151 二項(xiàng)式定理

1、1.5二項(xiàng)式定理1.5.1二項(xiàng)式定理1掌握二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)展開式的性質(zhì)，并能用它們解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡單問題(重點(diǎn))2利用二項(xiàng)展開式求特定項(xiàng)或項(xiàng)的系數(shù)(難點(diǎn))3二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系(易混點(diǎn))基礎(chǔ)·初探教材整理二項(xiàng)式定理閱讀教材P30P31“例1”以上部分，完成下列問題1二項(xiàng)式定理(ab)nCanCan1bCanrbrCbn(nN*)這個公式叫做二項(xiàng)式定理2二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)和二項(xiàng)式系數(shù)(1)(ab)n展開式共有n1項(xiàng)，其中Canrbr叫做二項(xiàng)展開式的第r1項(xiàng)(也稱通項(xiàng))，用Tr1表示，即Tr1Canrbr.(2)C(r0,1,2，n)叫做第r1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)1判斷(正確

2、的打“”，錯誤的打“×”)(1)(ab)n展開式中共有n項(xiàng)()(2)在公式中，交換a，b的順序?qū)Ω黜?xiàng)沒有影響()(3)Cankbk是(ab)n展開式中的第k項(xiàng)()(4)(ab)n與(ab)n的二項(xiàng)式展開式的二項(xiàng)式系數(shù)相同()【解析】(1)×因?yàn)?ab)n展開式中共有n1項(xiàng)(2)×因?yàn)槎?xiàng)式的第k1項(xiàng)Cankbk和(ba)n的展開式的第k1項(xiàng)Cbnkak是不同的，其中的a，b是不能隨便交換的(3)×因?yàn)镃ankbk是(ab)n展開式中的第k1項(xiàng)(4)因?yàn)?ab)n與(ab)n的二項(xiàng)式展開式的二項(xiàng)式系數(shù)都是C.【答案】(1)×(2)×(3

3、)×(4)2(12x)5的展開式的第3項(xiàng)的系數(shù)為_，第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為_. 【導(dǎo)學(xué)號：29440022】【解析】(12x)5的展開式的第3項(xiàng)的系數(shù)為C2240，第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C10.【答案】4010質(zhì)疑·手記預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1： 解惑： 疑問2： 解惑： 疑問3： 解惑： 小組合作型二項(xiàng)式定理的正用、逆用(1)用二項(xiàng)式定理展開5；(2)化簡：C(x1)nC(x1)n1C(x1)n2(1)kC(x1)nk(1)nC.【精彩點(diǎn)撥】(1)二項(xiàng)式的指數(shù)為5，且為兩項(xiàng)的和，可直接按二項(xiàng)式定理展開；(2)可先把x1看成一個整體，分析結(jié)

4、構(gòu)形式，逆用二項(xiàng)式定理求解【自主解答】(1)5C(2x)5C(2x)4·C532x5120x2.(2)原式C(x1)nC(x1)n1(1)C(x1)n2(1)2C(x1)nk(1)kC(1)n(x1)(1)nxn.1展開二項(xiàng)式可以按照二項(xiàng)式定理進(jìn)行展開時注意二項(xiàng)式定理的結(jié)構(gòu)特征，準(zhǔn)確理解二項(xiàng)式的特點(diǎn)是展開二項(xiàng)式的前提條件2對較復(fù)雜的二項(xiàng)式，有時先化簡再展開會更簡便3對于化簡多個式子的和時，可以考慮二項(xiàng)式定理的逆用對于這類問題的求解，要熟悉公式的特點(diǎn)，項(xiàng)數(shù)，各項(xiàng)冪指數(shù)的規(guī)律以及各項(xiàng)的系數(shù)再練一題1(1)求4的展開式；(2)化簡：12C4C2nC.【解】(1)法一：4C(3)4C(3)3

5、·C(3)2·2C(3)3C481x2108x54.法二：4(81x4108x354x212x1)81x2108x54.(2)原式12C22C2nC(12)n3n.二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)問題(1)求二項(xiàng)式6的展開式中第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和第6項(xiàng)的系數(shù)；(2)求9的展開式中x3的系數(shù)【精彩點(diǎn)撥】利用二項(xiàng)式定理求展開式中的某一項(xiàng)，可以通過二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解【自主解答】(1)由已知得二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為Tr1C(2)6r·r(1)rC·26r·x3r，T612·x.第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C6，第6項(xiàng)的系數(shù)為C·(1)·

6、212.(2)Tr1Cx9r·r(1)r·C·x92r，92r3，r3，即展開式中第四項(xiàng)含x3，其系數(shù)為(1)3·C84.1二項(xiàng)式系數(shù)都是組合數(shù)C(k0,1,2，n)，它與二項(xiàng)展開式中某一項(xiàng)的系數(shù)不一定相等，要注意區(qū)分“二項(xiàng)式系數(shù)”與二項(xiàng)式展開式中“項(xiàng)的系數(shù)”這兩個概念2第k1項(xiàng)的系數(shù)是此項(xiàng)字母前的數(shù)連同符號，而此項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C.例如，在(12x)7的展開式中，第四項(xiàng)是T4C173(2x)3，其二項(xiàng)式系數(shù)是C35，而第四項(xiàng)的系數(shù)是C23280.再練一題2(12x)n的展開式中第六項(xiàng)與第七項(xiàng)的系數(shù)相等，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng)【解】T

7、6C(2x)5，T7C(2x)6，依題意有C25C26n8.(12x)n的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T5C(2x)41 120x4.設(shè)第k1項(xiàng)系數(shù)最大，則有5k6.k5或k6(k0,1,2，8)系數(shù)最大的項(xiàng)為T61 792x5，T71 792x6.探究共研型求展開式中的特定項(xiàng)探究1如何求4展開式中的常數(shù)項(xiàng)【提示】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)Cx4r·Cx42r求解，令42r0，則r2，所以4展開式中的常數(shù)項(xiàng)為C6.探究2(ab)(cd)展開式中的每一項(xiàng)是如何得到的？【提示】(ab)(cd)展開式中的各項(xiàng)都是由ab中的每一項(xiàng)分別乘以cd中的每一項(xiàng)而得到探究3如何求(2x1)3展開式中含x的

8、項(xiàng)？【提示】(2x1)3展開式中含x的項(xiàng)是由x中的x與分別與(2x1)3展開式中常數(shù)項(xiàng)C1及x2項(xiàng)C22x212x2分別相乘再把積相加得x·C·C(2x)2x12x13x.即(2x1)3展開式中含x的項(xiàng)為13x.已知在n的展開式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)(1)求n；(2)求含x2項(xiàng)的系數(shù)；(3)求展開式中所有的有理項(xiàng)【精彩點(diǎn)撥】【自主解答】通項(xiàng)公式為：Tr1Cx(3)rxC(3)rx.(1)第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，r5時，有0，即n10.(2)令2，得r(106)2，所求的系數(shù)為C(3)2405.(3)由題意得，令k(kZ)，則102r3k，即r5k.rZ，k應(yīng)為偶數(shù)，k2,0，2即r2,

9、5,8，所以第3項(xiàng)，第6項(xiàng)與第9項(xiàng)為有理項(xiàng)，它們分別為405x2，61 236,295 245x2.1求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)的常見題型(1)求第k項(xiàng)，TkCank1bk1；(2)求含xk的項(xiàng)(或xpyq的項(xiàng))；(3)求常數(shù)項(xiàng)；(4)求有理項(xiàng)2求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)的常用方法(1)對于常數(shù)項(xiàng)，隱含條件是字母的指數(shù)為0(即0次項(xiàng))；(2)對于有理項(xiàng)，一般是先寫出通項(xiàng)公式，其所有的字母的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項(xiàng)解這類問題必須合并通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其屬于整數(shù)，再根據(jù)數(shù)的整除性來求解；(3)對于二項(xiàng)展開式中的整式項(xiàng)，其通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)應(yīng)是非負(fù)整數(shù)，求解方式與求有理項(xiàng)一致再練一題3

10、(1)在(1x3)(1x)10的展開式中，x5的系數(shù)是_(2)若6展開式的常數(shù)項(xiàng)為60，則常數(shù)a的值為_. 【導(dǎo)學(xué)號：29440023】【解析】(1)x5應(yīng)是(1x)10中含x5項(xiàng)、含x2項(xiàng)分別與1，x3相乘的結(jié)果，其系數(shù)為CC(1)207.(2)6的展開式的通項(xiàng)是Tk1Cx6k·()kx2kCx63k()k，令63k0，得k2，即當(dāng)k2時，Tk1為常數(shù)項(xiàng)，即常數(shù)項(xiàng)是Ca，根據(jù)已知得Ca60，解得a4.【答案】(1)207(2)4構(gòu)建·體系1(xy)(xy)8的展開式中x2y7的系數(shù)為_【解析】x2y7x·(xy7)，其系數(shù)為C，x2y7y·(x2y6)

11、，其系數(shù)為C，x2y7的系數(shù)為CC82820.【答案】202(x1)55(x1)410(x1)310(x1)25(x1)1_.【解析】由二項(xiàng)式展開式得，原式(x1)15x5.【答案】x53在6的展開式中，中間項(xiàng)是_【解析】由n6知中間一項(xiàng)是第4項(xiàng)，因T4C(2x2)3·3C·(1)3·23·x3，所以T4160x3.【答案】160x34在9的展開式中，第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是_，第4項(xiàng)的系數(shù)是_. 【導(dǎo)學(xué)號：29440024】【解析】Tk1C·(x2)9k·kk·C·x183k，當(dāng)k3時，T43·C·x9x9，所以第