1第一講 求極限的各種方法

1、泰山學(xué)院信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院教案 數(shù)值分析 教研室 課程名稱高等數(shù)學(xué)研究授課對(duì)象2007級(jí)本科授課題目 第一講求極限的各種方法課時(shí)數(shù)4教學(xué)目的通過教學(xué)使學(xué)生掌握求極限的各種方法，重點(diǎn)掌握用等價(jià)無窮小量代換求極限；用羅必塔法則求極限；用對(duì)數(shù)恒等式求極限 ；利用Taylor公式求極限；數(shù)列極限轉(zhuǎn)化成函數(shù)極限求解重點(diǎn)難點(diǎn)1用等價(jià)無窮小量代換求極限2用羅必塔法則求極限3用對(duì)數(shù)恒等式求極限 4利用Taylor公式求極限 5數(shù)列極限轉(zhuǎn)化成函數(shù)極限求解教學(xué)提綱第一講求極限的各種方法1約去零因子求極限2分子分母同除求極限3分子(母)有理化求極限4應(yīng)用兩個(gè)重要極限求極限5用等價(jià)無窮小量代換求極限6用羅必塔法則求極限

2、7用對(duì)數(shù)恒等式求極限 8數(shù)列極限轉(zhuǎn)化成函數(shù)極限求解9n項(xiàng)和數(shù)列極限問題10單調(diào)有界數(shù)列的極限問題教學(xué)過程與內(nèi)容教學(xué)后記第一講求極限的各種方法求極限是歷年考試的重點(diǎn)，過去數(shù)學(xué)一經(jīng)?？继羁疹}或選擇題，但近年兩次作為大題出現(xiàn)，說明極限作為微積分的基礎(chǔ)，地位有所加強(qiáng)。數(shù)學(xué)二、三一般以大題的形式出現(xiàn)。用等價(jià)無窮小量代換求極限，用對(duì)數(shù)恒等式求極限是重點(diǎn)，及時(shí)分離極限式中的非零因子是解題的重要技巧。1約去零因子求極限例1：求極限【說明】表明無限接近，但，所以這一零因子可以約去?！窘狻?分子分母同除求極限例2：求極限【說明】型且分子分母都以多項(xiàng)式給出的極限,可通過分子分母同除來求?！窘狻俊驹u(píng)注】(1) 一般分

3、子分母同除的最高次方；(2) 3分子(母)有理化求極限例3：求極限【說明】分子或分母有理化求極限，是通過有理化化去無理式。【解】例4：求極限【解】【注】本題除了使用分子有理化方法外，及時(shí)分離極限式中的非零因子是解題的關(guān)鍵4應(yīng)用兩個(gè)重要極限求極限兩個(gè)重要極限是和，第一個(gè)重要極限過于簡(jiǎn)單且可通過等價(jià)無窮小來實(shí)現(xiàn)。主要考第二個(gè)重要極限。例5：求極限【說明】第二個(gè)重要極限主要搞清楚湊的步驟：先湊出，再湊，最后湊指數(shù)部分。【解】例6：(1)；(2)已知，求。5用等價(jià)無窮小量代換求極限【說明】(1)常見等價(jià)無窮小有：當(dāng) 時(shí),；(2) 等價(jià)無窮小量代換,只能代換極限式中的因式；是不正確的(3)此方法在各種求

4、極限的方法中應(yīng)作為首選。例7：求極限【解】 .例8：求極限【解】例9：求極限.【解】 6用羅必塔法則求極限例10：求極限【說明】或型的極限,可通過羅必塔法則來求。【解】例11：求【說明】許多變動(dòng)上顯的積分表示的極限，常用羅必塔法則求解【解】 7用對(duì)數(shù)恒等式求極限 例12：極限 【說明】（）該類問題一般用對(duì)數(shù)恒等式降低問題的難度 （）注意時(shí)，【解】 =例13：求極限.【解】 原式 【又如】8數(shù)列極限轉(zhuǎn)化成函數(shù)極限求解例14：極限【說明】這是形式的的數(shù)列極限，由于數(shù)列極限不能使用羅必塔法則，若直接求有一定難度，若轉(zhuǎn)化成函數(shù)極限，可通過7提供的方法結(jié)合羅必塔法則求解。【解】考慮輔助極限所以，9n項(xiàng)和

5、數(shù)列極限問題n項(xiàng)和數(shù)列極限問題極限問題有兩種處理方法(1)用定積分的定義把極限轉(zhuǎn)化為定積分來計(jì)算；(2)利用兩邊夾法則求極限。例15：極限【說明】用定積分的定義把極限轉(zhuǎn)化為定積分計(jì)算,是把看成0,1定積分?！窘狻吭嚼?6：極限【說明】(1)該題與上一題類似，但是不能湊成的形式，因而用兩邊夾法則求解； (2) 兩邊夾法則需要放大不等式，常用的方法是都換成最大的或最小的。【解】因?yàn)橛炙岳?7：求【說明】該題需要把兩邊夾法則與定積分的定義相結(jié)合方可解決問題?！窘狻?0單調(diào)有界數(shù)列的極限問題例18：已知，證明存在，并求該極限【分析】 一般利用單調(diào)增加有上界或單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限的準(zhǔn)則來證明數(shù)列極限的存在. 【解】該數(shù)列單調(diào)增加有上界，所以存在，設(shè)對(duì)于令，得即 例19：設(shè)數(shù)列滿足（）證明存在，并求該極限；（）計(jì)算.【解】 （）因?yàn)?，則.可推得，則數(shù)列有界.