正弦定理公式

1、【正弦定理公式】；【余弦定理公式】； 如果將公式、正弦定理、余弦定理看成是幾個“方程”的話，那么解三角形的實質(zhì)就是把題目中所給的已知條件按方程的思想進行處理，解題時根據(jù)已知量與所求量，合理選擇一個比較容易解的方程（公式、正弦定理、余弦定理），從而使同學(xué)們?nèi)胧秩菀?，解題簡潔。  一、直接運用公式、正弦定理、余弦定理 （1）三角公式 在中，已知兩角的三角函數(shù)值，求第三個角；存在。 證明：有解有解即，要判斷是否有解，只需。 （2）正弦定理 在中，已知兩角和任意一邊，解三角形； 在中，已知兩邊和其中一邊對角，解三角形；&#

2、160;（3）余弦定理 在中，已知三邊，解三角形； 在中，已知兩邊和他們的夾角，解三角形。 直接運用正弦定理、余弦定理的上述情況，是我們常見、常講、常練的，因此，在這里就不加贅述，同學(xué)們可以自己從教材中找一些題目看一看！ 二、間接運用公式、正弦定理、余弦定理 （1）齊次式條件（邊或角的正弦） 若題目條件中出現(xiàn)關(guān)于角的齊次式或關(guān)于邊的齊次式，可以根據(jù)角的異同選用公式弦切互化或正弦定理邊角互化；有些題中沒有明顯的齊次式，但經(jīng)過變形得到齊次式的依然適用。 1.相同角齊次式條件的弦切互化 【例】在中，若，求。 【

3、解析】無論是條件中的，還是都是關(guān)于一個角的齊次式。是關(guān)于的一次齊次式；是關(guān)于的二次齊次式。因此，我們將弦化切，再利用三角公式求解。 由； 由  或； 在中，且。代值可得： 當，時，； 當，時，（舍去）。 2.不同角（正弦）齊次式條件的邊角互化 【例】在中，若，且，求的面積。【解析】條件是關(guān)于不同角正弦的二次齊次式。因此，我們利用正弦定理將角化為邊，然后根據(jù)邊的關(guān)系利用余弦定理求解。 由； 顯然這個形式符合余弦定理的公式，因此，可得。 又因為，所以。 3.不同邊齊次式

4、條件的邊角互化 【例】的內(nèi)角的對邊分別為。已知，求。 【解析】條件是關(guān)于不同邊的一次齊次式。因此，我們利用正弦定理將邊化為角，然后由將不同角轉(zhuǎn)化為同角,利用化一公式求解。 由，又，可得： ，運用化一公式得。 4.邊角混合齊次式條件的邊角互化 邊角混合邊為齊次式 【例】的內(nèi)角的對邊分別為，且，求。 【解析】條件是邊角混合關(guān)于不同邊的一次齊次式，由于所求為切的值，所以將邊化為角，然后將弦化為切求解。 由，又 ，則  。 邊角混合角（正弦）為齊次式 【例】的內(nèi)角

5、的對邊分別為，且，求。 【解析】條件是邊角混合角（正弦）為不同角的一次齊次式。因此，我們將角的正弦化為邊，然后根據(jù)等式形式利用余弦定理求解。 由，由于，我們可以得到： ，顯然這個形式符合余弦定理公式，因此，可得。從而得出。 邊角混合邊、角（正弦）都為齊次式 【例】的內(nèi)角的對邊分別為，且，求。 【解析】條件是邊角混合邊、角（正弦）各為一次齊次式。因此，我們可以隨意邊角互化，但是一般將角轉(zhuǎn)化為邊求解。 由， 顯然這個形式符合余弦定理公式，因此，可得。 從而得出。 5.非三角形內(nèi)角正弦但可化為角（正弦

6、）齊次式 【例】的內(nèi)角的對邊分別為，且，求證：的三邊成等比數(shù)列。 【解析】條件顯然不是齊次式，并且角也不全是三角形的內(nèi)角。因此，首先得把這些角轉(zhuǎn)變?yōu)槿切蔚膬?nèi)角，然后再往齊次式化利用正弦定理求解。 由，只要將變換為，題中的條件就變成了關(guān)于不同內(nèi)角正弦的二次齊次式： 。 （2）不同邊的平方關(guān)系（余弦定理） 若題目條件中出現(xiàn)關(guān)于邊的平方關(guān)系或求邊的平方關(guān)系，可以選用余弦定理邊角互化，在上面的一些情況中，有利用正弦定理轉(zhuǎn)化出不同邊的平方關(guān)系，可以作為參考例題。 【例】的內(nèi)角的對邊分別為，且，求。 【解析】條件含有不同邊的平方關(guān)系，形式顯然符合余弦定理公式。 由。 （3）存在消不掉的正弦、余弦值（兩定理同時使用，邊角互化） 若題目條件中的條件不是上述情況，且始終含有消不去的內(nèi)角正弦、余弦，可以同時使用正弦、余弦定理邊角互化，要么都化為角（正弦、余弦），要么都化為邊。 【例】在中，已知，且，求。 【解析】由題目中條件可得， 接下來再利用余弦定理可得，又， ，所以或。 因為。解三角