判定平行四邊形的五種方法

1、判定平行四邊形的五種方法平行四邊形的判定方法有：（1）證兩組對邊分別平行；（2）證兩組對邊分別相等；（3）證一組對邊平行且相等；（4）證對角線互相平分；（5）證兩組對角分別相等。下面以近幾年的中考題為例說明如何證明四邊形是平行四邊形。一、 兩組對邊分別平行如圖1，已知ABC是等邊三角形，D、E分別在邊BC、AC上，且CD=CE，連結(jié)DE并延長至點(diǎn)F，使EF=AE，連結(jié)AF、BE和CFAFBDCE圖1(1)請?jiān)趫D中找出一對全等三角形，并加以證明；(2)判斷四邊形ABDF是怎樣的四邊形，并說明理由。解：（1）選證BDEFEC證明：ABC是等邊三角形，BC=AC，ACD=60CD=CE，BD=AE，

2、EDC是等邊三角形DE=EC，CDE=DEC=60BDE=FEC=120又EF=AE，BD=FE，BDEFEC（2）四邊形ABDF是平行四邊形理由：由（1）知，ABC、EDC、AEF都是等邊三角形CDE=ABC=EFA=60ABDF，BDAF四邊形ABDF是平行四邊形。點(diǎn)評：當(dāng)四邊形兩組對邊分別被第三邊所截，易證截得的同位角相等，內(nèi)錯角相等或同旁內(nèi)角相等時，可證四邊形的兩組對邊分別平行，從而四邊形是平行四邊形。二、 一組對邊平行且相等例2 已知：如圖2，在正方形ABCD中，G是CD上一點(diǎn)，延長BC到E，使CE=CG，連結(jié)BG并延長交DE于F(1)求證：BCGDCE； (2)將DCE繞點(diǎn)D順時針

3、旋轉(zhuǎn)90得到DAE，判斷四邊形EBGD是什么特殊四邊形？并說明理由。分析：（2）由于ABCD是正方形，所以有ABDC，又通過旋轉(zhuǎn)CE=AE已知CE=CG，所以EA=CG，這樣就有BE=GD，可證EBGD是平行四邊形。解：（1）ABCD是正方形，BCD=DCE=90又CG=CE，BCGDCE（2）DCE繞D順時針旋轉(zhuǎn)90得到DAE，CE=AE，CE=CG，CG=AE，四邊形ABCD是正方形BEDG，AB=CDAB-AE=CD-CG，即BE=DG四邊形DEBG是平行四邊形點(diǎn)評：當(dāng)四邊形一組對邊平行時，再證這組對邊相等，即可得這個四邊形是平行四邊形三、 兩組對邊分別相等例3 如圖3所示，在ABC中，

4、分別以AB、AC、BC為邊在BC的同側(cè)作等邊ABD，等邊ACE，等邊BCF。求證：四邊形DAEF是平行四邊形；分析：利用證三角形全等可得四邊形DAEF的兩組對邊分別相等，從而四邊形DAEF是平行四邊形。解：ABD和FBC都是等邊三角形DBF+FBA=ABC+FBA=60DBF=ABC又BD=BA，BF=BC ABCDBFAC=DF=AE 同理ABCEFCAB=EF=AD四邊形ADFE是平行四邊形點(diǎn)評：題設(shè)中存在較多線段相等關(guān)系時，可證四邊形的兩組對邊分別相等，從而可證四邊形是平行四邊形。四、 對角線互相平分例4已知：如圖4，平行四邊形ABCD的對角線AC和BD相交于O，AEBD于E，BFAC于

5、F，CGBD于G，DHAC于H，求證：四邊形EFGH是平行四邊形。圖4分析：因?yàn)轭}設(shè)條件是從四個頂點(diǎn)向?qū)蔷€引垂線，這些條件與四邊形EFGH的對角線有關(guān)，若能證出OE=OG，OF=OH，則問題可獲得解決。證明：AEBD，CGBD，AEO=CGO，AOE=COG，OA=OCAOECOG，OE=OG同理BOFDOHOF=OH四邊形EFGH是平行四邊形點(diǎn)評：當(dāng)已知條件與四邊形兩對角線有關(guān)時，可證兩對角線互相平分，從而證四邊形是平行四邊形。五、 兩組對角相等例5 將兩塊全等的含30角的三角尺如圖1擺放在一起 四邊形ABCD是平行四邊形嗎？理由 。(1)如圖2，將RtBCD沿射線BD方向平移到RtB1C

6、1D1的位置，四邊形ABC1D1是平行四邊形嗎？說出你的結(jié)論和理由： 。分析：因?yàn)轭}設(shè)與四邊形內(nèi)角有關(guān)，故考慮四邊形的兩組內(nèi)角相等解決問題。解：（1）四邊形ABCD是平行四邊形，理由如下：ABC=ABD+DBC=30+90=120，ADC=ADB+CDB=90+30=120又A=60，C=60，ABC=ADC，A=C（2）四邊形ABC1D1是平行四邊形，理由如下：將RtBCD沿射線方向平移到RtB1C1D1的位置時，有RtC1BB1RtADD1C1BB1=AD1D，BC1B1=DAD1有C1BA=ABD+C1BB1=C1D1B1+AD1B=AD1C1，BC1D1=BC1B1+B1C1D1=D1AD+DAB=D1AB所以四邊形ABC1D