研究和揭示隨機現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律性

1、概概 率率 論論 研究和揭示隨機現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律性 的一門數(shù)學(xué)學(xué)科第一章 隨機事件與概率 隨機事件隨機事件的頻率與概率古典概型與幾何概型條件概率事件的獨立性 現(xiàn)象現(xiàn)象現(xiàn)象分為確定性現(xiàn)象和隨機現(xiàn)象。現(xiàn)象分為確定性現(xiàn)象和隨機現(xiàn)象。w 隨機現(xiàn)象隨機現(xiàn)象在個別試驗中，其結(jié)果呈不確定性，在個別試驗中，其結(jié)果呈不確定性， 在大量重復(fù)試驗中，結(jié)果又具有統(tǒng)計規(guī)律性。在大量重復(fù)試驗中，結(jié)果又具有統(tǒng)計規(guī)律性。* 隨機現(xiàn)象的結(jié)果是偶然性的，但在隨機試驗下隨機現(xiàn)象的結(jié)果是偶然性的，但在隨機試驗下 呈必然性呈必然性偶然性偶然性取值不同取值不同必然性必然性用概率表示用概率表示 隨機試驗隨機試驗揭示隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律揭示隨機現(xiàn)

2、象的統(tǒng)計規(guī)律1）試驗可在同樣條件下重復(fù)進行）試驗可在同樣條件下重復(fù)進行2）試驗結(jié)果的已知性和未知性）試驗結(jié)果的已知性和未知性3）每次試驗只能出現(xiàn)結(jié)果中的一個）每次試驗只能出現(xiàn)結(jié)果中的一個 樣本空間樣本空間所有可能結(jié)果放在一起構(gòu)成的集合，記為所有可能結(jié)果放在一起構(gòu)成的集合，記為 。 樣本點樣本點每一個可能的結(jié)果，記為每一個可能的結(jié)果，記為 。隨機事件隨機事件事件常用大寫字母事件常用大寫字母A、B、C等表示等表示樣本空間的一個子集，簡稱事件。樣本空間的一個子集，簡稱事件。例例1.一一袋袋中中有有三三個個白白球球（編編號號1，2，3）與與二二個個黑黑球球（編編號號4，5），現(xiàn)現(xiàn)從從中中任任取取兩兩個

3、個，觀觀察察兩兩球球的的1）顏顏色色；2）號號碼碼。注：同一隨機試驗可能有不同的樣本空間。注：同一隨機試驗可能有不同的樣本空間。即樣本點和樣本空間是由試驗內(nèi)容而確定的。即樣本點和樣本空間是由試驗內(nèi)容而確定的。 例例2 一個盒子里有一個盒子里有10個完全相同的球，分別標(biāo)個完全相同的球，分別標(biāo)為號碼為號碼1，2，3.，10，從中任取一個球，令，從中任取一個球，令 i 取得球的標(biāo)號為取得球的標(biāo)號為iA標(biāo)號為標(biāo)號為3B標(biāo)號為偶數(shù)標(biāo)號為偶數(shù)C標(biāo)號為奇數(shù)標(biāo)號為奇數(shù)A基本事件基本事件 B，C復(fù)雜事件復(fù)雜事件 必然事件，必然事件， 不可能事件不可能事件 事件間的關(guān)系和運算事件間的關(guān)系和運算在試驗中出現(xiàn)在試驗中

4、出現(xiàn)A中所包含的某一個基本事件中所包含的某一個基本事件一、事件間的關(guān)系一、事件間的關(guān)系1）包含）包含2）相等）相等3）并）并4）交）交5）互不相容）互不相容6）對立）對立（互斥）（互斥）7）完備事件組）完備事件組事件包含事件包含 事件包含事件，就是指發(fā)生必導(dǎo)致發(fā)生。事件包含事件，就是指發(fā)生必導(dǎo)致發(fā)生。 表示為表示為 例如：拋骰子時，例如：拋骰子時，“出現(xiàn)偶數(shù)點出現(xiàn)偶數(shù)點”，“出現(xiàn)點出現(xiàn)點” ，則則BA BA 事件相等事件相等 事事件件等等于于事事件件，就就是是指指包包含含B，也也變變化化。 表表示示為為： 事件并事件并 事事件件與與事事件件的的和和，就就是是指指發(fā)發(fā)生生，或或發(fā)發(fā)生生。 表表示

5、示為為：BA 例例如如拋拋骰骰子子時時， “出出現(xiàn)現(xiàn)點點或或點點” ， “出出現(xiàn)現(xiàn)點點或或點點” ；則則 BA“出出現(xiàn)現(xiàn)偶偶數(shù)數(shù)點點” 事件交事件交 事件與事件的積，就是指、都事件與事件的積，就是指、都發(fā)生。發(fā)生。 表示為：或表示為：或BA 例如拋骰子時：例如拋骰子時： “出現(xiàn)點或點” ，“出現(xiàn)點或點” ， “出現(xiàn)點或點” ；“出現(xiàn)點或點” ； 則“出現(xiàn)兩點”則“出現(xiàn)兩點” 互不相容互不相容 事件與事件互斥事件與事件互斥(互互不不相容相容)， 就， 就是指與不會同時發(fā)生。是指與不會同時發(fā)生。 表示為：表示為：AB 如果與為如果與為互斥事件，與的和可表示為：互斥事件，與的和可表示為： 例如拋骰子

6、時：例如拋骰子時： “出現(xiàn)與點” ，“出現(xiàn)與點” ， “出現(xiàn)點與點” ；“出現(xiàn)點與點” ； 則與為互斥事件。則與為互斥事件。 對立事件對立事件 事件與事件為對立事件，就是指事件與事件為對立事件，就是指與不同時發(fā)生，但必發(fā)生一個。與不同時發(fā)生，但必發(fā)生一個。 表示為：表示為：AB且且BA；記；記B或或A 例如拋骰子時：“出現(xiàn)偶數(shù)點” ，例如拋骰子時：“出現(xiàn)偶數(shù)點” ， “出現(xiàn)奇數(shù)點” ；“出現(xiàn)奇數(shù)點” ； 則與互為對立事件。則與互為對立事件。 完備事件組完備事件組 nAAA,21兩兩互斥完備事件組， 就是指事件兩兩互斥完備事件組， 就是指事件組中每兩個都是互斥事件，并且組中每兩個都是互斥事件，并

7、且 niinAAAA121 例如：例如：iA“出現(xiàn)點”“出現(xiàn)點” ，6。621,AAA為兩兩互斥完備事件組為兩兩互斥完備事件組 定義可以推廣到無窮多個事件的情況 事件的運算法則事件的運算法則對對于于任任意意三三個個事事件件，滿滿足足下下列列運運算算： （） 交換律 ABBA； BAAB （） 結(jié)合律 CBACBA, , BCACAB （） 分配律 BCACCBA （） 對偶律BABA, , BAAB 例：例：1）A與與B發(fā)生，發(fā)生，C不發(fā)生不發(fā)生2）A，B，C至少兩個發(fā)生至少兩個發(fā)生3）A，B，C恰好兩個發(fā)生恰好兩個發(fā)生4） A，B，C有不多于一個事件發(fā)生有不多于一個事件發(fā)生1.交交換換律律:

8、AB=BA,ABBA2.結(jié)結(jié)合合律律:CBACBA)()(CBACBA)()(3.分分配配律律:)()()(CABACBA)()()(CABACBA* AB+C=(A+C)(B+C)5.對對立立事事件件的的性性質(zhì)質(zhì)：.,AAAAAAnnnnAAAAAAAAAAAA.21212121 （對偶律）（對偶律）吸收律：吸收律： AAAAAAAAAAABBAAABAABABAAAABA0)4)()3)()3)2)1BA,BABAABBAABBABABA )()2)()1例例 1.1.4 設(shè)設(shè)是隨機事件，試證：是隨機事件，試證：CBACBA)()( , ABAC BCABBA )(ABBA )(例例1.1

9、.5 試問下列命題是否成立：試問下列命題是否成立：（1） ( 2 ) 若若且且,則則( 3 ) ( 4 ) 例題例題例例： 設(shè)、 、 為任意三個事件，： 設(shè)、 、 為任意三個事件， 寫出下列事件的表達式：寫出下列事件的表達式： （）（） 恰有二個事件發(fā)生；恰有二個事件發(fā)生； （）（） 三個事三個事件件同時發(fā)生；同時發(fā)生； （）（） 至少有一個事件發(fā)生。至少有一個事件發(fā)生。 解解： （）： （）BCACBACAB （）（）ABC （）（）CBA 隨機事件的頻率與概率 概率的統(tǒng)計定義 古典概型 概率的性質(zhì) 概率的計算概率的統(tǒng)計定義設(shè)設(shè)事事件件在在次次試試驗驗中中出出現(xiàn)現(xiàn)了了次次，則則比比值值 r

10、r/ /n n稱稱為為事事件件在在次次試試驗驗中中出出現(xiàn)現(xiàn)的的頻頻率率。而而在在同同一一組組條條件件下下所所作作的的大大量量重重復(fù)復(fù)試試驗驗中中，事事件件出出現(xiàn)現(xiàn)的的頻頻率率總總是是在在區(qū)區(qū)間間 0 0, ,1 1 上上的的一一個個確確定定的的常常數(shù)數(shù)附附近近擺擺動動，并并且且穩(wěn)穩(wěn)定定于于，則則稱稱為為事事件件的的概概率率。 古典概型o 如果隨機試驗滿足以下條件：如果隨機試驗滿足以下條件：o (1)有限性。只有有限多個不同的基本事件。有限性。只有有限多個不同的基本事件。o （2）等可能性。每基本事件出現(xiàn)的可能性相等。）等可能性。每基本事件出現(xiàn)的可能性相等。 則稱之為古典概型。 o 在一個裝有5

11、個白球，6個藍球的袋中隨機抽取三個球；o 在100件產(chǎn)品，不放回地隨機抽取五件產(chǎn)品。 古古典典概概率率定定義義： 在在古古典典概概型型中中， 如如果果基基本本事事件件的的總總數(shù)數(shù)為為，事事件件所所包包含含的的基基本本事事件件個個數(shù)數(shù)為為（r r = =n n） ，則則定定義義事事件件的的概概率率 P P( (A A) )= =r r/ /n n . .即即 基本事件總數(shù)中包含的基本事件個數(shù)AnrAP 概率性質(zhì)（1） 對任一事件有： 10AP （2） . 0, 1PUP （3）若事件與互斥，則 BPAPBAP 推廣（概率加法定理） ： 對于 n 個兩兩互斥的事件nAAA,21，有 )()()()

12、(1121nnAPAPAPAAAP （4）對于任意事件，有 APAP1 （5）對于任意事件、，則有 ABPAPBAP （6）對于任意事件、，則有 ABPBPAPBAP 概率計算例1：某車間有男工人，女工人，現(xiàn)要任選三個代表前往先進單位參觀學(xué)習(xí)，問個代表中至少有一個女工的概率是多少？ 解： 設(shè)代表中至少有一女工 kA恰有個女工 3 , 2 , 1k 321AAA ,321,AAA兩兩互斥 321APAPAPAP 788. 03113431117243112714CCCCCCCC 例2：袋中有a個數(shù)白球，個黑球，從中接連任意取出(m=a+b)個球，且每次取出的球不再放回去，求第次取出的球是白球的概

13、率？ 解：解： 設(shè)第次取出的球是白球設(shè)第次取出的球是白球 基本基本事件事件總總數(shù)：數(shù)：mbaAn 事件包含的事件包含的基本基本事件事件數(shù)數(shù)：11111mbambaaaAACr baambabababambababaaAaAnrBPmbamba 12112111 注：本例說明按上述規(guī)則抽簽，每人抽中白球的機會相等，同抽簽次序無關(guān)。 概率公式 條件概率 乘法公式 全概率公式 貝葉斯公式條件概率一家有二個小孩，已知此家有一個女孩，問另一個是女孩的概率？ 解： 樣本空間： 女，女，女，男，男，女 有利事件：女，女 則 31BAP 乘法公式定理：若對任意兩事件，都有 0, 0BPAP，則 BAPBPAB

14、PAPABP 例例例例：一批產(chǎn)品的次品率為，正品中一等品率為，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任意取一件，試求恰好取到一等品的概率。 解：解： 記取到一等品 ，取到次品 ，記取到一等品 ，取到次品 ，B取到正品 。取到正品 。 則則 04. 0BP， 96. 0BP，75. 0BAP 由于，由于，BA ，故，故BAA ，于是，于是 72. 075. 096. 0BAPBPBAPAP 全概率公式 一商店出售的某型號的晶體管是甲、乙、丙三家工廠生產(chǎn)的，其中乙廠產(chǎn)品占總數(shù)的，另兩家工廠的產(chǎn)品各占。已知甲、乙、丙各廠產(chǎn)品合格率分別為0.9、0.8、0.7，試求此批貨的合格率。解：設(shè)解：設(shè)晶體管產(chǎn)自甲廠 ，晶體管產(chǎn)自甲廠

15、 ，晶體管產(chǎn)自乙廠 ，晶體管產(chǎn)自乙廠 ， 晶體管產(chǎn)自丙廠 ，晶體管是合格品 。晶體管產(chǎn)自丙廠 ，晶體管是合格品 。 則則25. 031APAP，50. 02AP，90. 01ABP，80. 02ABP， 70. 03ABP，且，且321,AAA組成互斥完備事組成互斥完備事件組。件組。由由全概率公式得全概率公式得： 80. 070. 025. 080. 050. 090. 025. 0332211ABPAPABPAPABPAPBP 貝葉斯公式定理定理 如果事件組如果事件組nAAA,21構(gòu)成互斥完備事件組，即滿足構(gòu)成互斥完備事件組，即滿足 （）（）nAAA,21兩兩互斥且兩兩互斥且niAPi, 2

16、 , 1, 0； （）（）UAnii1 則則 對任一事件都有對任一事件都有 iniijjjABPAPABPAPBAP1 , ,nj, 2 , 1 兩臺機床加工同樣的零件，第一臺出現(xiàn)廢品的兩臺機床加工同樣的零件，第一臺出現(xiàn)廢品的概率為概率為0.050.05，第二臺出現(xiàn)廢品的概率為，第二臺出現(xiàn)廢品的概率為0.020.02，加工的零件混放在一起，若第一臺車床與第二加工的零件混放在一起，若第一臺車床與第二臺車床加工的零件數(shù)為臺車床加工的零件數(shù)為5:45:4。 求求 （）任意地從這些零件中取出一個合（）任意地從這些零件中取出一個合格品的概率；格品的概率； （）若已知取出的一個零件為合格品，（）若已知取出

17、的一個零件為合格品，那么，它是由哪一臺機床生產(chǎn)的可能性較大。那么，它是由哪一臺機床生產(chǎn)的可能性較大。解：設(shè)解：設(shè)工的該零件是由第一車床加1A， 工的該零件是由第二車床加A，該零件是合格品B。 951AP，942AP，95. 0|1ABP，98. 0|2ABP。 （）（） 90086798. 09495. 0952211ABPAPABPAPBP （）（） 86747586790095. 095111BPABPAPBAP； 86739586790098. 094222BPABPAPBAP 因此，因此，由由第一臺第一臺生產(chǎn)生產(chǎn)的的可能性較大可能性較大。 事件的獨立性 兩個事件的獨立性 多個事件的獨立

18、性 n重貝努利試驗兩個事件的獨立性兩個事件的獨立性 多個事件的獨立性定義定義 設(shè)nAAA,21是n個事件，若對所有可能的組合nkji1成立著 jijiAPAPAAP （共2nC個） kjikjiAPAPAPAAAP （共3nC個） nnAPAPAPAAAP2121 （共nnC個） 則稱nAAA,21相互獨立。 定理定理 設(shè)設(shè)n個事件相互獨立，那么，把其中任意個事件相互獨立，那么，把其中任意m個事個事件相應(yīng)換成它們的對立事件，則所得的件相應(yīng)換成它們的對立事件，則所得的n個事件仍然個事件仍然是相互獨立的。是相互獨立的。 例題1解：記解：記 。敵機被擊中，乙擊中敵機，甲擊中敵機 8 . 05 . 0

19、6 . 05 . 06 . 0BPAPBPAPABPBPAPBAPCP 甲、乙同時向一敵機炮擊，已知甲擊中敵機的概率為甲、乙同時向一敵機炮擊，已知甲擊中敵機的概率為0.6，乙擊中敵機的概率為乙擊中敵機的概率為0.5，求敵機被擊中的概率。，求敵機被擊中的概率。 設(shè)某型號的高射炮發(fā)射一發(fā)炮彈擊中飛機的概率為設(shè)某型號的高射炮發(fā)射一發(fā)炮彈擊中飛機的概率為0.6,現(xiàn)在用此型號的炮若干門同時各發(fā)射一發(fā)炮彈，問至現(xiàn)在用此型號的炮若干門同時各發(fā)射一發(fā)炮彈，問至少需要設(shè)置幾門高射炮才能以不小于少需要設(shè)置幾門高射炮才能以不小于0.99的概率擊中的概率擊中來犯的敵機（各門高射炮的射擊相互獨立）？來犯的敵機（各門高射炮的射擊相互獨立）？解： 設(shè)需要設(shè)置解： 設(shè)需要設(shè)置 n 門門高射炮數(shù)高射炮數(shù)， 記記niiAi, 2 , 1門炮擊中敵機第， ，敵機被擊中A 則有則有 nAAAA21 依題意就是要找到能使依題意就是要找到能使下下式式成立的成立的 n 99. 021nAAAPAP 99. 04 . 011111212121nnnnAPAPAPAAAPAAAPAPAP 即得：即得： 026. 53979. 02