正弦定理說課稿

1、正弦定理說課稿各位老師大家好！今天我說課的題目是正弦定理 ，選自北師大版必修五第二章 解三角形第一節(jié)。下面主要從以下幾個方面對本課進(jìn)行說明。教材分析1、教材地位解三角形這一章內(nèi)容，是初中解直角三角形內(nèi)容的拓展與延續(xù)，也是高一三 角函數(shù)與平面向量在解三角形中的應(yīng)用。初中階段著重定性的討論三角形中線段 與角的位置關(guān)系，本章主要是定量地揭示三角形邊、角之間的數(shù)量關(guān)系。本章內(nèi)容在高 考中主要與三角函數(shù)、 平面向量等知識聯(lián)系起來以及在立體幾何問題求解中的應(yīng)用。 正 弦定理是解斜三角形的基本工具之一，同時它的推導(dǎo)過程也為余弦定理的推導(dǎo)設(shè)下伏 筆，因此它具有承上啟下的重要地位， 并且它還是解決實(shí)際生活中與三

2、角形有關(guān)的問題 的有力工具。據(jù)此，我們制定以下教學(xué)目標(biāo)2、教學(xué)目標(biāo)(1) 知識與技能正弦定理的發(fā)現(xiàn)、證明及基本應(yīng)用(2) 過程與方法 通過對直角三角形邊角數(shù)量關(guān)系的研究，發(fā)現(xiàn)正弦定理，體驗(yàn)用特殊到一般的思 想方法發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的過程。(3) 情感態(tài)度與價值觀 在觀察、探索、發(fā)現(xiàn)、總結(jié)、解決問題的過程中，用心體驗(yàn)數(shù)學(xué)的思想方法，培 養(yǎng)多思考的習(xí)慣，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。3、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)(1)重點(diǎn)：正弦定理的發(fā)現(xiàn)、證明及基本應(yīng)用正弦定理揭示了任意三角形邊角之間的客觀規(guī)律， 是解三角形的重要工具， 也是三角函數(shù)與平面向量知識在三角形中的應(yīng)用 . 因此，本節(jié)課重點(diǎn)內(nèi)容是正弦定理證明與基本應(yīng)用 . )

3、 (2)難點(diǎn)：證明方法推導(dǎo)的多樣性 .(在證明過程中通過教師的引導(dǎo)，學(xué)生的研討，對知識多角度地挖掘來證明定理 . 因此，本節(jié) 課難點(diǎn)的內(nèi)容是證法的多樣性 .)教學(xué)過程1、設(shè)疑引入，創(chuàng)設(shè)情景興趣是最好的老師 ,如果一節(jié)課有個好的開頭，那就意味著成功了一半，因此通過問題引入，巧設(shè)疑問來激發(fā)學(xué)生的思維，激活學(xué)生的求知欲首先提出問題：為了求得不可直接到達(dá)的兩點(diǎn) A、B之間的距離，通常另選一點(diǎn)C, 測得a，b和角口（圖1）。如果。=90:那是一個簡單的解直角三角形的問題；但若=-90，那就是斜三角形的問題了，如何求得 AB的距離呢？這樣，由實(shí)際的問題步步深入，提出問題，引導(dǎo)學(xué)生知道僅利用直角三角形來解決

4、實(shí)際問題還存在局限性，提 出求解斜三角形的必要性，激發(fā)學(xué)生探索新知識的興趣。B（圖1）接著，教師給學(xué)生指明一個探究的方向，ab. _. tti-rsin A ， sin B， sin C = 1 ，即ccahc證明一（1 ）（等面積法）分別作三邊上的高所以S ABC= -BCAD =丄BCABsin B22S ABCACBE =-ACBCsin C22ACABACBC所以得，冋理可證sin Bsin Csin Bsin A在直角三角形這樣的特殊情況下，有abcc， c， c =sin AsinBsinC故，在此提出冋題1，對任意的三角形，是否都存在sin A sin B sin C-呢？引導(dǎo)學(xué)

5、生自己探索證明方法。sinA si nB sinC這樣由特殊情況到一般問題的提出，符合由特殊到一般，由具體到抽象的認(rèn)識過程。（在證明方法的探索過程中，說明以下問題，以幫助學(xué)生獲得證明思路：1 強(qiáng)調(diào)將猜想轉(zhuǎn)化為定理，需要嚴(yán)格的理論證明。2 鼓勵學(xué)生通過作高轉(zhuǎn)化為熟悉的直角三角形進(jìn)行證明，即引導(dǎo)方法一。3 提示學(xué)生思考哪些知識能把長度和三角函數(shù)聯(lián)系起來，繼而思考用向量分析，用數(shù)量積作為工 具證明定理，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，即引導(dǎo)方法4 思考是否還有其他的方法來證明正弦定理，提示，做三角形的外接圓構(gòu)造直角三角形，即引導(dǎo) 方法三。）2、帶疑探究，嚴(yán)謹(jǐn)推理（等面積法較為簡單、學(xué)生容易理解并獨(dú)立完成，

6、將一般三角形問題轉(zhuǎn)化為熟悉的直角三角形問題, 此法體現(xiàn)了劃歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想）證明二（平面向量法）：過A作單位向量j垂直于ACCac+cb=ab兩邊同乘以單位向量jj ?( AC +CB)= j ?AB 則:j ?AC +j?CB=j| j | ?| AC |cos90 +| j | ?| CB |cos(90 -C)=| j | ?| AB |cos(90 -A) asin C =csin Aa = csin A sinC同理：若過C作j垂直于CB得:c = b a = b = csinC sin Bsin A sin B sinC當(dāng)厶ABC為鈍角三角形時，設(shè) A>90過A作單位向量j垂

7、直于向量AC ,則j與AB的夾角為A-90 ,j與CB的夾角為90 -C.同樣可得a _ b _ csin A sin B sin Ccsi nC=2Rsin A sinB sinC=2R（平面向量法較為復(fù)雜， 但以向量作為工具來研究解決數(shù)學(xué)問題，也體現(xiàn)了向量的工具性，并且以銳角三角型為例說明，可以讓學(xué)生下去之后完成鈍角三角形的證明，再加深此法的理解和應(yīng)用）以上兩種方法都說明定理的成立 ，提出問題2 :定理的比值有什么特殊意義？引入方法三。證明三（外接圓法） 如圖，在 ABC中，已知BC = a，AC= b，AB = 6作厶ABC的外接圓，O為圓心，連 接BO并延長交圓于B',設(shè)BB&

8、#39;= 2R.則根據(jù)直徑所對的圓周角是直角以及同弧所對的圓周角相等可以得到:/ BAB'= 90°,/ C=Z B c sin C 二 sin B2R同理可得一=2R, b2Rsin A sinB（此法在將一般三角形問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題時，通過構(gòu)建三角形的外接圓來進(jìn)行證明, 不但證明了定理并且說明了正弦定理比值的幾何意義即三角形的外接圓直徑）（總結(jié)：以上三種證法在本質(zhì)上都是同一證法，只不過是從代數(shù)、 幾何與平面向量的幾個角度構(gòu)造直角三角形，通過尋找等量關(guān)系達(dá)到證明等式得目的，在證明過程中，我們以銳角三角型為例 進(jìn)行說明，在此應(yīng)注意提醒學(xué)生考慮問題的全面性，即注意對鈍角

9、三角形情況的證明，體會分類討 論思想的應(yīng)用）通過以上三種證法，我們說明對于銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形來說，上 面的關(guān)系式均成立，因此我們得到下面的定理正弦定理：在一個三角形中各邊和它所對角的正弦比相等，abC即亠 =2R （ R為厶ABC外接圓半徑）。sin A sinB sinC（這一部分的設(shè)計，首先通過實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生的思維盡快進(jìn)入探究正弦定理這個主題，逐步完成“情境思考”一一“提出問題”一一“研究特例”一一“歸納猜想”一一“理論探究”一一“解決問題”這一思維和解決問題的操作過程，進(jìn)而形成解決問題的能力。同時，由實(shí)際問題出發(fā)又與第三部分正弦定理的應(yīng)用相銜接。）以上是本節(jié)課的新課講解過程

10、，下面通過四個例題，來深化和鞏固本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容。3、實(shí)例分析，深化理解教師分析，正弦定理 b C2R實(shí)際上可以寫成三個等式，實(shí)際應(yīng)用sin A sin B sin C時根據(jù)題意選取，每一個等式中有兩邊與兩角，引導(dǎo)學(xué)生歸納出正弦定理可解決的兩類 解三角形問題：（1）已知兩角與一邊（2）已知兩邊與其中一邊的對角即知三求一，另正弦定理適合于任何三角形。例1若沁二進(jìn)二空C貝打“Be是（a b cA.等邊三角形B.有一內(nèi)角是30C.等腰直角三角形D.有一內(nèi)角是30°的等腰三角形（C這個問題較為簡單，是直接由正弦定理及已知條件對比發(fā)現(xiàn) sin B 二 cosB, sinC 二 cosC 故 B

11、二 C =45°, A = 90°）例 2、在厶ABC 證明 ccosB FcosC 二 a。（利用正弦定理將等式左端邊轉(zhuǎn)化為角表示，再結(jié)合三角函數(shù)知識進(jìn)行化簡即體現(xiàn) 通過正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化的功能）例3、已知在 ABC中，c =10,A =45°,C =30°,求a,b和B以及.ABC的外接圓面積。sin A sin Ca csinA 10sin45® si nCsin 30 °又 B =180° - (A C) =105°10si n105sin30=20si n75 = 20b c sin Bsin C, c

12、sin B .b = sin C（利用正弦定理解斜三角形的應(yīng)用一：已知兩角及一邊，并且考察了正弦定理比值的幾何意義）例4、在厶ABC中，已知a = 20，b = 28，A = 40，求B （精確到1 ）和c （保 留兩個有效數(shù)字）。bsi nA 28s in 40解：sin B0.8999a20.B1 =64 ， B2 -116當(dāng) B1 =64 時，G =180 -(B1 A) =180 -(64 40 )=76 ，20 si n76sin 40:30a sin。. C1sin A當(dāng) B2 =116 時，C2 =180 -(B2 A) =180 -(116 4024c2二型"週3si

13、n A sin 40（正弦定理解斜三角形的應(yīng)用二：已知兩邊及一邊對角。 在此例中出現(xiàn)了多解的情況在講完本例后，提出問題 3：如何從理論角度說明在利用正弦定理解已知兩邊及一邊對角過程中解的情況？ 引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納總結(jié)，為下節(jié)課的講解做好鋪墊。）4、總結(jié)提高，明確要點(diǎn)1、理解三角形的面積公式，熟悉正弦定理用向量來證明的推導(dǎo)過程，教師可引導(dǎo) 學(xué)生課后再去探究其它證明方法，為下一節(jié)課的余弦定理的推導(dǎo)埋下伏筆。ab2、在正弦定理中，若/C=90，則有sinA=，sinB=-，即為直角三角形中的cc邊角關(guān)系，與初中學(xué)過的知識相吻合。把知識又從一般過渡到特殊，由抽象到具體。2、正弦定理的兩個應(yīng)用：（1）已知

14、三角形中兩角及一邊，求其他元素； （2）已知 三角形中兩邊和其中一邊所對的角，求其他元素，這時可引導(dǎo)學(xué)生加以敘述，培養(yǎng)學(xué)生的 歸納總結(jié)能力。5、課堂練習(xí)、提高鞏固1. + , n-0.15tC=101 4°,13-75. 851 求的扎2. 裡中芒二丨/=氛=4鬧/崙翻"二*3. 知期.dWGjt平徑旳展的內(nèi)櫃JLW用爭.齣敢辰和 /MH曠始卄從IW半槿*（這三個練習(xí)題是針對以上例題設(shè)計的鞏固練習(xí)。練習(xí)1、2分別是針對例3、例4的強(qiáng)化練習(xí)。練習(xí)3是正弦定理及比值幾何意義的應(yīng)用）6、深入思考，課后延申（1）課后證明鈍角三角形的情況。（為了鞏固向量方法的證明）（2）還有沒什么其它的證明方法。（例如坐標(biāo)法）（3） 根據(jù)正弦定理的特點(diǎn)設(shè)計三道題，要有一定的代表性。（為下一節(jié)課正弦定理 應(yīng)用做準(zhǔn)備）評價分析我認(rèn)為我的這堂課的設(shè)計基本符合