(1)焦點到準線的距離是2；關(guān)鍵：理解關(guān)鍵：理解p的幾何意義，的幾何意義，熟記標準方程四種形式熟記標準方程四種形式解：解：焦點到準線的距離為焦點到準線的距離為2 p=2 又又焦點的位置不確定焦點的位置不確定 該拋物線標準方程有四種形式該拋物線標準方程有四種形式 y2=2px ， x2=2py 此拋物線的標準方程有四種情況：此拋物線的標準方程有四種情況： y2=4x ， x2=4y 題后反思：題后反思：用用待定系數(shù)法待定系數(shù)法求拋物線標準方程應(yīng)求拋物線標準方程應(yīng)先確定拋物線的形式先確定拋物線的形式，再求

10、再求p值。值。無法確定焦點位置，注意分類討論無法確定焦點位置，注意分類討論2、求下列拋物線的焦點坐標和準線方程：、求下列拋物線的焦點坐標和準線方程： （1）y2 = 20 x （2）x2= y （3）x2 +8y =021焦點坐標焦點坐標準線方程準線方程（1）（2）（3）（5，0）x= -5（0，）18y= - 18y=2(0 , -2)感悟感悟 ：求拋物線的焦點坐標和準線方程要先化成：求拋物線的焦點坐標和準線方程要先化成拋物拋物線的標準方程。線的標準方程。例例2 一種衛(wèi)星接收天線的軸截面如圖（1）所示。衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入軸截面為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚集到焦點處。已知接受天線的口徑

11、（直徑）為4.8m,深度為0.5m。試建立適當?shù)淖鴺讼?，求拋物線的標準方程和焦點坐標。0.5m4.8m解：如上圖，在接收天線的軸截面所在平面內(nèi)建立直解：如上圖，在接收天線的軸截面所在平面內(nèi)建立直角坐標系，使接收天線的頂點（即拋物線的頂點）與角坐標系，使接收天線的頂點（即拋物線的頂點）與原點重合。原點重合。 220.52.4p22(0)px py設(shè)拋物線的標準方程是設(shè)拋物線的標準方程是 ，由已知條件，由已知條件(0.5,2.4)可得，點可得，點A的坐標是的坐標是 ，代入方程，得，代入方程，得5.76p 即即(2.88,0)211.52xy所以，所求拋物線的標準方程是所以，所求拋物線的標準方程是

12、，焦點的坐標是焦點的坐標是4.8m0.5m（四）課堂小結(jié)（四）課堂小結(jié)平面內(nèi)與一個定點平面內(nèi)與一個定點F的距離和一條定直線的距離和一條定直線l 的距離的距離相等的點的軌跡叫做拋物線。相等的點的軌跡叫做拋物線。一個定義：兩類問題：三項注意：四種形式：求拋物線標準方程；求拋物線標準方程；已知方程求焦點坐標和準線方程。已知方程求焦點坐標和準線方程。定義的前提條件：直線定義的前提條件：直線l 不經(jīng)過點不經(jīng)過點F; p的幾何意義：焦點到準線的距離；的幾何意義：焦點到準線的距離；標準方程表示的是頂點在原點，對稱軸為坐標軸標準方程表示的是頂點在原點，對稱軸為坐標軸的拋物線。的拋物線。拋物線的標準方程有四種：

13、拋物線的標準方程有四種： y2=2px(p0) y2= -2px(p0) x2=2py(p0) x2= -2py(p0)課外拓展：課外拓展： 1、為什么說二次函數(shù)為什么說二次函數(shù)y=ax2（a0)的圖像是拋物線？你能指出它的焦點的圖像是拋物線？你能指出它的焦點坐標和準線方程？坐標和準線方程？小結(jié)解：二次函數(shù)可化為：解：二次函數(shù)可化為：x2= y1a即2p=1 a4a1焦點坐標是焦點坐標是（0, ），），準線方程是：準線方程是：y =4a1當當a0時時, ,拋物線的開口向上拋物線的開口向上p2 2=14a所以不論所以不論a0,還是還是a0，都有，都有焦點坐標是焦點坐標是（ 0， ），），準線方程

14、是：準線方程是：y =4a114a小結(jié)例例3. 3.求過點求過點A（-3，2）的拋物線的的拋物線的 標準方程。標準方程。AOyx解：當拋物線的焦點在解：當拋物線的焦點在y軸軸的正半軸上時，把的正半軸上時，把A（-3，2）代入代入x2 =2py，得，得p= 49當焦點在當焦點在x軸的負半軸上時，軸的負半軸上時，把把A（-3，2）代入）代入y2 = -2px，得得p= 32拋物線的標準方程為拋物線的標準方程為x2 = y或或y2 = x 。2934例例4 4、M是拋物線是拋物線y2 = 2px（P0）上一點，若點）上一點，若點 M 的橫坐標為的橫坐標為X0，則點，則點M到焦點的距離是到焦點的距離是

15、 X0 + 2pOyxFM2px 例例4.點點M與點與點F(4,0)的距離比它到直線的距離比它到直線l:x+5=0的距離小的距離小1,求點求點M的軌跡方程的軌跡方程.例題講解xyoF(4,0)Mx+5=0 解解: :由已知條件可知由已知條件可知, ,點點MM與點與點F F的距離等于它到直線的距離等于它到直線x+4=0 x+4=0的距離的距離, ,根據(jù)拋物線的根據(jù)拋物線的定義定義, ,點點MM的軌跡是以點的軌跡是以點F(4,0)F(4,0)為焦點的拋物線為焦點的拋物線. . p/2=4, p/2=4, p=8. p=8. 又因為焦點在軸的正半軸又因為焦點在軸的正半軸, ,所以點所以點MM的軌跡方

16、程為的軌跡方程為 y y2 2=16x.=16x.小結(jié)變式訓練1.根據(jù)下列條件寫出拋物線的標準方程根據(jù)下列條件寫出拋物線的標準方程.(1)焦點是（0，-3） ；(2)準線是 ；2.求下列拋物線的焦點坐標與準線方程求下列拋物線的焦點坐標與準線方程.(1)y=8x2 ；(2)x2+8y=0；12x x2= -12yy2=2x焦點 ，準線1(0,)32132y 焦點 ，準線(0, 2)2y 感悟感悟 ：求拋物線的焦點坐標和準線方程要先化成：求拋物線的焦點坐標和準線方程要先化成拋物拋物線的標準方程。線的標準方程。感悟感悟：用用待定系數(shù)法待定系數(shù)法求拋物線標準方程應(yīng)求拋物線標準方程應(yīng)先確定拋物先確定拋物

17、線的形式線的形式，再求再求p p值。值。強化提高根據(jù)下列條件寫出拋物線的標準方程.(1)焦點到準線的距離是2；(2)焦點在直線3x-4y-12=0上。關(guān)鍵：理解關(guān)鍵：理解p的幾何意義，的幾何意義，熟記標準方程四種形式熟記標準方程四種形式關(guān)鍵：標準方程表示的關(guān)鍵：標準方程表示的是頂點在原點，對稱軸是頂點在原點，對稱軸為坐標軸的拋物線為坐標軸的拋物線解：解：焦點到準線的距離為焦點到準線的距離為2 p=2 又又焦點的位置不確定焦點的位置不確定 該拋物線標準方程有四種形式該拋物線標準方程有四種形式 y2=2px ， x2=2py 此拋物線的標準方程有四種情況：此拋物線的標準方程有四種情況： y2=4x

18、 ， x2=4y 解：解：標準方程表示的拋物線的焦點在坐標軸標準方程表示的拋物線的焦點在坐標軸上；上； 又又拋物線的焦點在直線拋物線的焦點在直線3x-4y-12=0上，上， 焦點就是直線與坐標軸的交點，直線焦點就是直線與坐標軸的交點，直線3x-4y-12=0與與x軸的交點是軸的交點是（4，0），），與與y軸的交點是軸的交點是（0，3），）， 焦點坐標為焦點坐標為（4，0）或或（0，3）；）； 當焦點為當焦點為（4，0）時標準方程為時標準方程為y2=16x , 當焦點為當焦點為（0，3）時標準方程為時標準方程為x2= 12y , 綜上，拋物線標準方程為綜上，拋物線標準方程為 y2=16x或或 x2= 12y 例例2.已知拋物線經(jīng)過點已知拋物線經(jīng)過點(-4,-2),求它的標準方程求它的標準方程.解解: :若拋物線焦點在若拋物線焦點在x x軸上軸上, ,設(shè)它的標準方程為設(shè)它的標準方程為y y2 2=2mx,=2mx, 由于點由于點(-4,-2)(-4,-2)在拋物線上在拋物線上, ,故有故有(-2)(-2)2 2=2m(-4),=2m(-4), 解得解得m=-1m=-