【課件】人A版（2019）數(shù)學(xué)-必修第二冊-第六章平面向量及其應(yīng)用-§4.3第4課時余弦定理、正弦定理的應(yīng)用舉例-高度、角度問題

1、第4課時 余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例-高度、角度問題1.現(xiàn)實生活中現(xiàn)實生活中,人們是怎樣測量底部不可到達的建筑物人們是怎樣測量底部不可到達的建筑物的的高度呢？又怎高度呢？又怎樣在水平飛行的飛機上測量飛機下方山頂?shù)暮０胃叨饶?？樣在水平飛行的飛機上測量飛機下方山頂?shù)暮０胃叨饶兀?.在實際的航海生活中在實際的航海生活中,人們?nèi)藗円惨矔龅綍龅饺缦氯缦碌膯栴}的問題：在浩瀚的海面上如在浩瀚的海面上如何確保輪船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？何確保輪船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我們就來共同探討這今天我們就來共同探討這些些方面的問題方面的問題. .通過建立模型把實際生活中的角度、長度、距

2、離問題轉(zhuǎn)換成解三角形通過建立模型把實際生活中的角度、長度、距離問題轉(zhuǎn)換成解三角形問題，然后利用正弦定理余弦定理解決問題。問題，然后利用正弦定理余弦定理解決問題。1.能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關(guān)底部不可能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關(guān)底部不可到達的物體高度測量的問題到達的物體高度測量的問題.2.能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關(guān)計算角度的實際問題方法解決一些有關(guān)計算角度的實際問題.3.分清仰角、俯角、方向角、分清仰角、俯角、方向角、方位角和視角等概念方位角和視角等概念.課標要求課標要求素養(yǎng)要求素養(yǎng)要求 探究

3、點探究點1 1 測量底部不可到達的建筑物測量底部不可到達的建筑物的的高度高度例例1 AB是底部是底部B不可到達的一個建筑物，不可到達的一個建筑物，A為建筑物的最高點，設(shè)計一為建筑物的最高點，設(shè)計一種測量建筑物高度種測量建筑物高度AB的方法的方法.【解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵】如圖，求如圖，求AB長的關(guān)長的關(guān)鍵是先求鍵是先求AE，在，在 ACE中，如中，如能求出能求出C點到建筑物頂部點到建筑物頂部A的距離的距離CA，再測出由，再測出由C點觀察點觀察A的仰角，的仰角，就可以計算出就可以計算出AE的長的長.【解析解析】選擇一條水平基線選擇一條水平基線HG，使，使H，G，B三點在同一條直線上三點在同一條直線上.

4、由在由在H,G兩點用測角儀器測得兩點用測角儀器測得A的仰角分別是的仰角分別是,CD=a，測角儀器的高是，測角儀器的高是h，那么，在那么，在ACD中，根據(jù)正弦定理可得中，根據(jù)正弦定理可得asinasinAC =AC =sin（sin（-）AB = AE+h = ACsinAB = AE+h = ACsin+h+hasinasinsinsin=+h.=+h.sin（sin（-）【變式練習(xí)變式練習(xí)】2A20nmileB307nmileC11nmile ?例 位于某海域 處的甲船獲釋，在其正東方向相距的 處有一艘漁船遇險后拋錨等待營救，甲船立即前往營救，同時把消息告知位于甲船南偏西，且與甲船相距的 處

5、的乙船，那么乙船前往營救遇險漁船時的目標方向線（由觀測點看目標的視線）的方向是北偏東多少度（精確到 ）？需要航行的距離是多少海里（精確到）解：根據(jù)題意，畫出示意圖由余弦定理，得 20nmile20nmileB BA AC C307nmile7nmile222222cos12012072207()589224sinsin12020245 3sin12BCABACABACBCnmileCC 于是（）由正弦定理，得于是00C90C467624nmine.由于因此，乙船前往營救遇險漁船的方向是北偏東，大約需要航行【變式練習(xí)變式練習(xí)】 我艦在敵島我艦在敵島A A南偏西南偏西5050的方向上，且與敵島的方

6、向上，且與敵島A A相距相距1212海里的海里的B B處，發(fā)現(xiàn)敵艦正由島處，發(fā)現(xiàn)敵艦正由島A A沿北偏西沿北偏西1010的方向以的方向以1010海里海里/ /小時的速度航行問我艦小時的速度航行問我艦需以多大速度、沿什么方向航行才能用需以多大速度、沿什么方向航行才能用2 2小時追小時追上敵艦？上敵艦？( (精確到精確到1 1）【解析解析】如圖，在如圖，在ABCABC中，由余弦中，由余弦定理得：定理得：ACB4040505010102222222222BC = AC +AB -2ABBC = AC +AB -2ABACACcoscosBACBAC1 1 = 20 +12 -2 = 20 +12 -

7、2 12122020 （- ）- ）2 2 =784， =784，所所以以BC = 28.BC = 28.所以我艦的追擊速度為所以我艦的追擊速度為1414海里海里/ /小時小時. .ABCACBCsinBsinAACsinA5 3si3850 -3812nBBC14B.又在中，由正弦定理得：，故，所故航行的方向為北偏東以 答：答：我艦需以我艦需以14海里海里/小時的速度，沿北偏東小時的速度，沿北偏東12方向航行才能用方向航行才能用2小時追上敵艦小時追上敵艦.C C B B 7 75.3.5 m長的木棒斜靠在石堤旁，棒的一端在離堤長的木棒斜靠在石堤旁，棒的一端在離堤足足1.2 m的地面上，另一端

8、在沿堤上的地面上，另一端在沿堤上2.8 m的地方，的地方，求堤對地面的傾斜角求堤對地面的傾斜角. (精確到精確到0.01）鈍鈍鈍鈍為為【解解析析】222222 -. .由由余余弦弦定定理理得得，1.2 +2.8 -3.51.2 +2.8 -3.5cos（cos（180180 -） = =221.21.22.82.8 -0.442. -0.442.所所以以 棒 棒、石石堤堤及及地地面面構(gòu)構(gòu)成成一一角角三三角角形形，其其角角大大小小1 1coscos=0.442，=0.442，所所以以 6 680803.773.77答：答：堤對地面的傾斜角堤對地面的傾斜角為為63.7763.77. .6.如圖是曲

9、柄連桿機構(gòu)的示意圖，當(dāng)曲柄如圖是曲柄連桿機構(gòu)的示意圖，當(dāng)曲柄CB繞繞C點旋轉(zhuǎn)時，通過連點旋轉(zhuǎn)時，通過連桿桿AB的傳遞，活塞作直線往復(fù)運動，當(dāng)曲柄在的傳遞，活塞作直線往復(fù)運動，當(dāng)曲柄在CB0位置時，曲柄和位置時，曲柄和連桿成一條直線，連桿的端點連桿成一條直線，連桿的端點A在在A0處，設(shè)連桿處，設(shè)連桿AB長為長為340mm，曲，曲柄柄CB長為長為85mm，曲柄自，曲柄自CB0按順時針方向旋轉(zhuǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)80，求活塞移動的，求活塞移動的距離（即連桿的端點距離（即連桿的端點A移動的距離移動的距離AA0）（精確到）（精確到1mm）.【解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵】此題可轉(zhuǎn)化為此題可轉(zhuǎn)化為“已知在已知在ABCAB

10、C中，中，BCBC85 mm85 mm，ABAB340 mm340 mm，ACBACB8080，求，求AAAA0 0 ” 【解析解析】如圖如圖, ,在在ABCABC中，由中，由正弦定理可得：正弦定理可得：為為為為銳銳 0.2462.0.2462.因因BC AB,所BC AB,所以以BAC角BAC角，所所以以BAC14BAC141515BCsinACBBCsinACBsinBAC =sinBAC =ABAB8585sin80sin80 = =340340， - （- （BAC+ABAC+A所所以以CB）CB） 8585B =18B =1845450.0.又由正弦定理：又由正弦定理：00340 sin85sin8034544.3 BsinBsinA =A =ABABC CsinsinACBACB= =（mmmm）. .A A（340+85340+85）-344-344A=A C-ACA=A C-AC= =（AB+BCAB+BC） - -. .A A3 3= =C C80.780.7（mmmm）答：答：活塞移動的距離約為活塞移動的距離約為81 mm 余弦定理、正弦余弦定理、正弦 定理應(yīng)用舉例定理應(yīng)用舉例核心知識核心知識方法總結(jié)方法總結(jié)易錯提醒易錯提醒核心素養(yǎng)核心素養(yǎng)有關(guān)概念實際應(yīng)用解決實際測量中的角度問題時(1)找準觀測點以及參照物,根據(jù)“上北下南,