中考培優(yōu)競賽專題經(jīng)典講義最值問題之將軍飲馬問題

1、最值問題之將軍飲馬問題最值問題是老師們最愛考的熱門題型之一，綜合性較強，需要一定的基本功，一般考察時一般放在 壓軸位置。模型講解【基本模型】P,使得PA+PB的值最小l交點即為點P（兩點之間線段最短）問題：在直線l上找一點 解析：連接AB,與直線【拓展模型1】P,使得PA+PB的值最小問題：在直線/上找一點解析：點A作關(guān)于l的對稱點A ,連接BA',與直線l的交點即為點 P,此時PA+ PB的最小值即為線段BA'的長度.【練習(xí)】1、尺規(guī)作圖：在直線 MN上找一點P,使得/ APN = /BPN .（保留作圖痕跡）A-VM%* B【模型拓展2】1、如圖，已知點 P為定點，定長線段

2、 AB在直線MN上運動，在什么位置時，PA=PB最小?思維轉(zhuǎn)化：將線段 AB移動，點P不動，理解為線段 AB不動，點P在直線CD上移動，將模型轉(zhuǎn)化為 最基本模型【模型拓展3】問題：/ MON內(nèi)一定點A,點P、Q分別為OM、ON上的動點，求 APQ周長的最小值.工。/OpV解析：點A作關(guān)于ON和OM的對稱點Al、A 度即為 APQ周長的最小值.基本結(jié)論：“42AQAz必為等腰三角形，且腰長等于線段/ AQA2=2/ MON .二B1四邊形ABPQ周長最小的模型，最小值即為線段4山,連接A1A2,與ON、OM交點即為Q、P,線段A1A2的長OA的長.AB+A' B'的長度和.【模型

3、拓展4】問題：求AB+BC + CD的最小值問題xK vab d A解析：作點 A關(guān)于ON的對稱點A',點D關(guān)于OM的對稱點的長度.(作點A和點D的對稱點的過程中，也可以直接將OM、ND',連接A'D',最小值即為線段 A'D'ON整個對稱過去，使得圖形更加完整)【模型拓展5】MN垂直兩平行線，求 AM + MN + NB的最小值模型.At其中MN為定值，故只需求 AM+NB的最小值，將點 A向下平移MN的長度得到A',連接A'B,線段 A B的長度即為 AM + NB的最小值直線l上有一長度不變線段 MN移動，求AM+MN +

4、NB最小值的模型.將A點向右平移MN的長度，以此轉(zhuǎn)化為基本模型，最小值即為MN+A2B【例題講解】例題1、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，RtAOAB的頂點A在x軸的正半軸上，頂點 B的坐標(biāo)為（3,翼）,點C的坐標(biāo)為（1, 0）,點P為斜邊OB上的一動點，則 PA+PC的最小值為2解：作 A關(guān)于OB的對稱點 D,連接CD交OB于P,連接AP,過D作DNLOA于N,則此時PA+PC的值最小,.DP = PA, . PA+PC= PD+PC=CD, B(3 , ,3), .AB=、3, OA=3,. tan/AOB= AB =史，. AOB=30° , . OB = 2AB=2,OA 3由三角

5、形面積公式得：1 X OAX AB=1X OBX AM, AM = -,，AD = 2X -=3,2222/AMB = 90° ，/ B=60 ° , BAM =30° , / BAO =90° , / OAM = 60° ,. DNXOA, ./ NDA=30° , AN= -AD=由勾股定理得：DN= 2*3 ,222. C( 1,0), CN = 3- 1 3 = 1,在 RtA DNC 中，由勾股定理得：DC=咽,2222即PA + PC的最小值是 且.2【思考】若把題中條件點“ C的坐標(biāo)為(1 , 0)”改為“點C為OA邊上

6、一動點”，其它條件不變，那么此時FA+PC最小值又是多少呢？33解答： PA+PC=PC + PD=CD>DN = -5j3 , . FA+PC 的最小值為 _J3 .22例題2、某長方體的長、寬、高分別為4、3、5,(1)如圖1,點A、B分別為該長方體的兩個頂點，已知螞蟻從點A沿長方體側(cè)面爬到點 B,則最短路線長是多少？(2)如圖2,點A、C分別為該長方體的兩個頂點，如果用一根細(xì)線從點A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點C,那么所用細(xì)線最短長度是 .(3)如圖2,點A、C分別為該長方體的兩個頂點，如果用一根細(xì)線從點A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞三圈到達(dá)點C,那么所用細(xì)線最短長度是 .(4)如圖3,

7、已知圓柱高4米，底面周長1米.如果用花圈從上往下均勻纏繞圓柱3圈(如圖)，那么螺旋形花圈的長至少 米.44圖1圖2圖3答案：(1) 74(2) 221(3) 1789(4) 9二2 16例題3、如圖，在五邊形ABCDE 中，/ BAE=120° , / B=/E=90° , AB=BC=1, AE = DE = 2,在BC、DE上分別找一點 M、N.(1)當(dāng)AAMN的周長最小時，/ AMN + Z ANM =(2)求4AMN的周長最小值.氟解：作A關(guān)于BC和ED的對稱點A； A，連接A'A，交BC于M,交ED于N,則A'A即為 AMN的周 長最小值.作 EA

8、 延長線的垂線，垂足為 H, / BAE= 120°,AA'A" + /AA"A'= 60°, /AAA"=/AAM, / AA"A'= /EAN, . / CAN = 120/ AA A"/ AA"A'= 60°,也就是說/ AMN +Z ANM= 180 -60 = 120° .過點A作EA延長線的垂線，垂足為 H,. AB=BC=1, AE = DE = 2, AA= 2BA=2, AA"=2AE=4,貝U RtAHA 中，. / EAB= 120

9、° , . . / HAA = 60° ,1 -. A H _L HA，/ AA H= 30，AH = AA = 1,A H =吏,A H = 1 + 4 = 5, . AA"=2",例題4、如圖，正方形 ABCD的邊長為4,點E在邊BC上且CE=1,長為貶的線段MN在AC上運動. (1)求四邊形BMNE周長最小值；(2)當(dāng)四邊形BMNE的周長最小時，則 tan/ MBC的值為.解：作 EF / AC且EF = 金,連結(jié) DF交AC于M,在AC上截取 MN= 2 ,延長 DF交BC于P,作FQLBC于Q,作出點E關(guān)于AC的對稱點E則CE'= CE

10、= 1,將MN平移至EF處，則四邊形MNE' F為平行四邊形，當(dāng)BM + EN = BM+FM = BF'時，四邊形 BMNE的周長最小，由/ FEQ =/ACB = 45°，可求得 FQ = EQ=1,. / DPC = /FPQ, /DCP = /FQP, /.A PFQAPDC,.pq = PQ, . qj,解得：pq=2,，pcU, PQ QE EC CD PQ 24332由對稱性可求得 tan / MBC = tan / PDC = 23例題5、在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A( 2, 0),點B(0, 4)，點E在OB上，且/ OAE = Z OBA.如圖，將

11、 AEO沿x軸向右平移得到 AE' O',連接A'B、BE'.當(dāng)AB + BE'取得最小值時，求點 E的坐標(biāo).3將 AEO向右平移轉(zhuǎn)化為4 所以作點E關(guān)于該直線的對稱點 可求出點E向右平移的距離.x軸的直線，求出BF長度即AEO不動，點B向左平移，則點 B移動的軌跡為一平行于 Ei,連接AEi,與該直線交點F即為最小時點B的位置，例題6、如圖，已知正比例函數(shù) y= kx(k>0)的圖像與x軸相交所成的銳角為 70° ,定點A的坐標(biāo)為(0, 4), P為y軸上的一個動點， M、N為函數(shù)y=kx(k>0)的圖像上的兩個動點，則 AM +

12、 MP + PN 的最小值為.解：如圖所示，直線 OC、y軸關(guān)于直線y=kx對稱，直線OD、直線y=kx關(guān)于y軸對稱，點A'是點A關(guān)于直線y= kx的對稱點.作A'E，OD垂足為E,交y軸于點P,交直線y=kx于M,作PNL直線y= kx垂足為N,.PN=PE, AM = AM, . AM+ PM + PN = A'M+PM+PE = AE 最?。ù咕€段最短），在 RTAAEO 中，. / AEO=90° , OA = 4, /A'OE=3/ AOM = 60° ,OE= 2oA= 2, AE= 42 -22 = 2 73 .AM+MP +

13、PN的最小值為2、3 .【鞏固練習(xí)】1、如圖所示，正方形 ABCD的面積為12, AABE是等邊三角形，點 E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線 AC 上有一點P,使PD + PE的和最小，則這個最小值為 .2、在菱形 ABCD中，對角線 AC=6, BD=8,點E、F、P分別是邊 AB、BC、AC上的動點，PE+PF的 最小值是.B3、如圖，在邊長為 2的等邊 ABC中，D為BC的中點，E是 AC邊上一點，則 BE+DE的最小值 為.4、如圖，鈍角三角形 ABC的面積為9,最長邊AB=6, BD平分/ ABC,點M、N分別是BD、BC上的動 點，則CM + MN的最小值為.5、如圖，在 ABC中，

14、AM平分/ BAC,點D、E分別為 AM、AB上的動點,(1)若 AC = 4, S；aabc = 6,則 BD + DE 的最小值為 (2)若/ BAC=30° , AB=8,貝U BD+DE 的最小值為 .(3)若 AB=17, BC=10, CA=21,貝U BD + DE 的最小值為 6、如圖，在 ABC中，AB=BC = 4, Sb abc=473,點P、Q、K分別為線段 AB、BC、AC上任意一點, 則PK+QK的最小值為.7、如圖，AB是。的直徑，AB=8,點 M 在。上，/ MAB = 20° , N是弧 MB的中點，P是直徑 AB 上的一動點，則 PM +

15、 PN的最小值為 .8、如圖，在銳角 ABC中，AB = 4, / BAC = 45° , / BAC的平分線交 BC于點D, M、N分別是AD和AB上的動點，則 BM + MN的最小值是 .CA X W9、如圖，圓柱形玻璃杯高為 12cm、底面周長為18cm,在杯內(nèi)離杯底 4cm的點C處有一滴蜂蜜，此時一 只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿 4cm與蜂蜜相對的點 A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為 cm.10、如圖，菱形 OABC中，點A在x軸上，頂點C的坐標(biāo)為(1 , 網(wǎng),動點D、E分別在射線 OC、OB 上，則 CE+DE+DB的最小值是 .11、如圖，點 A(a, 1)、B( 1,

16、b)都在雙曲線y= 9(xv0)上，點P、Q分別是x軸、y軸上的動點, x當(dāng)四邊形PABQ的周長取最小值時，PQ所在直線的解析式是 .12、如圖，點P是/AOB內(nèi)任意一點，OP=5cm,點M和點N分別是射線 OA和射線OB上的動點，PMN周長的最小值是 5cm,則/ AOB的度數(shù)是.B13、如圖，/ AOB = 30°，點 M、N分別在邊 OA、OB上，且 OM = 1, ON=3,點P、Q分別在邊 OB、 OA上，貝U MP+PQ+QN的最小值是 .A14、如圖，在 RtABC中，/ ACB=90°，點 D是AB邊的中點，過 D作DE，BC于點E.(1)點P是邊BC上的一

17、個動點，在線段 BC上找一點P,使得AP + PD最小，在下圖中畫出點 P;(2)在(1)的條件下，連接 CD交AP于點Q,求AQ與PQ的數(shù)量關(guān)系；A15、在矩形 ABCD中，AB=6, BC=8, G為邊AD的中點.(1)如圖1,若E為AB上的一個動點，當(dāng) CGE的周長最小時，求 AE的長.(2)如圖2,若E、F為邊AB上的兩個動點，且 EF=4,當(dāng)四邊形CGEF的周長最小時，求 AF的長.16、圖1,圖2為同一長方體房間的示意圖，圖2為該長方體的表面展開圖.(1)蜘蛛在頂點A'處，蒼蠅在頂點B處時，試在圖1中畫出蜘蛛為捉住蒼蠅，沿墻面爬行的最近路線；蒼蠅在頂點 C處時，圖2中畫出了

18、蜘蛛捉住蒼蠅的兩條路線，往天花板ABCD爬行的最近路線A' GC和往墻面BB' C' C爬行的最近路線 A' HC，試通過計算判斷哪條路線更近？(2)在圖3中，半徑為10dm的OM與D' C'相切，圓心 M到邊CC'的距離為15dm,蜘蛛P在線段 AB上，蒼蠅Q在OM的圓周上，線段 PQ為蜘蛛爬行路線.若 PQ與OM相切，試求PQ的長度 的范圍.圖1圖2 圖31 217.如圖，拋物線 y = x +2x+4交y軸于點B,點A為x軸上的一點，OA=2,過點A作直線 MN 1AB 2交拋物線與M、N兩點.(1)求直線AB的解析式；(2)將線段

19、AB沿y軸負(fù)方向平移t個單位長度，得到線段 AiBi ,求MA1+MB1取最小值時實數(shù)t的值.1.解：連接BD, 點 B 與 D 關(guān)于 AC 對稱，PD = PB, . . PD+PE= PB+PE= BE 最小. 正方形 ABCD的面積為12, AB = 2、3,又ABE是等邊三角形，BE = AB = 273 ,故所求最小值為 2*3.2.解：.四邊形 ABCD是菱形，對角線 AC = 6, BD = 8,，AB=5,作E關(guān)于AC的對稱點E',彳E'FBC于F交AC于P,連接PE,則EF即為PE+PF的最小值, J AC BD = AD E'F, . . E'

20、;F= 24 ,，PE + PF 的最小值為 4.3.解：作B關(guān)于AC的對稱點B',連接BB'、BD,交AC于E,此時BE+ ED=BE+ED= BD,根據(jù)兩點之間線段最短可知 BD就是BE+ ED的最小值,B、B關(guān)于AC的對稱，AC、BB互相垂直平分，四邊形 ABCB '是平行四邊形，,三角形 ABC 是邊長為 2, D 為 BC 的中點，ADXBC, AD= q3 , BD = CD = 1, BB = 2AD=273,作BGBC的延長線于 G,BG=AD= %3 ,在 RtB'BG 中，BG=3, . DG = BG BD = 3 1 = 2,在 Rt B

21、 DG 中，BD= 7 .故BE + ED的最小值為7.解：過點C作CELAB于點E,交BD于點M,過點M作MN，BC于N,. BD 平分/ABC, MEAB 于點 E, MN，BC 于 N, . MN = ME ,，CE=CM + ME = CM + MN 是最小值. 三角形 ABC 的面積為 9, AB=6,- X 6CE=9, /. CE= 3.2即CM + MN的最小值為3.5.提示：作點E關(guān)于AM的對稱點E； BHXAC于H,易知BD+DE的最小值即為 BH的長. 答案：(1)3 ; (2)4 ; (3)8 .6.解：如圖，過A作AH，BC交CB的延長線于H,AB= CB=4, S*

22、bc = 4J3, ，AH = 2j3, .cos/HAB= AH=迪=理，.HAB=30° , . . / ABH =60。,，ABC= 120° ,AB 42 . / BAC = Z C=30° ,作點P關(guān)于直線AC的對稱點P',過P作P'QBC于Q交AC于K,則PQ的長度=PK + QK的最小值，P AK = / BAC=30° , . HAP = 90° , . . / H = Z HAP = / P QH = 90° ,，四邊形 APQH 是矩形，. P'Q = AH = 2、3, 即PK+QK的最小

23、值為213.7.A解：作點N關(guān)于AB的對稱點 N',連接 OM、ON、ON '、MN ',則MN '與AB的交點即為 PM + PN的最小時的點，PM +PN的最小值=MN ', . /MAB = 20° , MOB = 2ZMAB=2X20° =40° , . N 是弧 MB 的中點， ./ BON= 1Z MOB = - X40° =20° , 22由對稱性，/ NOB=Z BON = 20° , MON' =Z MOB + Z NOB=40° +20° =60&

24、#176; , . MON '是等邊三角形， MN = OM = OB=1AB= - X8 = 4 22' . PM + PN的最小值為 4,8.C月 V .V 3解：如圖，作 BH± AC,垂足為H,交AD于M點，過M點彳M'NAB,垂足為N則BM'+ M N為所 求的最小值.AD是/ BAC的平分線，MH=M 'N',BH是點B到直線AC的最短距離， / 人 。o2- AB = 4, Z BAC = 45 , BH = AB sin45 =4X2=2q2. BM + MN 的最小值是 BM '+ M N '= BM&

25、#39;+ M H = BH = 2 J2 .解：沿過A的圓柱的高剪開，得出矩形EFGH ,過C作CQ1 EF于Q,作A關(guān)于EH的對稱點 A：連接 AC交EH于P,連接AP,則AP+ PC就是螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離， . AE=A'E, AP=AP, . AP+PC=AP+PC= AC,CQ= 1 x 18cm = 9cm , AQ = 12cm 4cm + 4cm = 12cm, 2在RtAA，QC中，由勾股定理得：A C= 15cm,故答案為：15.10.Xr 解：連接AC,作B關(guān)于直線 OC的對稱點E；連接AE ；交OC于D,交OB于E,此時CE + DE+BD的值最小， 四邊形

26、 OCBA是菱形，ACXOB, AO = OC,即A和C關(guān)于OB對稱，.CE = AE, DE + CE = DE + AE=AD, .B 和 E關(guān)于 OC 對稱，DE'= DB, . CE + DE + DB = AD + DE'= AE',過 C 作 CNXOAT N, C(1 , 73),ON=1, CN = s3 ,由勾股定理得： OC = 2,即 AB=BC = OA = OC=2,，/CON=60° ,/ CBA=/COA=60° ,.四邊形 COAB 是菱形，BC/OA, ./ DCB = Z COA=60° , . B 和

27、E關(guān)于 OC 對稱， ./ BFC=90° , .E'BC=90° 60° =30° , ./EBA=60。+30。= 90。，CF=1BC=1,由勾股定理得：BF=T3=E'F,在RtEBA中，由勾股定理得： AE = 4,即CE + DE + DB的最小值是 4.11.解：把點 A(a, 1)、B( - 1, b)代入 y= - - (x v 0)得 a= - 3, b=3,則 A( 3, 1)、B ( - 1, 3), x作A點關(guān)于x軸的對稱點C, B點關(guān)于y軸的對稱點D,所以C點為(-3, -1), D點為(1 , 3),連結(jié)CD

28、分別交x軸、y軸于P點、Q點，此時四邊形 PABQ的周長最小，設(shè)直線CD的解析式為y= kx+b,則卜k +b 二-1 ,解得卜T , k b =3b =2所以直線CD的解析式為y=x+2.12.D解：分別作點 P關(guān)于OA、OB的對稱點C、D,連接CD,分別交OA、OB于點M、N,連接OC、OD、PM、PN、MN,如圖所示：,點P關(guān)于OA的對稱點為 D,關(guān)于 OB的對稱點為 C, PM = DM , OP = OD, / DOA=/POA;,點 P 關(guān)于 OB 的對稱點為 C, PN = CN, OP=OC, /COB=/POB,.-.OC=OP= od, /AOB=1/COD,2 PMN 周

29、長的最小值是 5cm,PM + PN + MN = 5, . DM+CN+MN =5,即 CD = 5=OP,.-.OC=OD= CD,即 OCD 是等邊三角形，./ COD =60° ,/ AOB=30° ;13.解：作M關(guān)于OB的對稱點M',彳N關(guān)于OA的對稱點N ；連接MN',即為 MP+PQ+QN的最小值.根據(jù)軸對稱的定義可知：/ NOQ=Z M'OB=30° , / ONN'= 60° ,.ONN為等邊三角形， OMM '為等邊三角形，/ N OM = 90° ,在 RtA M ON 中,MN

30、'= "10 .故答案為 V1Q .14.A/A'解:作點A關(guān)于BC的對稱點 A；連DA交BC于點P.(2)由 可證得PA垂直平分 CDAQ= %3CQ= 3PQ15.DCD H C-WM(1) .£為AB上的一個動點，解:.作G關(guān)于AB的對稱點M,連接CM交AB于E,那么E滿足使 CGE的周長最??；.在矩形 ABCD 中，AB = 6, BC=8, G 為邊 AD 的中點，. AG=AM=4, MD = 12,而 AE/CD, AEMA DCM , . AE: CD = MA: MD, /. AE= CD XMA =2; MD(2) E為AB上的一個動點，.如圖，作 G關(guān)于AB的對稱點M,在CD上截取CH = 4,然后連接HM交AB于E,接著在EB 上截取EF = 4,那么E、F兩點即可滿足使四邊形 CGEF的周長最小.在矩形 ABCD中，AB = 6, BC=8, G為邊AD的中點，,-.AG=AM = 4