定積分的應(yīng)用62962

1、第 15周 班級：技師一班 2010年 5月30日 到6月3日 2課時 張 偉課題定積分的運算教學(xué)目標(biāo)1. 換元積分法2. 分部積分法教材分析重點1.換元積分法2分部積分法難點方法的靈活應(yīng)用教具多媒體 粉筆 教法講授法課時2教學(xué)過程（）復(fù)習(xí)引入（10分鐘）復(fù)習(xí)牛頓萊布尼茨公式和不定積分（）習(xí)題講解（50分鐘）圖11、微積分基本定理設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，則函數(shù)在上可積以為積分上限的定積分 與相對應(yīng)，顯然它是的函數(shù)，記作（圖1），即這種積分上限為變量的定積分稱為變上限定積分定理1（微積分基本定理）變上限定積分所確定的函數(shù)是被積函數(shù)的原函數(shù)，即設(shè)在上連續(xù)，則 (1)（證明從略）公式（1）告訴我們(1) 變

2、上限定積分的導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)，這表明變上限定積分是被積函數(shù)的原函數(shù)這揭示了微分（或?qū)?shù)）與（變上限）定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，因而稱為微積分基本定理(2)定理1要求函數(shù)在上連續(xù)，于是附帶給出了原函數(shù)存在定理，即推論某區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)在該區(qū)間上存在原函數(shù)(3)既然變上限定積分是被積函數(shù)的原函數(shù)，這就為計算定積分開辟了新途徑例1 求解例2 求例3 求2、牛頓萊布尼茲公式定理2設(shè)在上連續(xù)，且是的一個原函數(shù)，則(2)公式(2)是著名的牛頓萊布尼茲公式，常記作牛頓萊布尼茲公式把定積分的計算問題歸結(jié)為求被積函數(shù)的原函數(shù)在上、下限處函數(shù)值之差的問題，從而巧妙地避開了求和式極限的艱難道路，為運用定積分計算普遍存在

3、的總量問題另辟坦途例4 求由拋物線，直線和軸圍成的曲邊三圖2角形的面積解設(shè)所求曲邊三角形（圖2）的面積為，則例5 求例6 求例7 求解先用換元積分法求不定積分令，則，于是 取一個原函數(shù)，由公式（2），得注意：在本例求原函數(shù)時用到了不定積分的換元積分法需消去新變量，還原為原積分變量，而后用牛頓萊布尼茲公式二、定積分的換元積分法和分部積分法我們已經(jīng)會依據(jù)牛頓萊布尼茲公式給出的步驟求定積分：先求被積函數(shù)的一個原函數(shù)，再求原函數(shù)在上、下限處的函數(shù)值之差這是計算定積分的基本方法但這種方法遇到用換元積分法求原函數(shù)時，需將新變量還原為原來的積分變量，才能求原函數(shù)之差，如例所做的那樣這樣做比較麻煩現(xiàn)介紹省略還

4、原為原積分變量的步驟計算定積分的方法1 定積分的換元積分法先看例用新方法來計算令，即，當(dāng)時，當(dāng)時，于是這樣做省略了將新變量還原為原積分變量的麻煩但需注意兩點：第一，引入的新函數(shù)必須單調(diào)，使在區(qū)間上變化時，在區(qū)間上變化，且，第二，改變積分變量時必須改變積分上、下限，簡稱為換元必換限嚴格說來，關(guān)于定積分的換元積分法有下面的定理定理3設(shè)(1) 函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)(2) 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)(3) 時，且，則 (3)公式(3)稱為定積分的換元積分公式證明從略例8 求解令，則當(dāng)時，時，于是 2定積分的分部積分法設(shè)函數(shù)和在區(qū)間上存在連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則由，得兩端從到對求定積分，便得定積分的分部積分公式：例

5、9 求解例10 求例11 計算（為整數(shù)）解設(shè)，則，移項得：.上述公式稱為遞推公式例如同樣地依次進行下去，直到的下標(biāo)遞減到或為止于是例如（）小結(jié)（10分鐘）、1、變上限的定積分是變上限的函數(shù)。 、用牛頓（Newton）萊布尼茲（Leibniz）公式計算定積分時，只要求出被積函數(shù) f (x) 的任意一個原函數(shù)F (x) ，然后求這個原函數(shù)在積分區(qū)間 a , b 上的增量F (b) F (a) 即可。3、用定積分的換元積分法計算定積分時需注意在換元的同時，必須相應(yīng)地變換積分的上、下限，這樣求出原函數(shù)后，就不必用原來的變量代回，計算起來就比較簡單了。 4.定積分的分部積分法與不定積分的分部積分法完全類似，只是多了一個積分限，使用時