Lingo軟件在數(shù)學建模競賽中的應用

1、2010年8月十堰職業(yè)技術(shù)學院學報Aug.,2010第23卷第4期Journal of Shiyan T echnical Institute V ol.23No.4 Lingo軟件在數(shù)學建模競賽中的應用金晶晶(福建交通職業(yè)技術(shù)學院基礎部,福建福州350007摘要針對三道全國大學生數(shù)學建模競賽賽題,利用Lingo軟件對模型進行求解,并分析了Lingo軟件在求解較大規(guī)模數(shù)學規(guī)劃模型所發(fā)揮的作用。關鍵詞Lingo軟件;數(shù)學建模;數(shù)學規(guī)劃;曲線擬合中圖分類號O141.4文獻標識碼A文章編號100824738(20100420085204數(shù)學建模(Mathematical Modeling是對現(xiàn)實世界

2、的一個特定對象,為了一個特定目的,根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律,作出一些必要的簡化假設,運用適當?shù)臄?shù)學工具,得到一個數(shù)學結(jié)構(gòu)的過程1。Lingo是Linear Interactive and General Opti2 mizer的縮寫。Lingo軟件是美國芝加哥大學的Li2 nus Schrage教授于1980年前后開發(fā)出來的一套專門用于求解最優(yōu)化問題的軟件包,即/交互式的線性和通用優(yōu)化求解器0,包括功能強大的建模語言,建立和編輯問題的全功能環(huán)境,讀取和寫入Excel和數(shù)據(jù)庫的功能,以及一系列完全內(nèi)置的求解程序。使用者甚至不需要指定或啟動特定的求解器,因為Lingo會讀取方程式并自動選擇合適的求解器。

3、目前Lingo產(chǎn)品已經(jīng)有Lingo8.0版本,新版本的求解規(guī)模都在原有基礎上得到進一步加強。Lingo軟件的最大特色在于其具有的快速建構(gòu)模型、輕松編輯數(shù)據(jù)、強大求解工具、交互式模型或建立完成應用、豐富的文件支持?？v觀近幾年全國大學生數(shù)學建模競賽賽題,參賽者大都需要處理較復雜的數(shù)學規(guī)劃和曲線擬合等問題,模型的建立與求解較為復雜、計算量大,而matlab、mathmatica等軟件語法比較復雜不易掌握。Lingo軟件程序簡潔、計算精度高、結(jié)果可靠、易于修改和擴展,其內(nèi)部建模語言是建立與求解大規(guī)模數(shù)學規(guī)劃模型的有力武器。2000年全國大學生數(shù)學建模競賽B題(鋼管訂購和運輸中的最小費用流問題、2004

4、年全國大學生數(shù)學建模競賽C題(酒后駕車的曲線擬合問題、2006年全國大學生數(shù)學建模競賽中C題(易拉罐的最優(yōu)設計的非線性規(guī)劃問題都可以充分展示用Lingo建模語言求解的優(yōu)越性。1非線性規(guī)劃模型歷年全國大學生數(shù)學建模競賽都需解決最優(yōu)生產(chǎn)計劃、最優(yōu)分配最優(yōu)設計、最優(yōu)決策、最佳管理等較為復雜的非線性規(guī)劃問題,模型由決策變量、目標函數(shù)、約束條件三個要素組成,其計算量較大,可用Lingo軟件求解。2006/高教社杯0全國大學生數(shù)學建模競賽C題3第二小題,設易拉罐是一個正圓柱體,什么是它的最優(yōu)設計?經(jīng)測量得圓柱的上底厚度為a=0.036c m、下底厚度為c=0.040c m、圓柱側(cè)壁厚度為b=0.012 c

5、 m。考慮易拉罐設計美觀性、便于把握以及材料節(jié)省等因素,于是建立目標規(guī)劃模型如下:目標函數(shù):min W=b2P Rh+(a+cP R2約束條件:V=P R2>3552R/h=0.618P r218.56,h8.71R>0,h>0,a=0.036,b=0.012利用Lingo8.0編程如下:Model:min=b*2*3.14159*R*h+(a+c*3.14159*R2;!以上是目標函數(shù),以下為約束條件;3.14159*R2*h>355;2*R/h=0.618;3.14159*R2=18.56;85*收稿日期2010206220基金項目福建交通職業(yè)技術(shù)學院科技發(fā)展基金(

6、Ky1001。作者簡介金晶晶(1983-,男,福建交通職業(yè)技術(shù)學院基礎部助教,理學碩士,研究方向:組合數(shù)學與圖論。h>=8.71;R>0;h>0;a=0.036;c=0.040;b=0.012;EndLingo 以語句Model 開始,以語句End 結(jié)束,這兩個語句單獨成一行。語句分為集合定義部分、數(shù)據(jù)初始化部分、目標函數(shù)、約束條件部分,這幾個部分的先后次序無關緊要。min 開頭的語句表示求目標函數(shù)最小值。/!0開頭的語句是注釋語句,Lingo 不作運行,每條中間語句必須以/;0號作為結(jié)尾。注意乘號不能省略,語句不計大小寫。運行SOVLE,得部分結(jié)果如下:Local opti

7、mal solution found at iteration:1151Objective value: 5.157389VariableValue Reduced Cost B 0.1200000E-010.000000R 3.2684800.000000H 10.577600.000000A 0.3600000E-010.000000C 0.4000000E-010.000000R25.9078360.000000即底面半徑為3.268480,圓柱體高為10.57760時,用料體積為5.157389,此為最優(yōu)設計。第三題亦可按此方法迎刃而解。上例充分體現(xiàn)Lingo 其簡單易學、方便快捷的優(yōu)

8、越性。2 曲線擬合模型曲線擬合在眾多領域中得到了廣泛的應用,將曲線擬合問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學規(guī)劃模型,并使用Lingo 軟件來求解,該方法簡便快捷,是實現(xiàn)曲線擬合的一個有效方法。2004年全國大學生數(shù)學建模競賽C 題(酒后駕車中給出某人短時間內(nèi)喝下兩瓶啤酒后,間隔一定時間得到數(shù)據(jù)。以下建立無約束的非線性規(guī)劃模型2。間隔一定時間t 測量他的血液中酒精含量y (毫克/百毫升,得到數(shù)據(jù)如表1:表1 2004年全國大學生數(shù)學建模競賽C 題(酒后駕車數(shù)據(jù)時間(小時0.250.50.751 1.52 2.53 3.54 4.55酒精含量306875828277686858515041時間(小時6789101112

9、13141516酒精含量3835282518151210774題目要求結(jié)合給定數(shù)據(jù)建立飲酒后血液中酒精濃度的數(shù)學模型。通過建立微分方程模型得到短時間內(nèi)喝酒后血液中酒精濃度與時間的關系為:y =a 1(e -a 2t -e -a 3t 求均方誤差Q(a 1,a 2,a 3=Eni =1a 1(e-a 2t-e-a 3t-y i 2取極小值的待定系數(shù),即為最小二乘解。下面用Lingo 軟件求解,具體算法如下:MODEL: SETS:BAC/R1.R23/:T,Y; ENDSET S DA TA:T=0.25,0.5,0.75,1,1.5,2,2.5,3,3.5,4,4.5,5,6,7,8,9,10

10、,11,12,13,14,15,16;Y=30,68,75,82,82,77,68,68,58,51,50,41,38,35,28,25,18,15,12,10,7,7,4; ENDDATAMIN =SU M(BAC:(A 1*(EXP(-A2*T -EXP(-A3*T-Y2;END以上程序中,SETS 和ENDSET S 之間的語句是對集合作定義,在此所定義的BAC 是包含23個成員的集合,T 和Y 是BAC 的兩個屬性,分別表示時間t 和血液中酒精濃度y,它們都是含有23個成員的一維數(shù)組。DAT A 和ENDDAT A 之間的語句是對T 和Y 的進行賦值,其中SUM 和EXP 是Lingo

11、 提供的內(nèi)部函數(shù),SU M 的作用是對某個集合的所有成員求某個表達式的和,該函數(shù)需要兩個參數(shù),第一個參數(shù)為集合名稱,指定對該集合的所有成員求和,此處第一個參數(shù)是BAC,它有23個成員,則求和運算對這23個成員進行。第二個參數(shù)是一個表達式,表示求和運算對該表達式進行,兩個參數(shù)之間用/:0號隔開。如果有約束條件,可放在目標函數(shù)之后,此處沒有約束條件,故目標函數(shù)之后即以END 結(jié)束整個程序。點擊SOLVE,運行結(jié)果如下:Local optimal solution found at iter ation:98 Objective value:225.3417VariableValue Reduced

12、 Cost A1114.43230.3477201E-08A20.18550140.000000A32.0079440.5661852E-07即:A1=114.4323,A2=0.1855014,A3= 2.007944,目標函數(shù)最小值為225.3417。LINGO 求多元函數(shù)極小值時內(nèi)部所采用的算法效率高、速度快、精度高。用于非線性曲線擬合時,對擬合函數(shù)的形式無任何限制,無需初始值,能準確地得到回歸系數(shù)的最小二乘解,計算精度高,程序簡潔。3 最小費用流模型運籌學的交通運輸問題中,往往要求在完成運輸86金晶晶:Lingo 軟件在數(shù)學建模競賽中的應用任務的前提下,尋求一個使總運輸費用最省的運輸方

13、案,這就是最小費用流問題。如果只考慮單位貨物的運輸費用,那么這個問題就變成最短路問題。模型的傳統(tǒng)求解迭代次數(shù)太多,比較復雜,而matlab 、math 2matica 等軟件語法復雜不易編程,Lingo8.0其內(nèi)部語言為解決該類問題的強有力武器。2000年全國大學生數(shù)學建模競賽B 題/鋼管的訂購和運輸0是一道離散優(yōu)化問題。如圖1,有7家鋼管生產(chǎn)廠S i (i =1,2,7,提供鋼管到一條擬鋪設鋼管的天然氣輸送主管道上的15個站點A j (j =1,2,15。鋼管可通過公路和鐵路運至鋪設地點,圖中粗線表示鐵路,單細線表示公路,雙細線表示要鋪設的管道(假設沿管道或者原有公路,或者建有施工公路,空心

14、圓點表示火車站。鋼管運到站點后由各站點沿管道向兩邊鋪設直至合攏。該題要求制定鋼管訂購和運輸?shù)膬?yōu)化計劃,使總費 用最小。圖1 天然氣輸送主管道圖欲解決該問題首先需確定從S i 至A j 的最優(yōu)路徑,從而確定出鋼管從i 地運往j 地的最小運費,即求解最小費用流問題。根據(jù)該題的需要,不妨設從S i 至A j 的鋼管經(jīng)過鐵路后,一旦走公路,則不會再通過鐵路運輸。下以S 2為例,計算S 2至A j 的最優(yōu)路徑。圖1中B k /L k (k=16,2,32中表示S 2至沿鐵路至火車站B k 的費用為L k 。問題轉(zhuǎn)化為求以S i 為起點、A j 為終點的賦權(quán)圖的最短路徑問題。由Dijkstra 算法,運用

15、Lingo8.0編程如下:MODEL:SET S:CIT IES/1.33/:F;ROADS(CITIES,CITIES/1,22,32,163,43,174,54,185,65,196,76,207,87,217,228,98,239,109,2410,1110,2511,1211,2612,1312,2713,1413,2814,1514,2914,3015,3115,3216,3317,3318,3319,3320,3321,3322,3323,3324,3325,3326,3327,3328,3329,3330,3331,3332,33/:D ENDSETS DAT A:D=10.43

16、0.10.375.00.260.66019.4120.50.520.11.03.168.01.248.04.230.07.022.01.021.01.042.06.250.011.03.02.02.0205.0190.0125.0110.095.085.085.070.0110.0135.0145.0155.0165.0180.0175.0190.0190.0;ENDDAT AF(SIZE(CIT IES=0;FOR(CIT IES(i|i#LT#SIZE(CIT IES:F(i=MIN(ROADS(i,j:D(i,j+F(j;END以上SETS 開始至ENDSETS 結(jié)束的內(nèi)容是定義所有的邊

17、。/CITIES/1.33/:F;0是用集合CITIES 定義一維變量F,其格式為:/setname/memberlist(or1.n/:attribute,.0,一個集合只需要給出維數(shù)(mem 287十堰職業(yè)技術(shù)學院學報2010年第4期第23卷第4期berlist,用1.n表示或其他文字符號表示或用集合表示,后接具有該維數(shù)的變量(attribute。以上DA T A 開始至ENDD A TA結(jié)束的內(nèi)容是賦以上各邊以相應的權(quán)。Dijkstra算法的循環(huán)語句為:/FOR(CITIES( i|i#LT#SIZE(CITIES:F(i=MIN( ROAD S(i,j:D(i,j+F(j;0,其中邏輯

18、運算符/#LT#0表示小于。運行此程序,得部分結(jié)果如下:Feasible solution found at iter ation:0 Variable V alueF(1215.7000F(2205.3000即可求得單位鋼管從S2到A j的最小運費F(j (j=1,15如下:表2單位鋼管從S2到A j的最小運費F(j單位鋼管的運輸費F(j單位鋼管的運輸費F(1215.7000F(2205.3000F(3190.2000F(4171.6000F(5111.0000F(695.50000F(786.00000F(871.20000F(9114.2000F(10142.0000F(11146.00

19、00F(12156.0000F(13171.2000F(14178.0000F(15192.0000同理可求得S1,S3,S4,S5,S7,S7各點到目的點的最優(yōu)單位運費。經(jīng)定量分析可得較合理的方案為:S1,S2,S3負責往鋪設點A1至A9供應鋼管,S4、S5、S6、S7負責往A8至A15供應鋼管。Lingo軟件內(nèi)置建模語言以較少的語句、直觀的方式描述較大規(guī)模的數(shù)學規(guī)劃模型。其中, SU M、For和IF等語句的應用,極大地方便了數(shù)學模型的建立。此外,由曲線擬合模型可得,可以將原先不屬于優(yōu)化問題的模型,利用Lingo軟件內(nèi)部建模語言進行求解,較之傳統(tǒng)的求解方法更簡單。在實際應用領域,Lingo其線性、非線性和整數(shù)規(guī)劃求解程序已經(jīng)被全世界數(shù)千萬的公司用來做最大化利潤和最小化成本的分析。Lingo能在產(chǎn)品分銷、成分混合、生產(chǎn)與個人事務安排、存貨管理、生產(chǎn)線性規(guī)劃、運輸、財務金融、投資分配、資本預算、混合排程、庫存管理、資源配置等問題的數(shù)學建模中發(fā)揮巨大作用。參考文獻1姜啟源,謝金星,葉俊.數(shù)學模型:第三版M.北京