5 時(shí) 離散型隨機(jī)變量的均值

1、§5離散型隨機(jī)變量的均值與方差第1課時(shí)離散型隨機(jī)變量的均值1理解離散型隨機(jī)變量的均值的意義，會(huì)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出均值(重點(diǎn))2會(huì)利用離散型隨機(jī)變量的均值反映離散型隨機(jī)變量的取值水平，解決一些相關(guān)的實(shí)際問題(難點(diǎn))基礎(chǔ)·初探教材整理離散型隨機(jī)變量的均值閱讀教材P57P59“練習(xí)”以上部分，完成下列問題1離散型隨機(jī)變量的均值(1)設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(Xai)pi(i1,2，r)，則X的均值為_(2)隨機(jī)變量的均值EX刻畫的是X取值的“_”【答案】(1)a1p1a2p2arpr(2)中心位置2均值的性質(zhì)(1)若X為常數(shù)C，則EX_.(2)若YaXb，其中a，b為

2、常數(shù)，則Y也是隨機(jī)變量，且EYE(aXb)_.(3)常見的離散型隨機(jī)變量的均值分布名稱參數(shù)均值超幾何分布N，M，n_二項(xiàng)分布n，p_【答案】(1)C(2)aEXb(3)nnp1下列說法正確的有_(填序號)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望EX是個(gè)變量，其隨X的變化而變化；隨機(jī)變量的均值反映樣本的平均水平；若隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望EX2，則E(2X)4；隨機(jī)變量X的均值EX.【解析】錯(cuò)誤，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望EX是個(gè)常量，是隨機(jī)變量X本身固有的一個(gè)數(shù)字特征錯(cuò)誤，隨機(jī)變量的均值反映隨機(jī)變量取值的平均水平正確，由均值的性質(zhì)可知錯(cuò)誤，因?yàn)镋Xx1p1x2p2xnpn.【答案】2已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為：X123P

3、則X的數(shù)學(xué)期望EX_.【解析】EX1×2×3×.【答案】質(zhì)疑·手記預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：小組合作型離散型隨機(jī)變量的均值公式及性質(zhì)已知隨機(jī)變量X的分布列如下：X21012Pm(1)求m的值；(2)求EX；(3)若Y2X3，求EY.【精彩點(diǎn)撥】(1)利用分布列的性質(zhì)求m；(2)利用離散型隨機(jī)變量的均值公式求解；(3)利用離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì)求解【自主解答】(1)由隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)，得m1，解得m.(2)EX(2)×(1)×0×1×2&#

4、215;.(3)法一：由公式E(aXb)aEXb，得EYE(2X3)2EX32×3.法二：由于Y2X3，所以Y的分布列如下：Y75311P所以EY(7)×(5)×(3)×(1)×1×.1該類題目屬于已知離散型分布列求均值，求解方法是直接套用公式，EXx1p1x2p2xnpn求解2對于aXb型的隨機(jī)變量，可利用均值的性質(zhì)求解，即E(aXb)aEXb；也可以先列出aXb的分布列，再用均值公式求解，比較兩種方式顯然前者較方便再練一題1已知隨機(jī)變量X的分布列為：X123P且YaX3，若EY2，求a的值【解】EX1×2×3&

5、#215;，EYE(aX3)aEX3a32，a3.求離散型隨機(jī)變量的均值在甲、乙等6個(gè)單位參加的一次“唱讀講傳”演出活動(dòng)中，每個(gè)單位的節(jié)目集中安排在一起，若采用抽簽的方式隨機(jī)確定各單位的演出順序(序號為1,2，6)，求：(1)甲、乙兩單位的演出序號至少有一個(gè)為奇數(shù)的概率；(2)甲、乙兩單位之間的演出單位個(gè)數(shù)的分布列與均值【精彩點(diǎn)撥】(1)可先求“甲乙兩單位的演出序號至少有一個(gè)為奇數(shù)”的對立事件的概率；(2)先求出的取值及每個(gè)取值的概率，然后求其分布列和均值【自主解答】只考慮甲、乙兩單位的相對位置，故可用組合計(jì)算基本事件數(shù)(1)設(shè)A表示“甲、乙的演出序號至少有一個(gè)為奇數(shù)”，則表示“甲、乙的演出序

6、號均為偶數(shù)”，由等可能性事件的概率計(jì)算公式得P(A)1P()11.(2)的所有可能取值為0,1,2,3,4，且P(0)，P(1)，P(2)，P(3)，P(4).從而知的分布列為01234P所以E0×1×2×3×4×.求離散型隨機(jī)變量的均值的步驟1根據(jù)的實(shí)際意義，寫出的全部取值2求出的每個(gè)值的概率3寫出的分布列4利用定義求出均值其中第(1)、(2)兩條是解答此類題目的關(guān)鍵，在求解過程中應(yīng)注重分析概率的相關(guān)知識(shí)再練一題2盒中裝有5節(jié)同牌號的五號電池，其中混有兩節(jié)廢電池現(xiàn)在無放回地每次取一節(jié)電池檢驗(yàn)，直到取到好電池為止，求抽取次數(shù)X的分布列及均值【解

7、】X可取的值為1,2,3，則P(X1)，P(X2)×，P(X3)××1.抽取次數(shù)X的分布列為X123PEX1×2×3×.探究共研型離散型隨機(jī)變量的均值實(shí)際應(yīng)用探究1某籃球明星罰球命中率為0.7，罰球命中得1分，不中得0分，則他罰球一次的得分X可以取哪些值？X取每個(gè)值時(shí)的概率是多少？【提示】隨機(jī)變量X可能取值為0,1.X取每個(gè)值的概率分別為P(X0)0.3，P(X1)0.7.探究2在探究1中，若該球星在一場比賽中共罰球10次，命中8次，那么他平均每次罰球得分是多少？【提示】每次平均得分為0.8.探究3在探究1中，你能求出在他參加的各場比

8、賽中，罰球一次得分大約是多少嗎？為什么？【提示】在球星的各場比賽中，罰球一次的得分大約為0×0.31×0.70.7(分)因?yàn)樵谠撉蛐菂⒓痈鲌霰荣愔衅骄P球一次的得分只能用隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望來描述他總體得分的平均水平具體到每一場比賽罰球一次的平均得分應(yīng)該是非常接近X的均值的一個(gè)分?jǐn)?shù)隨機(jī)抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，而1件次品虧損2萬元，設(shè)1件產(chǎn)品的利潤(單位：元)為X.(1)求X的分布列；(2)求1件產(chǎn)品的平均利潤(即X的數(shù)學(xué)期望)；(3)經(jīng)技術(shù)革

9、新后，仍有四個(gè)等級的產(chǎn)品，但次品率降為1%，一等品率提高為70%，如果此時(shí)要求1件產(chǎn)品的平均利潤不小于4.73萬元，則三等品率最多是多少？【精彩點(diǎn)撥】【自主解答】(1)X的所有可能取值有6,2,1，2.P(X6)0.63，P(X2)0.25，P(X1)0.1，P(X2)0.02.故X的分布列為：X6212P0.630.250.10.02(2)EX6×0.632×0.251×0.1(2)×0.024.34.(3)設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為x，則此時(shí)1件產(chǎn)品的平均利潤為EX6×0.72×(10.70.01x)1×x(2)×

10、;0.014.76x(0x0.29)依題意，EX4.73，即4.76x4.73，解得x0.03，所以三等品率最多為3%.1實(shí)際問題中的均值問題均值在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，如對體育比賽的成績預(yù)測，消費(fèi)預(yù)測，工程方案的預(yù)測，產(chǎn)品合格率的預(yù)測，投資收益的預(yù)測等方面，都可以通過隨機(jī)變量的均值來進(jìn)行估計(jì)2概率模型的三個(gè)解答步驟(1)審題，確定實(shí)際問題是哪一種概率模型，可能用到的事件類型，所用的公式有哪些(2)確定隨機(jī)變量的分布列，計(jì)算隨機(jī)變量的均值(3)對照實(shí)際意義，回答概率，均值等所表示的結(jié)論再練一題3甲、乙兩射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊比賽，射擊相同的次數(shù)，已知兩運(yùn)動(dòng)員擊中的環(huán)數(shù)X穩(wěn)定在7,8,9,10環(huán)

11、將它們的比賽成績畫成頻率分布直方圖如圖2­5­1甲和圖乙所示圖2­5­1(1)根據(jù)這次比賽的成績頻率分布直方圖推斷乙擊中8環(huán)的概率P(X乙8)，以及甲擊中9環(huán)以上(包括9環(huán))的概率；(2)根據(jù)這次比賽的成績估計(jì)甲、乙誰的水平更高(即平均每次射擊的環(huán)數(shù)誰大)【解】(1)由圖乙可知P(X乙7)0.2，P(X乙9)0.2，P(X乙10)0.35.所以P(X乙8)10.20.20.350.25.同理P(X甲7)0.2，P(X甲8)0.15，P(X甲9)0.3，所以P(X甲10)10.20.150.30.35.P(X甲9)0.30.350.65.(2)因?yàn)镋X甲7

12、×0.28×0.159×0.310×0.358.8，EX乙7×0.28×0.259×0.210×0.358.7，則有EX甲>EX乙，所以估計(jì)甲的水平更高構(gòu)建·體系1設(shè)X為隨機(jī)變量，XB，若隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望EX2，則P(X2)等于()A.B.C.D.【解析】因?yàn)閄B，所以EX2，所以n6，所以P(X2)C24.【答案】D2口袋中有編號分別為1,2,3的三個(gè)大小和形狀相同的小球，從中任取2個(gè)，則取出的球的最大編號X的均值為() 【導(dǎo)學(xué)號：62690041】A. B. C2 D.【解析】X的取值為2,3.因?yàn)镻(X2)，P(X3).所以EX2×3×.【答案】D3某射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列如下：78910Px0.10.3y已知的均值E8.9，則y的值為_【解析】依題意得即解得y0.4.【答案】0.44設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能的取值為1,2,3，P(Xk)akb(k1,2,3)又X的均值EX3，則ab_.【解析】P(X1)ab，P(X2)2ab，P(X3)3ab，EX1×(ab)2×(2ab)3×(3ab)3，14a6b3.又(ab)(2ab)(3ab)1，6a3b1.由可知a，b，ab.【答案】5袋中有4個(gè)黑球，3個(gè)白球，2個(gè)紅球，從中任取