矩陣線性方程組

1、第二章第二章 線性方程組的解線性方程組的解 高斯消元法高斯消元法通知通知：1111月月1515日的課換到日的課換到1111月月5 5日日上午上課時間不變，上午上課時間不變，地址：東地址：東2-2012-201教室；教室；下午上課時間不變，下午上課時間不變，地址：東地址：東2-1032-103教室教室 我們以往求解方程組，方程個數(shù)我們以往求解方程組，方程個數(shù)與未知量的個數(shù)總相等，但實際問題與未知量的個數(shù)總相等，但實際問題中，兩者不一定相等。求解方程組的中，兩者不一定相等。求解方程組的方法通常是消元法，即高斯消元法。方法通常是消元法，即高斯消元法。求解過程中，實際上利用了三種行初求解過程中，實際上

2、利用了三種行初等變換，并且總是詳細(xì)地寫出方程組。等變換，并且總是詳細(xì)地寫出方程組。行初等變換保證了方程組總是行初等變換保證了方程組總是同解同解的，的，但每一步都詳細(xì)地寫出方程組則是不但每一步都詳細(xì)地寫出方程組則是不必要的。早在漢朝的必要的。早在漢朝的九章算術(shù)九章算術(shù)實實際上就用了增廣矩陣初等變換法，這際上就用了增廣矩陣初等變換法，這正是本章要論述的。下面我們討論一正是本章要論述的。下面我們討論一般線性方程組般線性方程組. .n個未知量的線性方程組的一般形式為：個未知量的線性方程組的一般形式為： .,22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxax

3、axa其中其中nxxx,21未知量未知量ija第第i個方程第個方程第j個個未知量未知量xj的系數(shù)的系數(shù)常數(shù)項常數(shù)項全為全為0齊次線性方程組齊次線性方程組否則為非齊次否則為非齊次線性方程組線性方程組上述線性方程組表示成矩陣形式為上述線性方程組表示成矩陣形式為bAx 系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣未知量列向量未知量列向量常數(shù)項列向量常數(shù)項列向量問題：問題： (1) 方程組是否有解方程組是否有解?(2) 如果有解如果有解,它有多少解它有多少解? 如何求出如何求出 它的所有解它的所有解? bAA 為增廣矩陣為增廣矩陣 高斯消元法就是對方程組作初等行變換高斯消元法就是對方程組作初等行變換, , 等價于上述矩陣方程左乘

4、初等矩陣，由于等價于上述矩陣方程左乘初等矩陣，由于 初等矩陣的可逆性初等矩陣的可逆性，這是一個，這是一個同解過程。同解過程。 實際上是實際上是對增廣矩陣作初等行變換的過程。對增廣矩陣作初等行變換的過程。bAx PAxPb bAA PAPA Pb例例1解線性方程組解線性方程組 222132232121321xxxxxxxx解解 212120111322A初等行變換初等行變換1310030101001A 因此因此 .331321xxx，例例2解線性方程組解線性方程組 .115361424524132321321321321xxxxxxxxxxxx，解解 11536141245241312A初等行變

5、換初等行變換1000000002100250211A 以以A1的非零行為增廣矩陣的線性方程組為的非零行為增廣矩陣的線性方程組為 22521321xxx可以看出可以看出,每給定每給定x2一個值一個值,唯一的求出唯一的求出x1 , x3的一的一組值組值,而而 x2可取任意實數(shù)可取任意實數(shù),所以方程組有無數(shù)解所以方程組有無數(shù)解.自由未知量自由未知量那么這個解的幾何意義是什么呢那么這個解的幾何意義是什么呢？ 22521321xxx每一個方程都表示三維空間中的一張平面，每一個方程都表示三維空間中的一張平面，取兩張平面的交集，就是一條直線。取兩張平面的交集，就是一條直線。所以，方程組的解表示一條直線上的所

6、有所以，方程組的解表示一條直線上的所有點(diǎn)，因此，解有無數(shù)個。點(diǎn)，因此，解有無數(shù)個。方程組的所有解可表示為方程組的所有解可表示為:2252132221 xxxxx自由未知量自由未知量例例3解線性方程組解線性方程組 48364524132321321321xxxxxxxxx解解 483645241312A1100021001312A 初等行變換初等行變換以以 為增廣矩陣的線性方程組的最后一個方程為為增廣矩陣的線性方程組的最后一個方程為 1A0 = 1這是一個這是一個矛盾矛盾方程方程,因此原方程組因此原方程組無解無解. 綜上所述綜上所述, 線性方程組的解有三種可能的情線性方程組的解有三種可能的情況況

7、:唯一解唯一解, 無解無解, 無窮多解無窮多解. 一般地，給出線性方程組一般地，給出線性方程組 Ax = b，用初等行變，用初等行變換和換和列互換列互換把其增廣矩陣化為階梯形矩陣把其增廣矩陣化為階梯形矩陣.1,1112,122,1110001000100000000000000000rnrnr rrnrrccdccdccdAd r(A) = r其中其中思考題思考題：為何：為何列互換列互換可以，但是其余的可以，但是其余的兩種兩種列變換列變換卻不可以？卻不可以？提示：提示：1，從方程組的等價性考慮，作，從方程組的等價性考慮，作其余兩種列變換是否改變了方程組；其余兩種列變換是否改變了方程組；2，作列

8、互換的時候，方程組形式上發(fā)生，作列互換的時候，方程組形式上發(fā)生了改變，但是本質(zhì)上沒有發(fā)生變化。不過了改變，但是本質(zhì)上沒有發(fā)生變化。不過需要注意什么？需要注意什么？ 1，當(dāng)，當(dāng)dr+1=0且且r = n時，此時，時，此時，不失一般性，不失一般性，未知量編號未知量編號仍按原次序，則方程仍按原次序，則方程組有以下唯一解：組有以下唯一解：1122nnxdxdxd 此時，易寫出與之對應(yīng)的方程組。不過由于進(jìn)行此時，易寫出與之對應(yīng)的方程組。不過由于進(jìn)行了列互換，對應(yīng)方程組中的了列互換，對應(yīng)方程組中的未知量編號次序未知量編號次序會有會有差別，但方程組仍然同解。顯然，方程組有解差別，但方程組仍然同解。顯然，方程

9、組有解當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)且僅當(dāng) r(A) = r( ) 。下分幾種情況討論。下分幾種情況討論.r(A) = r( ) = n。AA2，若，若dr+1= 0, 且且r n 時時, 此時此時對應(yīng)的方程組為對應(yīng)的方程組為11,111122,1122,11rrnnrrnnrr rrrnnrxcxc xdxcxc xdxcxc xd r Ar An 移項可得移項可得111,111222,112,11rrnnrrnnrrr rrrnnxdcxc xxdcxc xxdcxc x 其中其中nrrxxx,21 是自由未知量是自由未知量,共有共有(n-r)個個,當(dāng)這當(dāng)這(n-r)個自由未知量取不同的值時個自由未知量取不同

10、的值時,就得到方就得到方程組程組Ax = b 不同的解不同的解.若令若令1122,.rrnn rxtxtxt其中其中12,n rttt為任意實數(shù)為任意實數(shù), 則方程組則方程組Ax = b 有無窮多解有無窮多解,這些解的全體，即這些解的全體，即通解通解可表為可表為.111,1 11222,1 12,1 111.rn n rrn n rrrr rrn n rrnn rxdctc txdctc txdctc txtxt 此時，此時， 綜上綜上,可得如下可得如下定理定理 (線性方程組有解的判定定理線性方程組有解的判定定理)線性方程組線性方程組Ax = b有解的充要條件是有解的充要條件是 ,r Ar A

11、當(dāng)當(dāng) r Ar An 時時,方程組方程組有有無窮多無窮多解解;當(dāng)當(dāng) r Ar An時時,方程組有方程組有唯唯一解一解;當(dāng)當(dāng) r Ar A時，無解時，無解.3，若，若dr+10, 方程組中出現(xiàn)矛盾，故無解。方程組中出現(xiàn)矛盾，故無解。 1,r Arr Ar推論推論1 齊次線性方程組齊次線性方程組 Ax = 0 一定一定有有零零解解;如果如果r(A) = n ,則則只有零只有零解解;它有它有非零非零解的充分必解的充分必要條件是要條件是r(A) n . 推論推論2 若齊次線性方程組若齊次線性方程組Ax = 0中方程的個中方程的個數(shù)小于未知量的個數(shù)數(shù)小于未知量的個數(shù),即即mn , 則它則它必有非零解必有

12、非零解;若若m = n ,則它有非零解的充要條件是則它有非零解的充要條件是 |A| = 0 .例例4解齊次線性方程組解齊次線性方程組 0340222032432143214321xxxxxxxxxxxx解解對系數(shù)矩陣施行初等行變換化為最簡形對系數(shù)矩陣施行初等行變換化為最簡形:r2-2r1r3-r1 341122121221A r3-r2r2 (-3) r1-2r2 0000342101221 463046301221 00003421035201由最簡形矩陣得原方程組的同解方程組為由最簡形矩陣得原方程組的同解方程組為 03420352432431xxxxxx由此可得由此可得 443343243

13、1342352xxxxxxxxxxx3 , x4 為自由為自由未知量未知量,可取任可取任意實數(shù)意實數(shù).令令x3=c1 , x4=c2 , 寫成向量形式為：寫成向量形式為：11221212312425/325/324/324/31001xccxccccxccx例例5解齊次線性方程組解齊次線性方程組 32222353132432143214321xxxxxxxxxxx解解對增廣矩陣對增廣矩陣A施行初等行變換施行初等行變換 322122351311321Ar2-3r1r3-2r1 104501045011321 200001045011321r3-r2 r(A) = 2 , r(B) = 3 ,故方

14、程組無解故方程組無解.例例6設(shè)有線性方程組設(shè)有線性方程組 321321321)1(3)1(0)1(xxxxxxxxx問問取何值時取何值時,此方程組此方程組(1)有唯一解有唯一解;(2)無解無解;(3)有無窮多解有無窮多解?并在有無窮多解時求其通解并在有無窮多解時求其通解.解解 11131110111A 0111311111131 rr )1()2(030111 12rr 13)1(rr )3)(1()3(003011123 rr(1)當(dāng)當(dāng)0且且3時時,r(A)=r(B)=3,有唯一解有唯一解.(2)當(dāng)當(dāng)= 0時時,r(A)=1, r(B)=2,方程組無解方程組無解.(3)當(dāng)當(dāng)= -3時時,r(

15、A)=r(B)=23,有無窮多解有無窮多解.當(dāng)當(dāng)= -3時時 000063303211初等行變換初等行變換A 21rr 000021101101由此可得通解由此可得通解 33323121xxxxxx(x3為自由未知量為自由未知量) 000021103211)31(2r注注本例中矩陣本例中矩陣A是一個含參數(shù)的矩陣是一個含參數(shù)的矩陣,由于由于+ 1 , + 3 等因子等因子可以等于可以等于0 , 故不宜做諸如故不宜做諸如 ）（）、）、（、31113212 rrrr這樣的這樣的變換變換. 如果作了這種變換如果作了這種變換,則需對則需對+ 1= 0(或或+ 3 = 0)的情形另作討論的情形另作討論.令令 x3= c(c為任意實數(shù)為任意實數(shù)),得通解的向量形式為得通解的