定積分典型例題20例答案

1、定積分典型例題20例答案例1 求分析 將這類問題轉(zhuǎn)化為定積分主要是確定被積函數(shù)和積分上下限若對題目中被積函數(shù)難以想到，可采取如下方法：先對區(qū)間等分寫出積分和，再與所求極限相比較來找出被積函數(shù)與積分上下限 解 將區(qū)間等分，則每個小區(qū)間長為，然后把的一個因子乘入和式中各項(xiàng)于是將所求極限轉(zhuǎn)化為求定積分即=例2 =_解法1 由定積分的幾何意義知，等于上半圓周 ()與軸所圍成的圖形的面積故=解法2 本題也可直接用換元法求解令=（），則=例3 （1）若，則=_；（2）若，求=_分析 這是求變限函數(shù)導(dǎo)數(shù)的問題，利用下面的公式即可解 （1）=；（2） 由于在被積函數(shù)中不是積分變量，故可提到積分號外即，則可得

2、=例4 設(shè)連續(xù)，且，則=_解 對等式兩邊關(guān)于求導(dǎo)得，故，令得，所以例5 函數(shù)的單調(diào)遞減開區(qū)間為_解 ，令得，解之得，即為所求例6 求的極值點(diǎn)解 由題意先求駐點(diǎn)于是=令=，得，列表如下：-故為的極大值點(diǎn)，為極小值點(diǎn)例7 已知兩曲線與在點(diǎn)處的切線相同，其中，試求該切線的方程并求極限分析 兩曲線與在點(diǎn)處的切線相同，隱含條件，解 由已知條件得，且由兩曲線在處切線斜率相同知故所求切線方程為而例8 求 ； 分析 該極限屬于型未定式，可用洛必達(dá)法則解 =注 此處利用等價(jià)無窮小替換和多次應(yīng)用洛必達(dá)法則例9 試求正數(shù)與，使等式成立分析 易見該極限屬于型的未定式，可用洛必達(dá)法則解 =，由此可知必有，得又由 ，得即

3、，為所求例10 設(shè)，則當(dāng)時，是的（ ）A等價(jià)無窮小 B同階但非等價(jià)的無窮小 C高階無窮小 D低階無窮小解法1 由于 故是同階但非等價(jià)的無窮小選B解法2 將展成的冪級數(shù)，再逐項(xiàng)積分，得到，則例11 計(jì)算分析 被積函數(shù)含有絕對值符號，應(yīng)先去掉絕對值符號然后再積分解 注 在使用牛頓萊布尼茲公式時,應(yīng)保證被積函數(shù)在積分區(qū)間上滿足可積條件如，則是錯誤的錯誤的原因則是由于被積函數(shù)在處間斷且在被積區(qū)間內(nèi)無界.例12 設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且，則分析 本題只需要注意到定積分是常數(shù)（為常數(shù)）解 因連續(xù)，必可積，從而是常數(shù)，記，則，且所以，即，從而，所以 例13 計(jì)算分析 由于積分區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對稱，因此首先應(yīng)考慮被積函數(shù)

4、的奇偶性 解 =由于是偶函數(shù)，而是奇函數(shù)，有, 于是=由定積分的幾何意義可知, 故 例14 計(jì)算，其中連續(xù)分析 要求積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，但被積函數(shù)中含有，因此不能直接求導(dǎo)，必須先換元使被積函數(shù)中不含，然后再求導(dǎo)解 由于=故令，當(dāng)時；當(dāng)時，而，所以=，故=錯誤解答 錯解分析 這里錯誤地使用了變限函數(shù)的求導(dǎo)公式，公式中要求被積函數(shù)中不含有變限函數(shù)的自變量，而含有，因此不能直接求導(dǎo)，而應(yīng)先換元例15 計(jì)算分析 被積函數(shù)中出現(xiàn)冪函數(shù)與三角函數(shù)乘積的情形，通常采用分部積分法解 例16 計(jì)算分析 被積函數(shù)中出現(xiàn)對數(shù)函數(shù)的情形，可考慮采用分部積分法解 = =例17 計(jì)算分析 被積函數(shù)中出現(xiàn)指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)乘積的情形通常要多次利用分部積分法 解 由于， （1）而 ， （2）將（2）式代入（1）式可得 ,故 例18計(jì)算分析 被積函數(shù)中出現(xiàn)反三角函數(shù)與冪函數(shù)乘積的情形，通常用分部積分法解 （1）令，則 （2）將（2）式代入（1）式中得 例19設(shè)上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，