高中數(shù)學(xué)必修一-第一章-集合與函數(shù)的概念-復(fù)習(xí)資料

1、必修1 第一章 集合與函數(shù)概念1.1集合【1.1.1】集合的含義與表示（1） 集合的概念 集合的含義：某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合，其中每一個(gè)對(duì)象叫元素。 集合中的元素具有確定性、互異性和無(wú)序性. 說(shuō)明：1)對(duì)于一個(gè)給定的集合，集合中的元素是確定的，任何一個(gè)對(duì)象或者是或者不是這個(gè)給定的集合的元素。2)任何一個(gè)給定的集合中，任何兩個(gè)元素都是不同的對(duì)象，相同的對(duì)象歸入一個(gè)集合時(shí)，僅算一個(gè)元素。3)集合中的元素是平等的，沒(méi)有先后順序，因此判定兩個(gè)集合是否一樣，僅需比較它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一樣。4)集合元素的三個(gè)特性使集合本身具有了確定性和整體性。（2）常用數(shù)集及其記法表示

2、自然數(shù)集，或表示正整數(shù)集，表示整數(shù)集，表示有理數(shù)集，表示實(shí)數(shù)集.（3）集合與元素間的關(guān)系對(duì)象與集合的關(guān)系是，或者，兩者必居其一.（4）集合的表示法 自然語(yǔ)言法：用文字?jǐn)⑹龅男问絹?lái)描述集合.列舉法：把集合中的元素一一列舉出來(lái)，寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)表示集合.描述法：|具有的性質(zhì)，其中為集合的代表元素.圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來(lái)表示集合.（5）集合的分類含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集.含有無(wú)限個(gè)元素的集合叫做無(wú)限集.不含有任何元素的集合叫做空集().【1.1.2】集合間的基本關(guān)系（6）子集、真子集、集合相等名稱記號(hào)意義性質(zhì)示意圖子集（或A中的任一元素都屬于B(1)AA(2)(3)若且，則(4)若且，則或真子集

3、AB（或BA），且B中至少有一元素不屬于A（1）（A為非空子集）(2)若且，則集合相等A中的任一元素都屬于B，B中的任一元素都屬于A(1)AB(2)BA（7）不含任何元素的集合叫做空集，記為規(guī)定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。已知集合有個(gè)元素，則它有個(gè)子集，它有個(gè)真子集，它有個(gè)非空子集，它有非空真子集.【1.1.3】集合的基本運(yùn)算（8）交集、并集、補(bǔ)集名稱記號(hào)意義性質(zhì)示意圖交集且（1）（2）（3） 并集或（1）（2）（3） 補(bǔ)集（1）（2）（3）（4）【補(bǔ)充知識(shí)】含絕對(duì)值的不等式與一元二次不等式的解法（1）含絕對(duì)值的不等式的解法不等式解集或把看成一個(gè)整體，化成，型不等式

4、來(lái)求解（2）一元二次不等式的解法判別式二次函數(shù)的圖象一元二次方程的根（其中無(wú)實(shí)根的解集或的解集1.2函數(shù)及其表示【1.2.1】函數(shù)的概念（1）函數(shù)的概念設(shè)、是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則，對(duì)于集合中任何一個(gè)數(shù)，在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)（包括集合，以及到的對(duì)應(yīng)法則）叫做集合到的一個(gè)函數(shù)，記作函數(shù)的三要素:定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則只有定義域相同，且對(duì)應(yīng)法則也相同的兩個(gè)函數(shù)才是同一函數(shù)（2）區(qū)間的概念及表示法設(shè)是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，滿足的實(shí)數(shù)的集合叫做閉區(qū)間，記做；滿足的實(shí)數(shù)的集合叫做開(kāi)區(qū)間，記做；滿足，或的實(shí)數(shù)的集合叫做半開(kāi)半閉區(qū)間，分別記做，；滿足的實(shí)數(shù)的集合分別記做注意

5、：對(duì)于集合與區(qū)間，前者可以大于或等于，而后者必須（3）求函數(shù)的定義域時(shí)，一般遵循以下原則：是整式時(shí)，定義域是全體實(shí)數(shù)是分式函數(shù)時(shí)，定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù)是偶次根式時(shí)，定義域是使被開(kāi)方式為非負(fù)值時(shí)的實(shí)數(shù)的集合對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對(duì)數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時(shí)，底數(shù)須大于零且不等于1中，零（負(fù)）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零若是由有限個(gè)基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算而合成的函數(shù)時(shí)，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交集對(duì)于求復(fù)合函數(shù)定義域問(wèn)題，一般步驟是：若已知的定義域?yàn)?，其?fù)合函數(shù)的定義域應(yīng)由不等式解出對(duì)于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問(wèn)題具體情況需對(duì)字母參數(shù)進(jìn)行分類討論由實(shí)際問(wèn)題確定的函數(shù)

6、，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問(wèn)題的實(shí)際意義（4）求函數(shù)的值域或最值求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最?。ù螅?shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最?。ù螅┲狄虼饲蠛瘮?shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的，只是提問(wèn)的角度不同求函數(shù)值域與最值的常用方法： 觀察法：對(duì)于比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，我們可以通過(guò)觀察直接得到值域或最值配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的值域或最值判別式法：若函數(shù)可以化成一個(gè)系數(shù)含有的關(guān)于的二次方程，則在時(shí)，由于為實(shí)數(shù)，故必須有，從而確定函數(shù)的值域或最值不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值

7、換元法：通過(guò)變量代換達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問(wèn)題反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的值域或最值數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值函數(shù)的單調(diào)性法【1.2.2】函數(shù)的表示法（5）函數(shù)的表示方法表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種 解析法：就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系列表法：就是列出表格來(lái)表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖象法：就是用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系（6）映射的概念設(shè)、是兩個(gè)集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則，對(duì)于集合中任何一個(gè)元素，在集合中都有唯一的元素和它對(duì)應(yīng)，那么

8、這樣的對(duì)應(yīng)（包括集合，以及到的對(duì)應(yīng)法則）叫做集合到的映射，記作給定一個(gè)集合到集合的映射，且如果元素和元素對(duì)應(yīng)，那么我們把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象1.3函數(shù)的基本性質(zhì)【1.3.1】單調(diào)性與最大（?。┲担?）函數(shù)的單調(diào)性定義及判定方法函數(shù)的性 質(zhì)定義圖象判定方法函數(shù)的單調(diào)性如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x1、x2,當(dāng)x1< x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，那么就說(shuō)f(x)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)（1）利用定義（2）利用已知函數(shù)的單調(diào)性（3）利用函數(shù)圖象（在某個(gè)區(qū)間圖 象上升為增）（4）利用復(fù)合函數(shù)如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x1

9、、x2，當(dāng)x1< x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，那么就說(shuō)f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)（1）利用定義（2）利用已知函數(shù)的單調(diào)性（3）利用函數(shù)圖象（在某個(gè)區(qū)間圖象下降為減）（4）利用復(fù)合函數(shù)在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個(gè)減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個(gè)減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)減去一個(gè)增函數(shù)為減函數(shù)對(duì)于復(fù)合函數(shù)，令，若為增，為增，則為增；若為減，為減，則為增；若為增，為減，則為減；若為減，為增，則為減（2）打“”函數(shù)的圖象與性質(zhì)yxo分別在、上為增函數(shù)，分別在、上為減函數(shù)（3）最大（?。┲刀x 一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果存在?shí)數(shù)滿足：（1）對(duì)于任意的，都有；（2）

10、存在，使得那么，我們稱是函數(shù)的最大值，記作一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果存在?shí)數(shù)滿足：（1）對(duì)于任意的，都有；（2）存在，使得那么，我們稱是函數(shù)的最小值，記作【1.3.2】奇偶性（4）函數(shù)的奇偶性定義及判定方法函數(shù)的性 質(zhì)定義圖象判定方法函數(shù)的奇偶性如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(x)=f(x),那么函數(shù)f(x)叫做奇函數(shù)（1）利用定義（要先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）（2）利用圖象（圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(x)=f(x),那么函數(shù)f(x)叫做偶函數(shù)（1）利用定義（要先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）（2）利用圖象（圖象關(guān)于y軸對(duì)稱）若函數(shù)

11、為奇函數(shù)，且在處有定義，則奇函數(shù)在軸兩側(cè)相對(duì)稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在軸兩側(cè)相對(duì)稱的區(qū)間增減性相反在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的和（或差）仍是偶函數(shù)（或奇函數(shù)），兩個(gè)偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的積（或商）是偶函數(shù)，一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的積（或商）是奇函數(shù)補(bǔ)充知識(shí)函數(shù)的圖象（1）作圖利用描點(diǎn)法作圖：確定函數(shù)的定義域； 化解函數(shù)解析式；討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性）； 畫(huà)出函數(shù)的圖象利用基本函數(shù)圖象的變換作圖：要準(zhǔn)確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等各種基本初等函數(shù)的圖象平移變換伸縮變換 對(duì)稱變換 （2）識(shí)圖對(duì)于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下

12、分別范圍、變化趨勢(shì)、對(duì)稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性，注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系（3）用圖 函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系問(wèn)題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得問(wèn)題結(jié)果的重要工具要重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法第一章 集合與函數(shù)概念第一講 集合熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析考點(diǎn)一：集合的定義及其關(guān)系題型1：集合元素的基本特征例1（2008年江西理）定義集合運(yùn)算：設(shè)，則集合的所有元素之和為（ ）A0；B2；C3；D6解題思路根據(jù)的定義，讓在中逐一取值，讓在中逐一取值，在值就是的元素解析：正確解答本題,必需清楚集合中的元素，顯然，根據(jù)題中定義的集合運(yùn)算知=，故應(yīng)選擇

13、D 【名師指引】這類將新定義的運(yùn)算引入集合的問(wèn)題因?yàn)楸尘肮?，所以成為高考的一個(gè)熱點(diǎn)，這時(shí)要充分理解所定義的運(yùn)算即可，但要特別注意集合元素的互異性。題型2：集合間的基本關(guān)系例2數(shù)集與之的關(guān)系是（ ）A；B； C；D解題思路可有兩種思路：一是將和的元素列舉出來(lái)，然后進(jìn)行判斷；也可依選擇支之間的關(guān)系進(jìn)行判斷。解析 從題意看，數(shù)集與之間必然有關(guān)系，如果A成立，則D就成立，這不可能；同樣，B也不能成立；而如果D成立，則A、B中必有一個(gè)成立，這也不可能，所以只能是C【名師指引】新定義問(wèn)題是高考的一個(gè)熱點(diǎn)，解決這類問(wèn)題的辦法就是嚴(yán)格根據(jù)題中的定義，逐個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)，不方便進(jìn)行檢驗(yàn)的，就設(shè)法舉反例?？键c(diǎn)二：集合

14、的基本運(yùn)算 例3 設(shè)集合，（1） 若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍若，解題思路對(duì)于含參數(shù)的集合的運(yùn)算，首先解出不含參數(shù)的集合，然后根據(jù)已知條件求參數(shù)。解析因?yàn)椋?）由知，從而得，即，解得或當(dāng)時(shí)，滿足條件；當(dāng)時(shí)，滿足條件所以或（2）對(duì)于集合，由因?yàn)椋援?dāng)，即時(shí)，滿足條件；當(dāng)，即時(shí)，滿足條件；當(dāng)，即時(shí)，才能滿足條件，由根與系數(shù)的關(guān)系得，矛盾故實(shí)數(shù)的取值范圍是【名師指引】對(duì)于比較抽象的集合，在探究它們的關(guān)系時(shí)，要先對(duì)它們進(jìn)行化簡(jiǎn)。同時(shí)，要注意集合的子集要考慮空與不空,不要忘了集合本身和空集這兩種特殊情況.第2講 函數(shù)與映射的概念求值域的幾種常用方法（1）配方法：對(duì)于（可化為）“二次函數(shù)

15、型”的函數(shù)常用配方法，如求函數(shù)，可變?yōu)榻鉀Q（2）基本函數(shù)法：一些由基本函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)可以利用基本函數(shù)的值域來(lái)求，如函數(shù)就是利用函數(shù)和的值域來(lái)求。（3）判別式法：通過(guò)對(duì)二次方程的實(shí)根的判別求值域。如求函數(shù)的值域由得，若，則得，所以是函數(shù)值域中的一個(gè)值；若，則由得，故所求值域是（4）分離常數(shù)法：常用來(lái)求“分式型”函數(shù)的值域。如求函數(shù)的值域，因?yàn)?，而，所以，故?）利用基本不等式求值域：如求函數(shù)的值域當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，若，則若，則，從而得所求值域是（6）利用函數(shù)的單調(diào)性求求值域：如求函數(shù)的值域因，故函數(shù)在上遞減、在上遞增、在上遞減、在上遞增，從而可得所求值域?yàn)椋?）圖象法：如果函數(shù)的圖象比較容易作出

16、，則可根據(jù)圖象直觀地得出函數(shù)的值域（求某些分段函數(shù)的值域常用此法）。熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析考點(diǎn)一：判斷兩函數(shù)是否為同一個(gè)函數(shù)例1 試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)？（1），；（2），（3），（nN*）；（4），；（5），解題思路要判斷兩個(gè)函數(shù)是否表示同一個(gè)函數(shù)，就要考查函數(shù)的三要素。解析 （1）由于，故它們的值域及對(duì)應(yīng)法則都不相同，所以它們不是同一函數(shù).（2）由于函數(shù)的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)镽，所以它們不是同一函數(shù).（3）由于當(dāng)nN*時(shí)，2n±1為奇數(shù)，它們的定義域、值域及對(duì)應(yīng)法則都相同，所以它們是同一函數(shù).（4）由于函數(shù)的定義域?yàn)?，而的定義域?yàn)?，它們的定義域不同，所以它們不是同一函數(shù).

17、（5）函數(shù)的定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則都相同，所以它們是同一函數(shù).答案（1）、（2）、（4）不是；（3）、（5）是同一函數(shù)【名師指引】構(gòu)成函數(shù)的三個(gè)要素是定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域由于值域是由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系確定的，所以，如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，即稱這兩個(gè)函數(shù)為同一函數(shù)。第（5）小題易錯(cuò)判斷成它們是不同的函數(shù)。原因是對(duì)函數(shù)的概念理解不透，在函數(shù)的定義域及對(duì)應(yīng)法則f不變的條件下，自變量變換字母對(duì)于函數(shù)本身并無(wú)影響，比如，都可視為同一函數(shù).考點(diǎn)二：求函數(shù)的定義域、值域題型1：求有解析式的函數(shù)的定義域例2.（08年湖北）函數(shù)的定義域?yàn)? )A.;B.；C. ;D. 解題思路函數(shù)的定義域應(yīng)是使

18、得函數(shù)表達(dá)式的各個(gè)部分都有意義的自變量的取值范圍。解析欲使函數(shù)有意義，必須并且只需，故應(yīng)選擇 【名師指引】如沒(méi)有標(biāo)明定義域，則認(rèn)為定義域?yàn)槭沟煤瘮?shù)解析式有意義的的取值范圍，實(shí)際操作時(shí)要注意：分母不能為0； 對(duì)數(shù)的真數(shù)必須為正；偶次根式中被開(kāi)方數(shù)應(yīng)為非負(fù)數(shù)；零指數(shù)冪中，底數(shù)不等于0；負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪中，底數(shù)應(yīng)大于0；若解析式由幾個(gè)部分組成，則定義域?yàn)楦鱾€(gè)部分相應(yīng)集合的交集；如果涉及實(shí)際問(wèn)題，還應(yīng)使得實(shí)際問(wèn)題有意義，而且注意：研究函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題一定要注意定義域優(yōu)先原則，實(shí)際問(wèn)題的定義域不要漏寫(xiě)。題型2：求抽象函數(shù)的定義域例3（2006·湖北）設(shè)，則的定義域?yàn)椋?）A. ；B. ；C. ；D.

19、 解題思路要求復(fù)合函數(shù)的定義域，應(yīng)先求的定義域。解析由得，的定義域?yàn)?，故解得。故的定義域?yàn)?選B.【名師指引】求復(fù)合函數(shù)定義域,即已知函數(shù)的定義為，則函數(shù)的定義域是滿足不等式的x的取值范圍；一般地，若函數(shù)的定義域是，指的是，要求的定義域就是時(shí)的值域。題型3；求函數(shù)的值域例4已知函數(shù)，若恒成立，求的值域解題思路應(yīng)先由已知條件確定取值范圍，然后再將中的絕對(duì)值化去之后求值域解析依題意，恒成立，則，解得，所以，從而，所以的值域是【名師指引】求函數(shù)的值域也是高考熱點(diǎn)，往往都要依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值?？键c(diǎn)三：映射的概念例5 （06陜西）為確保信息安全，信息需加密傳輸，發(fā)送方由明文密文（加密），接收方

20、由密文明文（解密），已知加密規(guī)則為：明文對(duì)應(yīng)密文例如，明文對(duì)應(yīng)密文當(dāng)接收方收到密文時(shí)，則解密得到的明文為（ ）A；B；C；D解題思路 密文與明文之間是有對(duì)應(yīng)規(guī)則的，只要按照對(duì)應(yīng)規(guī)則進(jìn)行對(duì)應(yīng)即可。解析 當(dāng)接收方收到密文14，9，23，28時(shí)，有，解得，解密得到的明文為C【名師指引】理解映射的概念，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）集合A、B及對(duì)應(yīng)法則f是確定的，是一個(gè)整體系統(tǒng)；（2）對(duì)應(yīng)法則有“方向性”，即強(qiáng)調(diào)從集合A到集合B的對(duì)應(yīng)，它與從集合B到集合A的對(duì)應(yīng)關(guān)系一般是不同的；（3）集合A中每一個(gè)元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的，這是映射區(qū)別于一般對(duì)應(yīng)的本質(zhì)特征；（4）集合A中不同元素，在集合B中對(duì)應(yīng)

21、的象可以是同一個(gè)；（5）不要求集合B中的每一個(gè)元素在集合A中都有原象.第3講 函數(shù)的表示方法熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析考點(diǎn)1：用圖像法表示函數(shù)例1 （09年廣東南海中學(xué)）一水池有個(gè)進(jìn)水口, 個(gè)出水口,一個(gè)口的進(jìn)、出水的速度如圖甲、乙所示.某天點(diǎn)到點(diǎn),該水池的蓄水量如圖丙所示給出以下個(gè)論斷：進(jìn)水量 出水量 蓄水量 甲 乙 丙（1）點(diǎn)到點(diǎn)只進(jìn)水不出水；（2）點(diǎn)到點(diǎn)不進(jìn)水只出水；（3）點(diǎn)到點(diǎn)不進(jìn)水不出水則一定不正確的論斷是 (把你認(rèn)為是符合題意的論斷序號(hào)都填上) . 解題思路根據(jù)題意和所給出的圖象，對(duì)三個(gè)論斷進(jìn)行確認(rèn)即可。解析由圖甲知，每個(gè)進(jìn)水口進(jìn)水速度為每小時(shí)1個(gè)單位，兩個(gè)進(jìn)水口1個(gè)小時(shí)共進(jìn)水2個(gè)單位，3個(gè)

22、小時(shí)共進(jìn)水6個(gè)單位，由圖丙知正確；而由圖丙知，3點(diǎn)到4點(diǎn)應(yīng)該是有一個(gè)進(jìn)水口進(jìn)水，出水口出水，故錯(cuò)誤；由圖丙知，4點(diǎn)到6點(diǎn)可能是不進(jìn)水不出水，也可能是兩個(gè)進(jìn)水口都進(jìn)水，同時(shí)出水口也出水，故不一定正確。從而一定不正確的論斷是（2）【名師指引】象這類給出函數(shù)圖象讓考生從圖象獲取信息的問(wèn)題是目前高考的一個(gè)熱點(diǎn)，它要求考生熟悉基本的函數(shù)圖象特征，善于從圖象中發(fā)現(xiàn)其性質(zhì)。高考中的熱點(diǎn)題型是“知式選圖”和“知圖選式”?？键c(diǎn)2：用列表法表示函數(shù)例2 （07年北京）已知函數(shù)，分別由下表給出123131123321則的值為；滿足的的值是解題思路這是用列表的方法給出函數(shù)，就依照表中的對(duì)應(yīng)關(guān)系解決問(wèn)題。解析由表中對(duì)應(yīng)

23、值知=；當(dāng)時(shí)，不滿足條件當(dāng)時(shí)，滿足條件，當(dāng)時(shí)，不滿足條件，滿足的的值是【名師指引】用列表法表示函數(shù)具有明顯的對(duì)應(yīng)關(guān)系，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是從表格發(fā)現(xiàn)對(duì)應(yīng)關(guān)系，用好對(duì)應(yīng)關(guān)系即可。考點(diǎn)3：用解析法表示函數(shù)題型1：由復(fù)合函數(shù)的解析式求原來(lái)函數(shù)的解析式例3 （04湖北改編）已知=，則的解析式可取為 解題思路這是復(fù)合函數(shù)的解析式求原來(lái)函數(shù)的解析式，應(yīng)該首選換元法解析 令，則， .故應(yīng)填【名師指引】求函數(shù)解析式的常用方法有： 換元法（ 注意新元的取值范圍）； 待定系數(shù)法（已知函數(shù)類型如：一次、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等）；整體代換（配湊法）；構(gòu)造方程組（如自變量互為倒數(shù)、已知為奇函數(shù)且為偶函數(shù)等）。題型2：求二次

24、函數(shù)的解析式 例4 （普寧市城東中學(xué)09屆高三第二次月考）二次函數(shù)滿足，且。求的解析式；在區(qū)間上，的圖象恒在的圖象上方，試確定實(shí)數(shù)的范圍。解題思路（1）由于已知是二次函數(shù)，故可應(yīng)用待定系數(shù)法求解；（2）用數(shù)表示形，可得求對(duì)于恒成立，從而通過(guò)分離參數(shù)，求函數(shù)的最值即可。解析設(shè)，則與已知條件比較得：解之得，又，由題意得：即對(duì)恒成立，易得【名師指引】如果已知函數(shù)的類型，則可利用待定系數(shù)法求解；通過(guò)分離參數(shù)求函數(shù)的最值來(lái)獲得參數(shù)的取值范圍是一種常用方法?？键c(diǎn)4：分段函數(shù)題型1：根據(jù)分段函數(shù)的圖象寫(xiě)解析式例5 (07年湖北)為了預(yù)防流感，某學(xué)校對(duì)教室用藥物消毒法進(jìn)行消毒。已知藥物釋放過(guò)程中，室內(nèi)每立方米

25、空氣中含藥量y（毫克）與時(shí)間t（小時(shí)）成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數(shù)關(guān)系式為（a為常數(shù)），如圖所示，根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問(wèn)題：（）從藥物釋放開(kāi)媽，每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時(shí)間t（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式為 ；（）據(jù)測(cè)定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)教室，那么從藥物釋放開(kāi)始，至少需要經(jīng)過(guò) 小時(shí)后，學(xué)生才能回到教室。思路點(diǎn)撥根據(jù)題意，藥物釋放過(guò)程的含藥量y（毫克）與時(shí)間t是一次函數(shù)，藥物釋放完畢后，y與t的函數(shù)關(guān)系是已知的，由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)確定其中的參數(shù)，然后再由所得的表達(dá)式解決（）解析 （）觀察圖象，當(dāng)時(shí)是直線，故；當(dāng)時(shí)，圖象過(guò)所以，即，所以（

26、），所以至少需要經(jīng)過(guò)小時(shí)【名師指引】分段函數(shù)的每一段一般都是由基本初等函數(shù)組成的，解決辦法是分段處理。題型2：由分段函數(shù)的解析式畫(huà)出它的圖象例6 (2006·上海)設(shè)函數(shù)，在區(qū)間上畫(huà)出函數(shù)的圖像。思路點(diǎn)撥需將來(lái)絕對(duì)值符號(hào)打開(kāi)，即先解，然后依分界點(diǎn)將函數(shù)分段表示，再畫(huà)出圖象。解析 ,如右上圖.【名師指引】分段函數(shù)的解決辦法是分段處理，要注意分段函數(shù)的表示方法，它是用聯(lián)立符號(hào)將函數(shù)在定義域的各個(gè)部分的表達(dá)式依次表示出來(lái)，同時(shí)附上自變量的各取值范圍。第4講 函數(shù)的單調(diào)性與最值熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析考點(diǎn)1 函數(shù)的單調(diào)性題型1：討論函數(shù)的單調(diào)性 例1 (2008廣東)設(shè),函數(shù).試討論函數(shù)的單調(diào)性.解

27、題思路分段函數(shù)要分段處理，由于每一段都是基本初等函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，所以應(yīng)該用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究。解析: 因?yàn)?所以. (1)當(dāng)x<1時(shí)，1-x>0， 當(dāng)時(shí)，在上恒成立，故F(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，令，解得， 且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 故F(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增；(2)當(dāng)x>1時(shí)， x-1>0， 當(dāng)時(shí)，在上恒成立，故F(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，令，解得，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故F(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增；綜上得，當(dāng)k=0時(shí)，F(xiàn)(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，F(xiàn)(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)k<0時(shí)，F(xiàn)(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)

28、遞增；當(dāng)時(shí)，F(xiàn)(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減.【名師指引】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或研究函數(shù)的單調(diào)性是高考的一個(gè)熱點(diǎn)，分段落函數(shù)用注意分段處理.題型2：研究抽象函數(shù)的單調(diào)性例2 定義在R上的函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，且對(duì)任意的a、bR，有f（a+b）=f（a）·f（b）.（1）求證：f（0）=1；（2）求證：對(duì)任意的xR，恒有f（x）0；（3）求證：f（x）是R上的增函數(shù)；（4）若f（x）·f（2xx2）1，求x的取值范圍.解題思路抽象函數(shù)問(wèn)題要充分利用“恒成立”進(jìn)行“賦值”，從關(guān)鍵等式和不等式的特點(diǎn)入手。解析（1）證明：令a=b=0，則f（0）=f 2（0）.又

29、f（0）0，f（0）=1.（2）證明：當(dāng)x0時(shí)，x0，f（0）=f（x）·f（x）=1.f（x）=0.又x0時(shí)f（x）10，xR時(shí)，恒有f（x）0.（3）證明：設(shè)x1x2，則x2x10.f（x2）=f（x2x1+x1）=f（x2x1）·f（x1）.x2x10，f（x2x1）1.又f（x1）0，f（x2x1）·f（x1）f（x1）.f（x2）f（x1）.f（x）是R上的增函數(shù).（4）解：由f（x）·f（2xx2）1，f（0）=1得f（3xx2）f（0）.又f（x）是R上的增函數(shù)，3xx20.0x3.【名師指引】解本題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用題目條件，尤其是（3）中

30、“f（x2）=f（x2x1）+x1”是證明單調(diào)性的關(guān)鍵，這里體現(xiàn)了向條件化歸的策略.考點(diǎn)2 函數(shù)的值域（最值）的求法題型1：求分式函數(shù)的最值例3 （2000年上海）已知函數(shù)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值； 解題思路當(dāng)時(shí)，這是典型的“對(duì)鉤函數(shù)”，欲求其最小值，可以考慮均值不等式或?qū)?shù)；解析當(dāng)時(shí)，。在區(qū)間上為增函數(shù)。在區(qū)間上的最小值為?！久麕熤敢繉?duì)于函數(shù)若，則優(yōu)先考慮用均值不等式求最小值，但要注意等號(hào)是否成立，否則會(huì)得到而認(rèn)為其最小值為，但實(shí)際上，要取得等號(hào)，必須使得，這時(shí)所以，用均值不等式來(lái)求最值時(shí)，必須注意：一正、二定、三相等，缺一不可。其次,不等式恒成立問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值。本題考查求函數(shù)的最小

31、值的三種通法：利用均值不等式，利用函數(shù)單調(diào)性，二次函數(shù)的配方法，考查不等式恒成立問(wèn)題以及轉(zhuǎn)化化歸思想；題型2：利用函數(shù)的最值求參數(shù)的取值范圍例4 （2000年上海）已知函數(shù)若對(duì)任意恒成立,試求實(shí)數(shù)的取值范圍。解題思路 欲求參數(shù)的取值范圍，應(yīng)從恒成立的具體情況開(kāi)始。解析在區(qū)間上恒成立；在區(qū)間上恒成立；在區(qū)間上恒成立；函數(shù)在區(qū)間上的最小值為3， 即【名師指引】這里利用了分離參數(shù)的方法，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值。題型3：求三次多項(xiàng)式函數(shù)的最值 例5（09年高州中學(xué)）已知為實(shí)數(shù)，函數(shù)，若，求函數(shù)在上的最大值和最小值。解題思路求三次多項(xiàng)式函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，應(yīng)該用導(dǎo)數(shù)作為工具來(lái)研究其單調(diào)性。解析， 3

32、分 4分 得：當(dāng) 5分當(dāng) 6分因此，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，而在內(nèi)單調(diào)遞減，且又 ，10分【名師指引】用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究其單調(diào)性和最值是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，同時(shí)也是難點(diǎn)，要求考生熟練掌握用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究其單調(diào)性和最值的方法和步驟。第5講 函數(shù)的奇偶性和周期性熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析考點(diǎn)1 判斷函數(shù)的奇偶性及其應(yīng)用題型1：判斷有解析式的函數(shù)的奇偶性例1 判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）f（x）=|x+1|x1|；（2）f（x）=（x1）·；（3）；（4）思路點(diǎn)撥判斷函數(shù)的奇偶性應(yīng)依照定義解決，但都要先考查函數(shù)的定義域。解析 （1）函數(shù)的定義域x（，+），對(duì)稱于原點(diǎn).f（x）=|x+1|x1|=|x1|x+1|=

33、（|x+1|x1|）=f（x），f（x）=|x+1|x1|是奇函數(shù).（2）先確定函數(shù)的定義域.由0，得1x1，其定義域不對(duì)稱于原點(diǎn)，所以f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).（3）去掉絕對(duì)值符號(hào)，根據(jù)定義判斷.由得故f（x）的定義域?yàn)?，0）（0，1，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且有x+20.從而有f（x）= =，f（x）=f（x）故f（x）為奇函數(shù).（4）函數(shù)f（x）的定義域是（，0）（0，+），并且當(dāng)x0時(shí)，x0，f（x）=（x）1（x）=x（1+x）=f（x）（x0）.當(dāng)x0時(shí)，x0，f（x）=x（1x）=f（x）（x0）.故函數(shù)f（x）為奇函數(shù).【名師指引】函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的一個(gè)整體性質(zhì), 定義域具有對(duì)稱性 ( 即若奇函數(shù)或偶函數(shù)的定義域?yàn)镈, 則時(shí)) 是一個(gè)函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件分段函數(shù)的奇偶性一般要分段證明.判斷函數(shù)的奇偶性應(yīng)先求定義域再化簡(jiǎn)函數(shù)解析式.題型2：證明抽象函數(shù)的奇偶性例2 （09年山東梁山）定義在區(qū)間上的函數(shù)f (x)滿足：對(duì)任意的，都有. 求證f (x)為奇函數(shù)；思路點(diǎn)撥欲證明為