第九節(jié)連續(xù)函數的運算與初等函數的連續(xù)性

1、機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 1第九節(jié)第九節(jié) 連續(xù)函數的運算連續(xù)函數的運算一、四則運算的連續(xù)性一、四則運算的連續(xù)性二、反函數與復合函數的連續(xù)性二、反函數與復合函數的連續(xù)性三、初等函數的連續(xù)性三、初等函數的連續(xù)性四、小結四、小結 思考題思考題與初等函數的連續(xù)性與初等函數的連續(xù)性機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 2一、連續(xù)函數的四則運算的連續(xù)性【定理【定理1】例如例如 . ),(cos,sin內連續(xù)內連續(xù)在在xx. csc,sec,cot,tan在在其其定定義義域域內內連連續(xù)續(xù)xxxx（上節(jié)已證）（上節(jié)已證）由函數由函數“點連續(xù)點連續(xù)”的定義

2、和極限四則運算法則，立的定義和極限四則運算法則，立得得: :【推廣【推廣】 有限個連續(xù)函數的和、差、積仍為連續(xù)函數。有限個連續(xù)函數的和、差、積仍為連續(xù)函數?！窘Y論【結論】三角函數在其定義域內連續(xù)三角函數在其定義域內連續(xù).若若f(x) , g(x)在點在點x0處連續(xù)，則處連續(xù)，則f(x)g(x) ，f(x)g(x) , f(x)/g(x)g(x0)0在點在點x0處也連續(xù)處也連續(xù).機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 3二、反函數與復合函數的連續(xù)性【定理【定理2】嚴格單調的連續(xù)函數必有嚴格單調的嚴格單調的連續(xù)函數必有嚴格單調的 連續(xù)反函數連續(xù)反函數. .（證明略）（證明略）例

3、如例如上單調增加且連續(xù)上單調增加且連續(xù)在在2,2sin xy上也是單調增加且連續(xù)上也是單調增加且連續(xù)在在故故1 , 1arcsin xy上上單單調調減減少少且且連連續(xù)續(xù)在在同同理理1 , 1arccos xy上上單單調調且且連連續(xù)續(xù)在在,cot,arctan xarcyxy【結論【結論】反三角函數在其定義域內皆連續(xù)反三角函數在其定義域內皆連續(xù). .1. . 反函數的連續(xù)性反函數的連續(xù)性機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 4).(lim)()(lim)(lim, )(,)(lim0000000 xgfufufxgfuufuxgxxuuxxxx 則有則有連續(xù)連續(xù)在點在點函數

4、函數若若【定理【定理3】【證【證】,)(0連續(xù)連續(xù)在點在點uuuf . )()(, 0, 000成立成立恒有恒有時時使當使當 ufufuu,)(lim00uxgxx 又又,0, 0, 00時時使使當當對對于于 xx2、復合函數的連續(xù)性、復合函數的連續(xù)性機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 5.)(00成立成立恒有恒有 uuuxg將上兩步綜合起來將上兩步綜合起來: :,0, 0, 00時時使當使當 xx)()()()(00ufxgfufuf .成立成立 )()(lim00ufxgfxx ).(lim0 xgfxx 【注意【注意】 本節(jié)本節(jié)定理定理3是是5定理定理6（復合函數

5、求極（復合函數求極限的法則）的特例，外層函數由原來限的法則）的特例，外層函數由原來的極限的極限存在存在加強為加強為連續(xù)連續(xù)。機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 6【意義【意義】.)(. 1的理論依據的理論依據變量代換變量代換xu 【例【例1】.)1ln(lim0 xxx 求求. 1 xxx10)1ln(lim 原式原式)1(limln10 xxx eln 【解【解】)(lim)(lim 200 xgfxgfxxxx 由由可知可知極限符號極限符號 可以與函數符號可以與函數符號 f 交換次序交換次序; ;0limxx條件是：條件是：內層函數極限存在、外層函數在對內層函數極限

6、存在、外層函數在對 應點連續(xù)；則可交換次序應點連續(xù)；則可交換次序. .同理同理xxax)1(loglim0 aln1 （即教材例（即教材例6）利用利用lnu的的連續(xù)性連續(xù)性機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 7【教材教材例例3】93lim 23 xxx求求【解【解】932 xxy可視為由可視為由、 uy 932 xxu復合而成，復合而成，6193lim 23 xxx又又 61 連續(xù)連續(xù)在點在點而而 uuy ) 0 lim 5 (0030 xxxxx已證已證例例則則93lim23 xxx93lim23 xxx交換次序交換次序6661 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁

7、 返回返回 結束結束 8又如又如)arccos(lim2xxxx xxxxx 2arccoslim1111arccoslim xx1111limarccos xx21arccos 3 交換次序：交換次序：用用arccosu的的連續(xù)性連續(xù)性分子有理化分子有理化分離無窮小量分離無窮小量機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 9【例【例2】.1lim0 xexx 求求. 1 )1ln(lim0yyy 原式原式【解【解】,1yex 令令),1ln(yx 則則. 0,0yx時時當當yyy10)1ln(1lim 同理可得同理可得.ln1lim0axaxx （即教材例（即教材例7 7）y

8、yy10)1ln(lim1 交換次序交換次序eln1 yyy10)1(limln1 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 10.)(,)(,)(,)(00000也連續(xù)也連續(xù)在點在點則復合函數則復合函數連續(xù)連續(xù)在點在點而函數而函數且且連續(xù)連續(xù)在點在點設函數設函數xxxgfyuuufyuxgxxxgu 【定理【定理4】【注意【注意】定理定理4是定理是定理3的特殊情況的特殊情況. .簡言之：簡言之：內、外層函數在對應點都連續(xù)，則復內、外層函數在對應點都連續(xù)，則復合函數連續(xù)合函數連續(xù)機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 11例如例如xy1sin 是由連續(xù)函數

9、鏈是由連續(xù)函數鏈),(,sin uuy,1xu *R x因此因此xy1sin 在在*R x上連續(xù)上連續(xù) .復合而成復合而成 ,xyoxy1sin機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 12【關系【關系】5 定理定理6：內、外層函數內、外層函數極限極限都都存在存在，則，則復合函數復合函數極限存在極限存在.(.(敘述不嚴格敘述不嚴格) )本節(jié)定理本節(jié)定理3：內層函數內層函數極限存在極限存在、外層函數、外層函數加強為加強為連續(xù)連續(xù)，則復合函數，則復合函數極限存在極限存在，且極限，且極限符號和函數符號可符號和函數符號可交換次序交換次序. .本節(jié)定理本節(jié)定理4：內、外層函數都加強為內

10、、外層函數都加強為連續(xù)連續(xù)，則復，則復合函數也合函數也連續(xù)連續(xù)（極限存在且等于函數值、極限極限存在且等于函數值、極限符號和函數符號可交換次序符號和函數符號可交換次序）. . 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 13三、初等函數的連續(xù)性三角函數及反三角函數在它們的定義域內是三角函數及反三角函數在它們的定義域內是連續(xù)的連續(xù)的. .（已證）（已證）)1, 0( aaayx指指數數函函數數內單調且連續(xù)內單調且連續(xù)在在),()1, 0( log aaxya對數函數對數函數內單調且連續(xù)內單調且連續(xù)在在), 0( （指出但不詳細討論）（指出但不詳細討論）（由（由【定理【定理2】反函數

11、的連續(xù)性可得）反函數的連續(xù)性可得）機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 14【定理【定理5】 基本初等函數在基本初等函數在定義域內定義域內是連續(xù)的是連續(xù)的. . xy xaalog ,uay .log xua , ), 0(內連續(xù)內連續(xù)在在 ,不同值不同值討論討論 ( (均在其定義域內連續(xù)均在其定義域內連續(xù) ) )定義區(qū)間定義區(qū)間是指包含在定義域是指包含在定義域內內的區(qū)間的區(qū)間. .由由【定理【定理4】復合函數的連續(xù)性復合函數的連續(xù)性基本初等函數在基本初等函數在定義域內定義域內連續(xù)連續(xù)連續(xù)函數經連續(xù)函數經四則運算四則運算仍連續(xù)仍連續(xù)連續(xù)函數的連續(xù)函數的復合函數復合函數連續(xù)

12、連續(xù)一切初等函數一切初等函數在在定義區(qū)間內定義區(qū)間內連續(xù)連續(xù)【定理【定理6】 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 15見見高數學高數學習指導習指導P P8 注（注（3）1. .初等函數僅在其定義初等函數僅在其定義區(qū)間內區(qū)間內連續(xù)連續(xù), , 在其定義在其定義域內域內不一定連續(xù)不一定連續(xù); ;例如例如, 1cos xy,4,2, 0: xD在這些孤立點的某個去心鄰域內沒有定義在這些孤立點的某個去心鄰域內沒有定義. .,)1(32 xxy, 1, 0: xxD及及在在0 0點的某去心鄰域內沒有定義點的某去心鄰域內沒有定義. . . ), 1 上連續(xù)上連續(xù)函數在區(qū)間函數在區(qū)間【

13、注意【注意】【注意【注意】2. .初等函數求極限的方法初等函數求極限的方法代入法代入法. .則既不是連續(xù)點也不是間斷點則既不是連續(xù)點也不是間斷點又如又如機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 16【例【例3】. 1sinlim1 xxe求求1sin1 e原式原式. 1sin e【例【例4】.11lim20 xxx 求求【解【解】【解【解】)11()11)(11(lim2220 xxxxx原式原式11lim20 xxx20 . 0 )()()(lim000定義區(qū)間定義區(qū)間 xxfxfxx型型00有理化后消去有理化后消去0因子因子機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回

14、 結束結束 17【教材教材例例8】xxxsin30)21(lim 求求【解【解】xxsin3)21( 6sin21)21( xxxxxxxxe21)21ln(sin6 由由定理定理3及極限運算法則得及極限運算法則得xxxsin30)21(lim xxxxxe210)21ln(sin6lim6e 【解【解】xxxsin30)21(lim )21ln(sin3 lim 0 xxxe 62sin3 lim 0eexxx ln(1+2x) 2x (x0)機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 18【補充【補充】,0)(lim 0 xuxx若若則有則有 )( )(1lim0 xvxx

15、xu,)(lim0 xvxxe )(1ln)(lim0 xuxvxx e )()(lim0 xuxvxxln1+u(x) u(x) (u(x)0)型型 1 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 19【一般地【一般地】)1)(, 0)( )( )( xuxuxuxv形如形如的函數稱為的函數稱為冪指函數冪指函數若若0)(lim axubxv )(lim則則bxvaxu )()(lim【注意【注意】. .lim表示自變量的同一變化過程中的極限表示自變量的同一變化過程中的極限. .（是定式情況下成立）（是定式情況下成立）.不能分兩步寫作：不能分兩步寫作：)()(limxvxu)(

16、 limxva ba 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 20教材習題教材習題19 P69 第第2題題 解答解答 , )()( . 20證明函數證明函數點連續(xù)點連續(xù)在點在點與與設函數設函數xxgxf , )(),(max)(xgxfx )(),(min)(xgxfx . 0也連續(xù)也連續(xù)在點在點 x【證明【證明】 連連續(xù)續(xù)在在僅僅證證0 )(),(max)( xxxgxfx 0 xx 在在 點，有且僅有三種情形：點，有且僅有三種情形：);()( )1(00 xgxf );()( )2(00 xgxf ).()( )3(00 xgxf ; )()( )1(00時時當當xgx

17、f )()(),(max)(0000 xfxgxfx 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 21又由假設又由假設)()(lim , )()(lim0000 xgxgxfxfxxxx 故故)(lim)(lim00 xgxfxxxx 即即 0)()(lim0 xgxfxx由函數極限的局部保號性立知由函數極限的局部保號性立知 0 , 0 101時時當當 xx)1( 0)()( xgxf0)()( 00 xgxf又又也成立也成立式對式對 )1( 0 xx 10時時即即當當 xx(2) )()(xgxf , ),( 10時時則當則當 xUx 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁

18、返回返回 結束結束 22連續(xù)連續(xù)在在又又 )( 0 xxxf , 0, 0 202時時當當 xx (3) )()(),(max)(xfxgxfx (4) )()(0 xfxf今取今取 21,min 4( 3 0）兩式同時成立）兩式同時成立）（時，時，則當則當 xx故故 )()()()(00 xfxfxx此即此即)()(lim00 xxxx 則則 )(0點連續(xù)點連續(xù)在在 xx 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 23 )1( )()( )2(00可證可證類似類似，時時當當xgxf , )()( )3(00時時當當xgxf )()()(000Axgxfx )()( 0可知可知點的連續(xù)性點的連續(xù)性在在、由由xxgxf，時時當當 , 0101 xx Axf)(0 ，時時當當 , 0202 xx Axg)( ,min 21 取取, 0時時則當則當 xx上兩式同時成立上兩式同時成立 ),( )()()(0內總有內總有在在，還是取還是取取取此時不論此時不論 xUxgxfx Axxx)