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文檔簡介
1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上微分在近似計算中的應(yīng)用教學(xué)目的:1、理解微分的幾何意義 2、掌握微分在近似計算的應(yīng)用 3、掌握微分在誤差估算的應(yīng)用教學(xué)重點:1、微分在近似計算的應(yīng)用 2、微分在誤差估算的應(yīng)用教學(xué)難點:1、微分在近似計算的應(yīng)用 2、微分在誤差估算的應(yīng)用教學(xué)過程:1、回顧函數(shù)微分內(nèi)容,微分的概念,定義,以及微分的運算 2、導(dǎo)入新課 3、講授新課 (1)1、理解微分的幾何意義 (2)微分在近似計算的應(yīng)用 (3)微分在誤差估算的應(yīng)用 4、例題分析 5、課堂小結(jié) 6、布置作業(yè)微分在近似計算中的應(yīng)用在工程問題中,經(jīng)常會遇到一些復(fù)雜的計算公式,如果直接用這些公式進行計算是很費力的,利用微分往往可以
2、把一些復(fù)雜的計算公式改用簡單的近似公式來代替。1函數(shù)增量的近似計算如果在點可微,則函數(shù)的增量 ,當(dāng)很小時,有 例1 半徑10厘米的金屬原片加熱后半徑伸長了0.05厘米,問面積增大了多少?解:設(shè),厘米,厘米,則()例2 有一批半徑為1cm的球, 為了提高球面的光潔度, 要鍍上一層銅, 厚度定為0.01cm,估計一下每只球需用銅多少g(銅的密度是8.9g/cm 3)?解: 先求出鍍層的體積,再求相應(yīng)的質(zhì)量。因為鍍層的體積等于兩個球體體積之差,所以它就是球體體積 當(dāng)自取得增量時的增量,我們求對的導(dǎo)數(shù):將帶入上式,得 于是鍍每只球需用的銅約為2函數(shù)值的近似計算由,得,令, 有 (用導(dǎo)數(shù)作近似計算公式)
3、.若,則 說明:(1)要計算在點的數(shù)值,直接計算比較困難,而在點附近一點處的函數(shù)值和它的導(dǎo)數(shù)卻都比較容易求出,于是可以利用作為的近似值, 與越接近越精確。(2)常用的近似公式(假定|x|是較小的數(shù)值): ; , ( x用弧度作單位來表達); ( x用弧度作單位來表達); 證明: 取, 則,, 代入,便得 . 取,則,代入,便得 如:(1)(直接開方的結(jié)果是.)(2)(3)(4)(5)例3 計算的近似值。解:設(shè),則,由,取,得.例4 計算的近似值。解:令,3誤差估計 在生產(chǎn)實踐中, 經(jīng)常要測量各種數(shù)據(jù),但是有的數(shù)據(jù)不易直接測量, 這時我們就通過測量其它有關(guān)數(shù)據(jù)后, 根據(jù)某種公式算出所要的數(shù)據(jù)。由
4、于測量儀器的精度、測量的條件和測量的方法等各種因素的影響,測得的數(shù)據(jù)往往帶有誤差,而根據(jù)帶有誤差的數(shù)據(jù)計算所得的結(jié)果也會有誤差,我們把它叫做間接測量誤差。 下面就討論怎樣用微分來估計間接測量誤差。(1)絕對誤差:如果某個量的精確值為,它的近似值為,那么叫做的絕對誤差。(2)相對誤差:絕對誤差與的比值叫做的相對誤差。 在實際工作中,某個量的精確值往往是無法知道的,于是絕對誤差和相對誤差也就無法求得。但是根據(jù)測量儀器的精度等因素,有時能確定誤差在某一個范圍內(nèi)。如果某個量的精確值為,測得它的近似值為,又知道它的誤差不超過,則(3)絕對誤差限:若,則稱為測量的絕對誤差限。(4)相對誤差限: 為測量的相
5、對誤差限。一般地,根據(jù)直接測量的值按公式計算值時,如果已知測量的絕對誤差限是,即,則當(dāng)時,的絕對誤差即的絕對誤差限約為,的相對誤差限約為.以后常把絕對誤差限和相對誤差限簡稱為絕對誤差和相對誤差。例如.要求得圓的面積S,只能測出其直徑d,后由Sf(d)算出面積S.由于測量得到的直徑d有絕對誤差,于是由此計算出面積S也相應(yīng)地有絕對誤差.在近似計算中知道,當(dāng)很小時,(=).于是可用算出S的絕對誤差,對于圓面積Sf(d)有,所以有(絕對誤差); (相對誤差)進一步,若已知時,則得絕對誤差限和相對誤差限分布為:;一般地,若x是由測量得到的,量y是由函數(shù)yf(x)計算得到的,在測量時,x的近似值為,.若已知測量值的誤差限為,即,當(dāng)很小時,;1.要給一個半徑為的球表面涂上油漆,油漆的厚度為,試計算這層油漆的體積。解:2.設(shè)測得圓鋼截面的直徑,測量的絕對誤差限欲用公式計算圓鋼截面積,試估計面積的誤差。解:的絕對誤差限約為的相對誤差限約為3.設(shè)測得一球體的直徑為42cm,測量工具的精度為0.05 cm,試求以此直徑計算球體體積時所引起的誤差。解:由直徑計算球體體積的函數(shù)式是 .取,求得,則球體體積的絕對誤差限為 相對誤差限為.4.設(shè)鐘擺的周期是1 s,在冬季擺長至多縮短0.01 cm,試問此鐘每天至多快幾秒?解:由物理學(xué)知道,單擺周期與擺長的關(guān)系為
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