高中物理教研論文小量近似方法應(yīng)用兩則

1、小量近似方法應(yīng)用兩則小量近似處理在高中物理學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到，掌握一些重要的方法，在解決問(wèn)題時(shí)是非常有用的。這里以兩則應(yīng)用為例，介紹常用的小量近似方法對(duì)一個(gè)小角量來(lái)說(shuō)，有，；在研究一個(gè)普通量時(shí)，可以忽略小量。一、歐拉公式十八世紀(jì)著名數(shù)學(xué)家歐拉，曾經(jīng)確定了摩擦力跟繩索繞在樁子上的圈數(shù)之間的關(guān)系：，其中F1代表我們所用的力，F(xiàn)2代表我們所要對(duì)抗的力，e代表數(shù)（自然對(duì)數(shù)的底），代表繩和樁子之間的摩擦系數(shù)，代表繞轉(zhuǎn)角，也就是繩索繞成的弧的長(zhǎng)度跟弧的半徑的比。若取，則。所以，就是一個(gè)小孩子，只要能把繩索在一個(gè)不動(dòng)的轆轤上繞三四圈，然后抓住繩頭，他的力量就能平衡一個(gè)極大的重物。下面就歐拉公式作一證明：取一小段

2、弧為研究對(duì)象，受力分析如圖所示，和為小弧兩端所受張力，為柱體對(duì)繩的壓力，為靜摩擦力。根據(jù)平衡方程，得： （1） （2）臨界情況 （3）很小，有，所以 即 或 兩邊求和或 故 即兩張力之比按包角呈指數(shù)變化。儒勒·凡爾納在馬蒂斯·桑多爾夫這部小說(shuō)里，敘述競(jìng)技大力士馬蒂夫用手拉住一條正在下水的船“特拉波科羅”號(hào)這件事，使讀者印象最深：突然出現(xiàn)了一個(gè)人，他抓住了掛在“特拉波科羅”號(hào)前部的纜索，用力地拉，幾乎把身子彎得接近了地面。不到一分鐘，他已經(jīng)把纜索繞在釘在地里的鐵樁上。他冒著被摔死的危險(xiǎn)，用超人的氣力，用手拉住纜索大約有十秒鐘。最后，纜索斷了?？墒沁@十秒鐘時(shí)間已經(jīng)很足夠：“特拉

3、波科羅”號(hào)進(jìn)水以后，只輕微地擦了一下快艇，就向前駛了開(kāi)去。理解了歐拉公式，我們明白：原來(lái)在這里幫助他們的，并不是馬蒂夫異常的臂力，而是繩和樁子之間的摩擦力。二、重力場(chǎng)中光子頻率變化已知：光子有質(zhì)量，但無(wú)靜止質(zhì)量，在重力場(chǎng)中也有重力勢(shì)能。若從地面上某處將一束頻率為的光射向其正上方相距為d的空間站，d遠(yuǎn)小于地球半徑，令空間站接收到的光的頻率為，則差 =_ ，已知地球表面附近的重力加速度為g。（第29屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽預(yù)賽試卷第二大題第8小題）參考答案：解析：d遠(yuǎn)小于地球半徑，由能量守恒得而 則 這與題給參考答案似乎有點(diǎn)矛盾：！其實(shí)只要注意到 ，就不難理解以上兩個(gè)結(jié)論是相同的，即。事實(shí)上，能量守恒

4、式子中的m也是在變化的，同樣也有。本題可以從引力勢(shì)能角度考慮，思路會(huì)更加清晰：由能量守恒得利用，有 變形得從而注意到則 ，其中 所以 非慣性系與慣性力在勻加速上升的升降機(jī)里，人站在測(cè)力計(jì)上，觀察可知測(cè)力計(jì)的示數(shù)大于人所受到的重力G。測(cè)力計(jì)顯示的為人對(duì)測(cè)力計(jì)的壓力F'，根據(jù)牛頓第三定律可知測(cè)力計(jì)對(duì)人的彈力。若以升降機(jī)為參考系，則人處于平衡狀態(tài)。而由作出人的受力示意圖可知，人受到重力G與測(cè)力計(jì)對(duì)人的支持力F作用，但二力的合力并不為零，可見(jiàn)在相對(duì)于地面做勻加速運(yùn)動(dòng)的升降機(jī)里，牛頓運(yùn)動(dòng)定律不再成立。牛頓運(yùn)動(dòng)定律不成立的參考系，稱為非慣性系。牛頓運(yùn)動(dòng)定律成立的參考系，稱為慣性系。我們一般都以慣性

5、系作為參考系來(lái)研究物體的運(yùn)動(dòng)情況，有時(shí)也需要研究非慣性系中物體的運(yùn)動(dòng)，這時(shí)為了使牛頓第二定律仍然成立，便需要引入“慣性力”的概念。在圖1中，以升降機(jī)作為參考系，質(zhì)量為m的物體靜止在測(cè)力計(jì)上，我們可以認(rèn)為物體除了受到重力G與測(cè)力計(jì)對(duì)物體支持力F外，還受到一個(gè)豎直向下的力F慣，在這三個(gè)力共同作用下，物體保持平衡。這個(gè)F慣就叫做慣性力。vaGF慣F圖1慣性力與通常意義下的“真實(shí)”的力不同，它是形式上引入的“假想”的力，沒(méi)有施力物體。在以加速度相對(duì)于某一慣性系做加速運(yùn)動(dòng)的非慣性系中，所有的物體除受到“真實(shí)”的力作用，還受到慣性力F慣作用，大小為，方向與非慣性系的加速度方向相反，即F慣 其中，負(fù)號(hào)表示慣

6、性力的方向與非慣性系的加速度方向相反，m為物體的質(zhì)量。例1 如圖2所示，一質(zhì)量為M、傾角為的光滑斜面，放置在光滑水平面上，另有一質(zhì)量為m的小物體沿斜面下滑，斜面底邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，當(dāng)物體從斜面頂端由靜止開(kāi)始下滑到底端時(shí)，求m、M的加速度；斜面具有多大的速度。mgFNa1F（慣性力）mMMg圖4圖3圖2F1FNa2分析與解如圖3所示，對(duì)于m 如圖4所示，對(duì)于M 聯(lián)立式解得 m對(duì)地的加速度 m對(duì)地的加速度 對(duì)于m 對(duì)于M 聯(lián)立得 例2 長(zhǎng)分別為L(zhǎng)1和L2的不可伸長(zhǎng)的輕繩懸掛質(zhì)量都是m的m1和m2，如圖5所示，原先它們處于靜止?fàn)顟B(tài)。突然，連接兩繩的中間小球受到水平向右的沖擊，短時(shí)間內(nèi)獲得水平向右的初速度v0

7、，求這一瞬間連接m2的繩的拉力為多少？v0OL1m1m2L2m2gFT2圖6圖5分析與解 小球m1受到?jīng)_擊獲得初速度v0，由于受到上端固定在O點(diǎn)的繩L1的牽制，而繞O點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，此刻的加速度豎直向上，大小為。下面的小球m2此刻相對(duì)于地面的速度為零，但以m1為參照，m2的速度為v0，方向向左，且繞m1做圓周運(yùn)動(dòng)，這時(shí)m2受到三個(gè)力的作用：豎直向下的重力mg，繩子的拉力T2，慣性力，方向豎直向下，如圖6所示。由牛頓第二定律和向心力公式可得即 故 通過(guò)這樣兩道例題我們可以發(fā)現(xiàn)，引入慣性力以后，可以使一些動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的求解變得簡(jiǎn)單，從而給解題帶來(lái)很大的方便，因此在學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們應(yīng)該很好地掌握這種方法

8、。練習(xí) 如圖7所示，一光滑細(xì)桿繞豎直軸以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，細(xì)桿與豎直軸夾角保持不變。一個(gè)相對(duì)細(xì)桿靜止的小環(huán)自離地面h高處沿細(xì)桿下滑，求小球滑到細(xì)桿下端時(shí)的速度。（參考答案：）圖奇妙的“擺線”世界首先看一道經(jīng)典的帶電質(zhì)點(diǎn)在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的題目：如圖1所示，一帶正電的塑料小球從小孔S處無(wú)初速地進(jìn)入一個(gè)區(qū)域足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直于紙面向里。已知小球的質(zhì)量為m、帶電量為q，試問(wèn)這個(gè)小球距邊界AC的距離多大時(shí)，可能沿水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)？此時(shí)速度多大？A S C××××××××××

9、××××××××B×××××××××××××××××× 圖1原解當(dāng)小球水平向右做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，受力平衡由動(dòng)能定理解以上兩式得 分析由以下分析可以看出，這個(gè)解法是錯(cuò)誤的。小球剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)初速度為零，在重力與洛倫茲力的共同作用下做曲線運(yùn)動(dòng)；當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)方向水平時(shí)，豎直方向速度為零，小球在這一運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的其他任一位置豎直分速度均不為零；所以小球

10、在豎直方向上的分運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷了由加速再到減速的過(guò)程，小球運(yùn)動(dòng)方向水平時(shí)仍有向上的加速度，之后運(yùn)動(dòng)軌跡向上偏轉(zhuǎn)。因此，小球不可能做水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)。正解小球剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，引入兩個(gè)等值、反向的水平初速度v加在小球上。其中，與向右的速度v相對(duì)應(yīng)的洛倫茲力恰好與小球的重力平衡，即 與向左的速度v相對(duì)應(yīng)的洛倫茲力，使小球在紙面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。這樣，小球的運(yùn)動(dòng)就看作是由紙面內(nèi)逆時(shí)針?lè)较虻膭蛩賵A周運(yùn)動(dòng)與水平向右的勻速直線運(yùn)動(dòng)復(fù)合而成。設(shè)小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律和向心力公式得 由兩式得當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)方向水平向右時(shí)速度最大，此時(shí)兩分運(yùn)動(dòng)速度方向相同小球距邊界AC的距離最大 討論那么小球?qū)嶋H運(yùn)

11、動(dòng)的軌跡到底是怎樣的呢？從以上求解過(guò)程容易聯(lián)想到生活中的物理模型-無(wú)滑動(dòng)的純滾動(dòng)車輪輪緣上一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡情況，下面來(lái)分析這個(gè)問(wèn)題：如圖2，建立平面直角坐標(biāo)系xoyxyO' 圖2設(shè)M為車輪圓心，R為半徑，車輪以速度v勻速直線行駛。考慮車輪邊緣上的某一點(diǎn)P，其初始位置在坐標(biāo)原點(diǎn)，為運(yùn)動(dòng)過(guò)程中轉(zhuǎn)過(guò)的角度，設(shè)t時(shí)刻位置坐標(biāo)為（x,y）。由圖分析其幾何關(guān)系可知這是一個(gè)關(guān)于的參數(shù)方程。P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡為圖2中那條關(guān)于對(duì)稱的曲線，這條曲線在數(shù)學(xué)中稱為擺線，又稱滾線、旋輪線。其中，最高點(diǎn)。再回到文中的問(wèn)題，對(duì)比可以看出，小球在磁場(chǎng)與重力場(chǎng)復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡應(yīng)為擺線，如圖所示。事實(shí)上，兩運(yùn)動(dòng)均看作同一平

12、面的勻速圓周運(yùn)動(dòng)與勻速直線運(yùn)動(dòng)的合成。Oxy圖3以小球初位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，豎直向下為y軸正方向，水平向右為x軸正方向，建立直角坐標(biāo)系xoy。參照?qǐng)D2中P點(diǎn)的參數(shù)方程，容易得到小球運(yùn)動(dòng)的參數(shù)方程當(dāng)時(shí)，小球下落距離有最大值小球經(jīng)時(shí)間（由勻速圓周運(yùn)動(dòng)分運(yùn)動(dòng)可知）完成一次周期性運(yùn)動(dòng)，即運(yùn)動(dòng)軌跡完成圖3所示第一拱，以后重復(fù)做周期性運(yùn)動(dòng)。一道普通的物理題背后，竟隱藏著奇妙的“擺線”世界。公式應(yīng)用范圍的兩則證明平面線圈在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中繞垂直于磁場(chǎng)方向的軸作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，線圈中會(huì)產(chǎn)生按正弦規(guī)律變化的交變電動(dòng)勢(shì)，其最大值，其中B為勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度，S為線圈所圍面積，為線圈轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。此式是在矩形線圈繞其對(duì)稱軸轉(zhuǎn)動(dòng)

13、情況下得到的，對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)軸不在對(duì)稱軸上及線圈為其它任意形狀的情況也是成立的。下面就這兩種情況分別加以證明：1 轉(zhuǎn)軸不在對(duì)稱軸上的情況如圖1所示，矩形線圈繞轉(zhuǎn)軸OO以角速度在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，在圖示位置產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)最大，因?yàn)樵赼b與cd中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)在同一閉合電路中方向是相反的，所以。同理也可以證明圖2、3兩種情況。圖3圖2圖1圖42 線圈形狀不是矩形的情況下面以圓形線圈為例，用微元法證明。如圖4所示，半徑為R的圓形線圈繞轉(zhuǎn)軸OO以角速度在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻磁場(chǎng)中作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，在圖示位置產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)最大。將圓周等分成N等份(N，每一段小圓弧都可以看成直線段)，其中第i等份線段在圖示與轉(zhuǎn)軸成角位置，長(zhǎng)度為，轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度，該線段與磁場(chǎng)方向成角，在如圖4所示位置所產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小為， 。其中，。如圖5所示，為圖中小矩形條的面積，則就是區(qū)間上余弦函數(shù)曲線與橫軸所圍面積S，顯然，所以。圖5由于，任意形狀的線圈總可看成是由許多小段的弧線組合而成的，所以證明了圓形線圈的情況，也就可以進(jìn)一步推廣到線圈為任