第一章_隨機事件及其概率習題

1、第一章 隨機事件及其概率 習題一一、填空題1設樣本空間，事件，則 , . 2. 連續(xù)射擊一目標，表示第次射中，直到射中為止的試驗樣本空間，則=.3一部四卷的文集，按任意次序放在書架上，各卷自左向右，或自右向左順序恰好為1、2、3、4概率為 .4一批(個)產品中有個次品、從這批產品中任取個，其中恰有個個次品的概率是 .5某地鐵車站, 每5分鐘有一趟列車到站，乘客到達車站的時刻是任意的，則乘客侯車時間不超過3分鐘的概率為 0.6 .6在區(qū)間（0, 1）中隨機地取兩個數，則事件“兩數之和小于 ”的概率為 0.68 .7已知P(A)=0.4, P(B)=0.3, (1) 當A,B互不相容時, P(AB

2、)= 0.7; P(AB)= 0 . (2) 當BÌA時, P(A+B)= 0.4 ; P(AB)= 0.3 ；8. 若,;=.9. 事件兩兩獨立, 滿足,且P(A+B+C )=，=0.25？ .10已知隨機事件的概率，隨機事件的概率，及條件概率，則和事件的概率 0.7 .12假設一批產品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，從中隨機取一件結果不是三等品，則取到一等品的概率為 .13. 已知 .14. 一批產品共10個正品,2個次品,任取兩次,每次取一件(取后不放回),則第2次抽取為次品的概率 .15. 甲、乙、丙三人入學考試合格的概率分別是，三人中恰好有兩人合格的概率為 2/

3、5 .16. 一次試驗中事件發(fā)生的概率為p, 現(xiàn)進行次獨立試驗, 則至少發(fā)生一次的概率為；至多發(fā)生一次的概率為 .17. 甲、乙兩人獨立地對同一目標射擊一次，其命中率分別為0.6和0.5，現(xiàn)已知目標被擊中，則它是甲中的概率為 0.75 .二、選擇題1以表示事件“甲種產品暢銷，乙種產品滯銷”則其對立事件為（D）.（A）“甲種產品暢銷，乙種產品滯銷”; （B）“甲、乙兩種產品均暢銷”;（C）“甲種產品滯銷”; （D）“甲種產品滯銷或乙種產品暢銷”.2. 對于任意二事件（D）.3. 如果事件A，B有BÌA，則下述結論正確的是（C）.（A） A與B同時發(fā)生; （B）A發(fā)生，B必發(fā)生； （C）

4、 A不發(fā)生B必不發(fā)生； （D）B不發(fā)生A必不發(fā)生.4. A表示“五個產品全是合格品”，B表示“五個產品恰有一個廢品”，C表示“五個產品不全是合格品”，則下述結論正確的是（B）. 5. 若二事件和同時出現(xiàn)的概率P()=0則（C）.（A）和不相容； （B）是不可能事件；（C）未必是不可能事件； （D）P()=0或P()=0.6. 對于任意二事件和有 (C ). (A) ; （B）; （C）; （D）.8. 設A , B是任意兩個概率不為0的不相容的事件,則下列事件肯定正確的（D）.(A) 不相容; (B)相容; (C) P(AB)=P(A)P(B); (D) P(AB)=P(A).9. 當事件A、

5、B同時發(fā)生時，事件C必發(fā)生則（B）.10. 設為兩隨機事件，且 ，則下列式子正確的是 (A ). （A）; (B) ; (C) ; (D) .11. 設( B). 12. 設是任意兩事件, 且, 則下列選項必然成立的是（B）. 13設是任意二事件,且,則必有（ C ）.(A) ; (B) ;(C) ; (D) 14. 袋中有5個球，其中2個白球和3個黑球，又有5個人依次從袋中任取一球，取后不放回，則第二人取到白球的概率為（D）.15. 設（D）. (A) 事件互不相容； (B) 事件互相對立； (C) 事件互不獨立； (D) 事件相互獨立. 16. 某人向同一目標重復射擊，每次射擊命中目標的概

6、率為，則此人第4次射擊恰好第2次命中目標的概率為（C）. 三、解答題1.寫出下列隨機實驗樣本空間：(1) 同時擲出三顆骰子，記錄三只骰子總數之和；(2) 10只產品中有3次產品，每次從中取一只（取出后不放回），直到將3只次品都取出，記錄抽取的次數；(3) 對某工廠出廠的產品進行檢查，合格的蓋上“正品”，不合格的蓋上“次品”，如連續(xù)查出二個次品就停止檢查，或檢查4個產品就停止檢查，記錄檢查的結果。(4) 將一尺之棰折成三段，觀察各段的長度.解 1（1）；（2）；（3）查出合格品記為“1”，查出次品記為“0”，00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，11

7、01，1110，1111;（4）其中分別表示三段之長.2. 設為三事件，用運算關系表示下列事件：（1）發(fā)生,和不發(fā)生； （2）與都發(fā)生, 而不發(fā)生；（3）均發(fā)生； （4）至少一個不發(fā)生；（5）都不發(fā)生； （6）最多一個發(fā)生；（7）中不多于二個發(fā)生； （8）中至少二個發(fā)生.解 （1）或A (AB+AC)或A (B+C)；（2）或ABABC或ABC；（3）；（4）；（5）或； （6）；（7）；（8）.3下面各式說明什么包含關系？(1) ； (2) ； (3) 解 （1）； （2）； （3）4. 設具體寫出下列各事件：(1) ， (2) ， (3) ， (4) ， (5). 解 （1）5； (2)

8、1,3,4,5,6,7,8,9,10； (3) 2,3,4,5；(4) 1,5,6,7,8,9,10； (5) 1,2,5,6,7,8,9,10.5. 從數字1,2,3，10中任意取3個數字，（1）求最小的數字為5的概率;記“最小的數字為5”為事件A 10個數字中任選3個為一組：選法有種，且每種選法等可能.又事件A相當于：有一個數字為5，其余2個數字大于5。這種組合的種數有.（2）求最大的數字為5的概率。記“最大的數字為5”為事件B，同上10個數字中任選3個，選法有種，且每種選法等可能，又事件B相當于：有一個數字為5，其余2數字小于5，選法有種.6. 從5雙不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有

9、2只配成一雙的概率是多少？記A表“4只全中至少有兩支配成一對”則表“4只人不配對” 從10只中任取4只，取法有種，每種取法等可能。要4只都不配對，可在5雙中任取4雙，再在4雙中的每一雙里任取一只。取法有7. 試證. 。8已知10只晶體管中有2只次品，在其中取二次，每次隨機取一只，作不放回抽樣，求下列事件的概率。（1）兩只都是正品 ；（2）兩只都是次品 ；（3）一只是正品，一只是次品；（4）至少一只是正品。解 （1） 9. 把10本書任意放在書架上，求其中指定的5本書放在一起的概率。 解 10. 某學生宿舍有8名學生，問（1）8人生日都在星期天的概率是多少？（2）8人生日都不在星期天的概率是多少

10、？（3）8人生日不都在星期天的概率是多少？解 .11從0 9中任取4個數構成電話號碼（可重復?。┣螅海?）有2個電話號碼相同，另2個電話號碼不同的概率；（2）取的至少有3個電話號碼相同的概率.解 ； 12. 隨機地將15名新生平均分配到三個班中，這15名新生有3名優(yōu)秀生.求（1）每個班各分一名優(yōu)秀生的概率（2）3名優(yōu)秀生在同一個班的概率.解 基本事件總數有種(1) 每個班各分一名優(yōu)秀生有3! 種, 對每一分法,12名非優(yōu)秀生平均分配到三個班中分法總數為種, 所以共有種分法. 所以 p =. (2)3名優(yōu)秀生分配到同一個班, 分法有3種, 對每一分法,12名非優(yōu)秀生分配到三個班中分法總數為, 共

11、有種, 所以 q =.13. 在單位園內隨機地取一點Q，試求以Q為中點的弦長超過1的概率.解: 在單位園內任取一點Q，并記Q點的坐標為(x，y)，由題意得樣本空間，記事件A為“以Q為中心的弦長超過1”，則事件，即由幾何概率計算公式得 .14. 設A，B是兩事件且P (A)=0.6，P (B)=0.7. 問(1)在什么條件下P (AB)取到最大值，最大值是多少？（2）在什么條件下P (AB)取到最小值，最小值是多少？解：由P (A) = 0.6，P (B) = 0.7即知AB，（否則AB = 依互斥事件加法定理， P(AB)=P (A)+P (B)=0.6+0.7=1.3 >1與P (AB

12、)1矛盾）.從而由加法定理得P (AB)=P (A)+P (B)P (AB)(*)（1）從0P(AB)P(A)知，當AB=A，即AB時P(AB)取到最大值，最大值為 P(AB)=P(A)=0.6，（2）從(*)式知，當AB=時，P(AB)取最小值，最小值為 P(AB)=0.6+0.71=0.3 .15. 設A，B是兩事件,證明: 證 .16. 某門課只有通過口試及筆試兩種考試，方可結業(yè). 某學生通過口試概率為80%，通過筆試的概率為65%，至少通過兩者之一的概率為75%，問該學生這門課結業(yè)的可能性有多大？解 A=“他通過口試”，B=“他通過筆試”,則 P(A)=0.8, P(B)=0.65,

13、P(A+B)=0.75 P(AB)=P(A)+P(B)P(A+B)=0.8+0.650.75=0.70即該學生這門課結業(yè)的可能性為70%.17. 某地有甲、乙、丙三種報紙，該地成年人中有20%讀甲報，16%讀乙報，14%讀丙報，其中8%兼讀甲和乙報，5%兼讀甲和丙報，4%兼讀乙和丙報，又有2%兼讀所有報紙，問成年人至少讀一種報紙的概率.解 .18. 已知，求事件全不發(fā)生的概率.19某廠的產品中有4%的廢品，在100件合格品在有75件一等品，試求在該產品任取一件的是一等品的概率. 解 .20. 在100個次品中有10 個次品 ，每次從任取一個（不放回），求直到第4次才取到正品的概率. 解 =“第

14、次取到正品” =1，2，3，4.21. 某人忘記了電話號碼的最后一個數字，因而隨機的撥號，求他撥號不超過三次而接通所需的電話的概率是多少？記H表撥號不超過三次而能接通, Ai表第i次撥號能接通.注意：第一次撥號不通，第二撥號就不再撥這個號碼.22. 若，且，證明. 證 .23. 證明事件與互不相容，且0<<1,則。證 .。24. 設一倉庫中有10箱同種規(guī)格的產品，其中由甲、乙、丙三廠生產的分別有5箱、3箱、2箱，三廠產品的廢品率依次為0.1、0.2、0.3，從這10箱中任取一箱，再從這箱中任取一件產品，求取得正品的概率. 解 設=取得的產品為正品， 分別為甲、乙、丙三廠的產品= ，

15、=，=，所以 0.83.25. 某一工廠有三個車間生產同一型號螺釘，每個車間的產量分別占該廠螺釘總產量的25 %、35 %、40 %，每個車間成品中的次品分別為各車間產量的5 %、4 %、2 %，如果從全廠總產品中抽取一件產品螺釘為次品，問它是車間生產的概率.解 分別表示三車間生產的螺釘，=“表示次品螺釘” =同理 = ； =.26. 已知男人中有5 %的色盲患者，女人中有0.25 %的色盲患者，今從男女人數中隨機地挑選一人，恰好是色盲患者，問此人是男性的概率是多少？解 =從人群中任取一人是男性， =色盲患者 因為 所以 .27.設是事件獨立的充分必要條件.證 28. 設六個相同的元件,如下圖

16、所示那樣安置在系統(tǒng)中,設每個元件正常工作的概率為,求這個系統(tǒng)正常工作的概率。假定各個能否正常工作是相互獨立的.解: 設 ,，由條件知，.二十六（1）設有4個獨立工作的元件1，2，3，4。它們的可靠性分別為P1，P2，P3，P4，將它們按圖（1）的方式聯(lián)接，求系統(tǒng)的可靠性。記Ai表示第i個元件正常工作，i=1，2，3，4，2413A表示系統(tǒng)正常。 A=A1A2A3+ A1A4兩種情況不互斥 P (A)= P (A1A2A3)+P (A1A4)P (A1A2A3 A4) (加法公式)= P (A1) P (A2)P (A3)+ P (A1) P (A4)P (A1) P (A2)P (A3)P (

17、A4)= P1P2P3+ P1P4P1P2P3P4(A1, A2, A3, A4獨立)29. 某類電燈泡使用時在1000小時以上的概率為0.2，求三個燈泡在使用1000小以后最多只有一個壞的概率. 解 表示一個燈泡使用時數在1000小時以上三燈泡中最多有一個壞=三個全好+只有一個壞= (0.2)3+(0.2)2(10.2)=0.104. 30. 一射手對同一目標獨立進行了四次射擊,若至少命中一次的概率為, 求該射手的命中率.解 .31. 某型號的高射炮，每門炮發(fā)射一發(fā)擊中的概率為0.6，現(xiàn)若干門炮同時發(fā)射一發(fā)，問欲以99%的把握擊中來犯的一架敵機至少需要配置幾門炮？ 解 設需要配置門高射炮=“高炮擊中飛機”， 則 飛機被擊中=門高射炮中至少有一門擊中 =1門高射炮全不命中 至少配備6門炮.32. 設有三門火炮同時對某目標射擊，命中概率分別為0.2、0.3、0.5，目標命中一發(fā)被擊毀的概率為0.2，命中二發(fā)被擊毀的概率為0.6，三發(fā)均命中被擊毀的概率為0.9，求三