復數(shù)的三角形式

1、復數(shù)的三角形式1、復數(shù)的三角形式(1)復數(shù)的幅角：設復數(shù)Z=abi對應向量，以x軸的正半軸為始邊，向量所在的射線(起點為O)為終邊的角，叫做復數(shù)Z的輻角，記作ArgZ，其中適合0<2的輻角的值，叫做輻角的主值，記作argZ說明：不等于零的復數(shù)Z的輻角有無限多個值，這些值中的任意兩個相差2的整數(shù)倍(2)復數(shù)的三角形式：r(cosisin)叫做復數(shù)Z=abi的三角形式，其中說明：任何一個復數(shù)Z=abi均可表示成r(cosisin)的形式其中r為Z的模，為Z的一個輻角2、復數(shù)的三角形式的運算：設Z=r(cosisin)，Z1=r1(cos1isin1)，Z2=r2(cos2isin2)則3、應

2、用例1求下列復數(shù)的模和輻角主值（1） （2）解：（1） 又=1，點（1,1）在第一象限。所以（2）有，點（）在第四象限，所以想一想：怎樣求復數(shù)的輻角?想一想：復數(shù)的三角形式有哪些特征？下列各式是復數(shù)的三角形式嗎？（1） （2）（3）例2 把下列復數(shù)轉(zhuǎn)化為三角形式（1）-1；（2）； （3） 解：（1）=1，輻角主值為=，所以-1=（2） 輻角主值為=，所以=（3），由和點在第四象限，得，所以=總結(jié)：復數(shù)的代數(shù)形式化為復數(shù)的三角形式一般方法步驟是：求復數(shù)的模：；由及點所在象限求出復數(shù)的一個輻角（一般情況下，只須求出復數(shù)的輻角主值即可）；寫出復數(shù)的三角形式。例3求復數(shù)Z=1+cos+isin(&l

3、t;<2)的模與輻角主值. 分析:式子中多個“1”，只有將“1”消去，才能更接近三角形式，因此可利用三角公式消“1”. 解:Z=1+cos+isin=1+(2cos2-1)+2i·sincos=2cos(cos+isin).(1) <<2 <<,cos<0(1)式右端=-2cos(-cos-isin)=-2coscos(+)+isin(+) r=-2cos, ArgZ=+2k(kZ) << <+<2，argZ=+. 例4將Z=(<<3)化為三角形式，并求其輻角主值. 分析:三角形中只有正余弦，因此首先想到“化切為

4、弦”.下一步當然是要分母實數(shù)化，再向三角形式轉(zhuǎn)化. 解:=cos2+isin2 <<3, <2<6, <2-4<2， argZ=2-4 例5若Zc，|Z-2|1，求的最大，最小值和argZ范圍. 解:法一，數(shù)形結(jié)合 由|Z-2|1，知的軌跡為復平面上以（2，0）為圓心，1為半徑的圓面（包括圓周），|Z|表示圓面上任一點到原點的距離. 顯然1|Z|3, |Z|max=3, |Z|min=1, 另設圓的兩條切線為OA，OB，A，B為切點，由|CA|=1，|OC|=2知 AOC=BOC=，argZ0,2) 法二:用代數(shù)形式求解|Z|的最大，最小值，設Z=x+yi(

5、x,yR) 則由|Z-2|1得(x-2)2+y21, |Z|=, (x-2)2+y21, (x-2)21, -1x-21, 1x3, 14x-39, 1|Z|3. 例6求-3-4i的平方根 解法一利用復數(shù)代數(shù)形式設-3-4i的平方根為x+yi(x，yR)，則有 (x+yi)2=-3-4i,即(x2-y2)+2xyi=-3-4i，由復數(shù)相等條件，得 -3-4i的平方根是±(1-2i) 法二利用復數(shù)的三角形式 練習：求1的立方根例7已知zC,|z|=1且z2-1,則復數(shù)（ ） A、必為純虛數(shù)B、是虛數(shù)但不一定是純虛數(shù)C、必為實數(shù)D、可能是實數(shù)也可能是虛數(shù) 思路分析：選擇題，從結(jié)論的一般性

6、考慮，若z=±1，顯然A、B選項不成立，分析C、D選項，顯然窮舉驗證不能得出一般結(jié)論只能推演 解：法1設z=a+bi, a,bR, a2+b2=1,a0. 則=R，故，應選C。 法2設z=cos+isin (R,且k+)，則=R。 法3z·=|z|2, 當|z|=1時有z·=1, =R. 法4當|z|=1時有z·=1， =R. 法5復數(shù)z為實數(shù)的充要條件是z=, 而()=, 又|z|=1時，=， =， R。 例8設x,yR, z1=2-x+xi, z2=y-1+(-y)i, 已知|z1|=|z2|，arg=, (1)求()100=? (2)設z=, 求集

7、合A=x|x=z2k+z-2k, kZ中元素的個數(shù)。 (1)解：|z1|=|z2|, |=1,又arg=, =|(cos+isin)=i, 即z1=z2i, 2-x+xi=y-1+(-y)ii即，解得 x=y=+, ()100=(+i)100=(-+i)50=-i. (2) 思路分析：由(1)知 z=+i，z的特性：z3=-1=3, |z|=1, =； z=cos+isin, z2=w, ，z2k+z-2k 可怎么理解呢？ (z2)k+(z2)-k, z2k+2k, 解法1：令w=-+i，則z2k+z-2k=wk+w-k,w3=1,而kz, k= 當k=3m時，z2k+z-2k=(w3)m+(

8、w3)-m=2,當k=3m+1時，z2k+z-2k=w3m·w+w-3m·w-1=w+w-1=w+=-1, 當k=3m+2時，z2k+z-2k=w3m·w2+w-3m·w-2=w2+w-2=w3·w-1+w-3·w=w-1+w=-1,綜上可知，集合A中有2個元素。 法2：|z|=1, =,z2k+z-2k=z2k+2k=cos+isin+cos-isin=2cos = 由此可判定集合A中有2個元素。 例9設復數(shù)z=cos+isin(0<<), w=, 并且|w|=, argw<,求。（93年全國理） 解：w= =tg2(sin4+icos4) |w|=|tg2| 由|w|=得 tg2=±. 0<<, 故有(i)當tg2=時，得=或=. 此時 w=(cos+isin)，argw=<,適合題意。 (ii)當 tg2=-時，得=或=，此時，w=(cos+isin). argw=>, 不合題