比例式的定義

1、比例式的定義：假設(shè)有兩個比：和：，如果這兩個比的比值相等()，則稱這兩個比相等，記成 ：，這樣的式子就稱為比例式。 【範(fàn)例】：請求出下列各比例式的解： (1) 已知7：335：，求？ (2) 已知：11144：132，求？ 解 ：(1) 7：335： ， 則 15。 答：15。 (2) ：11144：132 ， 則 12。 答：12。比例式的性質(zhì)：性質(zhì)1： ： × ： × ，其中 0。性質(zhì)2： 若 ： ： 則有?；蚴?× × 。 性質(zhì)3： ：:，則 ：×:×。 (：: ：×:×。) 性質(zhì)4： ：:，則 ：:。 因?yàn)?/p>

2、 p：q: ： ： )連比： 如果第一個數(shù)與第二個數(shù)的比是 :，第二個數(shù)與第三個數(shù)的比是b : c，那麼就 可以將這三個數(shù)的比寫成 :。我們稱 : 為三個數(shù)、的連比。按 照同樣的方法，還可以定義四個數(shù)或四個以上的數(shù)的連比。連比例式的定義：若：:，即：:且：:。 由：:，我們可得，由：: 我們可得 因此可得。性質(zhì)1： ：:，則有：。注意：:，亦可有：?！竟?fàn)例】： A：B3：2，B：C4：9，求A：B：C？解法一： A：B3：2，我們可得， B：C4：9，我們可得， 因此××，也就是， 故A：B：C 6：4：9。 解法二： 我們也可以從定義來做。 A：B3：2 ， B：C4：9

3、 ，則： A ： B ： C 3 ： 2 4 ： 9(放大2倍) 6 ： 4 4 ： 9 6 ： 4 ： 9 故A：B：C 6：4：9?！竟?fàn)例】： 已知6A9 B14 C，求A：B：C？解法一： 6，9，14126，將6A9B14C 除以126我們可得： ，也就是。 故A：B：C 21：14：9。解法二： 由定義來做。 6A9 B A：B9：63：2 9 B14 C B：C14：9 則： A ： B ： C 3 ： 2 14 ： 9 (放大7倍)21 ： 14 14 ： 9 21 ： 14 ： 9 【範(fàn)例】： A：C2：3，B：C3：4，求A：B：C？ 解法一： A：C2：3，我們可得 ， B

4、：C3：4，我們可得 ， 因此××××，也就是， 故A：B：C8：9：12。 解法二： 由定義來做。 A：C2：3 ， B：C3：4 ，則： A ： B ： C 2 ： 3 3 ： 4(放大4倍)(放大3倍) 8 ： 12 9 ： 12 8 ： 9 ： 12故A：B：C8：9：12。性質(zhì)2： ：×：×：×。【範(fàn)例】： ：0.6：2.1 ： ×30：×30：×3018：20：63。性質(zhì)3：:，則 ：×:×:×，其中、 三個數(shù)不為零。 ( 由性質(zhì)1：可知：:，則有， 若

5、 、 三個不為零的數(shù)，則： ××× 因此我們有 ：×:×:×。 ) 【範(fàn)例】：已知A：B：C2：3：5，求4A：2 B：3 C？ 解法一： A：B：C2：3：5我們可得： 4A：2 B：3 C 2×4：3×2：5×3 8：6：15 故4A：2B：3C8：6：15。 解法二： A：B2：3 ××4A：2B4：3 B：C3：5 ×× 2B：3C2：5 由定義來做。 4A ： 2B ： 3C 4 ： 3 2 ： 5 (放大2倍)(放大3倍) 8 ： 6 6 ： 15 8

6、： 6 ： 15 故4A：2B：3C8：6：15。性質(zhì)4：若p：q：r:，則有： ：。 ( 因?yàn)?p：q：r: ： ：。 ) 【範(fàn)例】： 將2A：4B：3C4：12：15，求A：B：C？ 解法一： 2A：4B：3C4：12：15， 故有 A：B：C ： 2：3：5 因此 A：B：C 2：3：5。 2A：4B4：12 ×× A：B2：3 4B：3C12：15 ×× B：C3：5 解法二： 由定義來做。 A ： B ： C 2 ： 3 3 ： 5 2 ： 3 ： 5 故A：B：C2：3：5?！竟?fàn)例】： 若2：3：41：2：3，求：之連比？ 解法一： 2：3：

7、41：2：3 ：， 故：12×：12×：12× 6：8：9。 答： ：6：8：9。 解法二： 2：31：2 ： 3：4 3：42：3 ： 8：9 由定義來做。 ： ： 3 ： 4 8 ： 9 (放大2倍) 6 ： 8 8 ： 9 6 ： 8 ： 9故 ：6：8：9。連比的性質(zhì)：性質(zhì)1： ：:，則有：。性質(zhì)2： ：×：×：×。性質(zhì)3： ：:，則 ：×:×:×，其中、 三個數(shù)不為零。性質(zhì)4：若p：q：r:，則有： ：。最簡整數(shù)連比：若連比：:，其中 ， 的最大公因數(shù)為1， (，)1，則稱：為最簡整數(shù)連比。【範(fàn)

8、例】： ：2：8：10，其最簡整數(shù)比為？ 解 ： (2，8，10)2 故 ： 1：4：5， 因?yàn)?1，4，5)1，因此：其最簡整數(shù)比為1：4：5。連比性質(zhì)的推廣：性質(zhì)1： ： :：d ，則有：。性質(zhì)2： ：×：×：×：×。性質(zhì)3： ：:：d，則 ：×:×:×:×，其中、 四個數(shù)不為零。性質(zhì)4：若p：q：r：s:：d，則有： ：。範(fàn)例：設(shè)x：z = 2：3，y：w = 4：3 及x：y = 3：1，問x：y：z：w = ？解： x ：y ：z ：w4 ：33 ：112 ： 4 ：32 ：312 ：4：18 ：3故 x

9、：y：z：w = 12：4：18：3。範(fàn)例：設(shè)5x 3y，3y 2z 及 2w 3x，問x：y：z：w = ？解： 5x 3y x ：y = 3：53y 2z y ：z = 2：32w 3x x ：w = 2 ：3x ：y ：z ：w3 ：52 ：36 ： 10 ：152 ：36 ：10：15 ：9故 x：y：z：w = 6：10：15：9。範(fàn)例：設(shè)2x：3y：4z：w =3：5：7：2，=問x：y：z：w = ？解： x：y：z：w = ：2 = 18：20：21：24故 x：y：z：w = 18：20：21：24。設(shè)甲、乙、丙、丁四人合資買基金，獲利x元，若他們的投資金額比為6：4：3：2

10、，投資月數(shù)比為3：2：4：6 該如何分配獲利才公平？範(fàn)例：設(shè)甲、乙、丙、丁四人合資買基金，獲利x元，現(xiàn)在以投資金額與投資時間的乘積分配獲利，若他們的投資金額比為6：4：3：2，投資月數(shù)比為3：2：4：6，問每人各分多少元？解： 獲利分配比為 9：4：6：6 甲分得x元，乙分得x元，丙分得x元，丁分得x元【更比定理】 若 a：c = b ：d 則 d ：b = c ： a。( = = d ：b = c ： a。 )【合比定理】 若 a：b = c ：d 則 a + b ：b = c + d ：d。 ( 也就是， 則 = 。)【分比定理】 若 a：b = c ：d 則 a - b ：b = c -

11、 d ：d。 ( 也就是， 則 = 。 )【合分比定理】 若 a：b = c ：d 則 a b ：cd = a - b ：cd 其中ab 且cd。( 若 1 則 = 。連比的應(yīng)用：1. 有A、B二種食鹽水，A重量為40公克，B重量為90公克，已知兩者水量的比為A：B2：5，含鹽量的比為A：B1：2，則A種食鹽水的濃度為多少？答案50詳解：設(shè)A種食鹽水含水2x公克，鹽y公克B種食鹽水含水5x公克，鹽2y公克得x10，y20A種濃度2. 某就業(yè)考試中，男女考生比為8：15，考完錄取時發(fā)現(xiàn)男女生之比為2：3，而落榜沒錄取的男、女生之比為1：2，求男生的錄取率為多少？答案25詳解：設(shè)已錄取男生2x人，

12、女生3x人未錄取男生y人，女生2y人(2xy)：(3x2y)8：158(3x2y)15(2xy)24x16y30x15yy6x男生錄取率為3. 小豆腐從彰化回臺北，前路程騎機(jī)車，後路程坐汽車；若機(jī)車時速為40公里，全程平均時速為50公里，則小豆腐坐汽車與騎機(jī)車速率的比為多少？答案7：4詳解：設(shè)汽車時速為x公里，40x50，x70，坐汽車與騎機(jī)車速率70：407：44. 小光拿零用錢買鹹酥雞，剩餘的錢為用去的2倍，後來買飲料又用去20元，所餘的錢為原有的倍。則小光原有多少錢？答案120元詳解：設(shè)小光買鹹酥雞用了x元，剩下2x元，(2x20)x，x40，原有4080120(元)5. 父子兩人現(xiàn)年的

13、年齡和為80歲，10年前父年是子年的3倍，幾年後父親年齡是兒子的兩倍？答案5年後詳解：設(shè)父親x歲，兒子y歲，(x10)3(y10)，又xy80x55，y25，設(shè)n年後，父親年齡是兒子的兩倍：(55n)2(25n)n56. 蛋蛋到超市買一包杏仁小魚，內(nèi)含杏仁及小魚乾，共重400克，其中杏仁與小魚乾重量比為3：1，每公斤杏仁300元，小魚乾每公斤400元，則蛋蛋買一包杏仁小魚需幾元？答案130元詳解：杏仁與小魚乾重量比為3：1，內(nèi)含杏仁300克，小魚乾100克，300×400×130(元)7. 有一群男女，男生走了15名後，男女生之比為3：4，之後女生走了11名，此時男女生之比

14、為5：3，求最初男女生各有多少人？答案男生30人，女生20人詳解：設(shè)最初男生有x人，女生有y人8. 小野貓與少甫兩人將資本投入股市，最初資本比為3：4，一年後小野貓獲利50000元，少甫虧損20000元，結(jié)果兩人資本比變?yōu)?：4，請問小野貓?jiān)就顿Y多少元？答案資本112500元詳解：設(shè)小野貓資本3x元，少甫4x元，(3x50000)：(4x20000)5：4，x37500，小野貓資本112500元。9. 921大地震損失慘重，甲、乙、丙三人決定捐出一日所得幫助受災(zāi)戶，已知甲一天工資的3倍等於乙一天工資的2倍，乙一天工資的3倍等於丙一天工資的2倍，若三人共捐出4560元，則甲、乙、丙三人一天的工

15、資各是多少元？答案甲工資960元，乙工資1440元，丙工資2160元。詳解：甲工資：乙工資：丙工資4：6：9，所以甲工資960元，乙工資1440元，丙工資2160元。10. 永澤去文具店挑選文具，發(fā)現(xiàn)1枝鋼筆打3折的價錢與2枝原子筆的價錢相同，3枝原子筆的價錢與5枝鉛筆的價錢相同，則鋼筆，原子筆與鉛筆的價錢比為何？答案100：15：9詳解：設(shè)鋼筆一支x元，原子筆一支y元，鉛筆一支x元，x2y，3y5z，x：y：z100：15：911. 設(shè)，求之值？答案詳解：令k0abkbckcakk1abc12. 小達(dá)一家三口的年齡總和為80，且爸爸的年齡是小達(dá)的3倍，媽媽年齡的3倍是小達(dá)的8倍，則三人年齡各

16、為何？答案爸爸36歲，媽媽32歲，小達(dá)12歲詳解：設(shè)爸爸x歲，媽媽y歲，小達(dá)z歲x3z，x：z3：1，3y8z，y：z8：3，x：y：z9：8：3故x9k，y8k，z3k9k8k3k80，k4x36，y32，z1213. 若鳳梨、蘋果與西瓜各一斤的售價比為2：3：1，欲宣各買3斤共花了270元，則新梓買了2斤鳳梨、3斤蘋果與5斤西瓜共花多少錢？答案270詳解：270÷÷39090÷6×230，90÷6×345，90÷6×115，2×303×455×1527014. 已知一預(yù)拌水泥車內(nèi)，

17、水泥、砂和石子的比為7：4：3，後來因不夠使用，又增加了同比例的預(yù)拌水泥若干。已知後來增加的預(yù)拌水泥之中，砂比石子多增加了0.05公噸，試求後來增加的預(yù)拌水泥中含有水泥多少公噸？詳解：因?yàn)樗啵荷埃菏?：4：3設(shè)水泥增加7x公噸，砂增加4x公噸，石子增加3x公噸4x3x0.05，x所以7x7×15. 已知買3斤鳳梨的錢和2斤蘋果的錢相等，且買1斤鳳梨的錢等於2斤西瓜的錢，則鳳梨、蘋果與西瓜各一斤的售價比為何？答案2：3：1詳解：設(shè)鳳梨、蘋果、西瓜一斤的售價分別為x元、y元與z元則3x2yx：y2：3又x2zx：z2：1所以x：y：z2：3：116. 如圖，有甲、乙、丙三個齒輪緊密接

18、合在一起，而且分別有60齒、24齒、36齒，則甲、乙、丙三個齒輪在同一時間轉(zhuǎn)動的圈數(shù)比為。答案6：15：10詳解：同一時間轉(zhuǎn)動的圈數(shù)比等於齒數(shù)的倒數(shù)比故所求為17. 設(shè)酒精x立方公分的重量為y公克，而且x、y的關(guān)係如圖所示。(1)設(shè)，則？(2)酒精80立方公分的重量為多少公克？(3)酒精80公克的體積為多少立方公分？答案(1)0.8 (2)64 (3)100詳解：(1)的圖形通過點(diǎn) 所以(2)以代入中 得(3)以代入中 得18. 若y與x成正比，已知、為x的兩個值，而且其對應(yīng)y的兩個值分別為、，請嘗試說明。答案如詳解詳解：因?yàn)閥與x成正比，所以可假設(shè)ykx(k為定數(shù)且k0)，又、的對應(yīng)值分別為

19、、，所以、，因此19. 一物體自高空自由落下(落下的距離s公分與時間t秒的平方成正比)，已知此物體2秒後落下1960公分，請問：(1)s與t的關(guān)係式為何？(2)此物體3秒後落下了多少公分？(3)此物體在第3秒內(nèi)落下了多少公分？(從第3秒初到第3秒末)(4)此物體在第4秒末恰落於地面，則此物體原來所在的高度為多少公分？答案(1)(2)4410(3)2450(4)7840詳解：(1)設(shè)(k為定數(shù)且)則故s與t的關(guān)係式為(2)以代入中 得所以此物體3秒後落下4410公分(3)此物體2秒後落下1960公分 而且物體3秒後落下4410公分又441019602450 故此物體在第3秒內(nèi)落下了2450公分(

20、4)以代入中得 所以此物體原來所在的高度為7840公分20. 已知球的體積與其半徑的立方成正比。今有三個金屬球，它們的半徑分別是3、4、5公分，若把這三個球熔成一個大球，則此大球的半徑是多少公分？答案6詳解：因?yàn)榍虻捏w積與半徑的立方成正比，而且，所以大球的半徑為621. 若與成反比，而且當(dāng)時，則當(dāng)時，？答案詳解：因?yàn)榕c成反比，所以6x與8y成反比，因此設(shè)，又時，所以 ，即，再以代入中，得 22. 若x與成反比，當(dāng)y變?yōu)樵瓉淼?倍時，則x變?yōu)樵瓉淼亩嗌俦?？答案倍詳解：因?yàn)閤與成反比，所以可假設(shè)（k為定數(shù)且），當(dāng)y變?yōu)樵瓉淼?倍時，則，又，所以x變?yōu)樵瓉淼谋?3. 有一彈簧秤原長20公分，在彈性限度內(nèi)最多可秤16公斤，若秤y公斤重的物體時，彈簧拉長x公分。根據(jù)虎克定律，則：(1)若秤10公斤重的物體時，彈簧全長25公分，請寫出x、y的關(guān)係式。(2)若秤14公斤重的物體時，彈簧全長多少公分？答案(1)y2x(2)27公分詳解：(1)252010×k，kxy y2x(2)2x14，x720727(公分)24. 在彈性限度內(nèi)，如果秤y公斤重的物體時，彈簧拉長x公分，且x與y成正