復(fù)變函數(shù)試題與答案

1、復(fù)變函數(shù)測(cè)驗(yàn)題第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)一、 選擇題1當(dāng)時(shí)，的值等于（）（A） （B） （C） （D）2設(shè)復(fù)數(shù)滿足，那么（）（A）（B）（C）（D）3復(fù)數(shù)的三角表示式是（）（A）（B）（C）（D）4若為非零復(fù)數(shù)，則與的關(guān)系是（）（A）（B）（C）（D）不能比較大小設(shè)為實(shí)數(shù)，且有，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（）（A）圓（B）橢圓（C）雙曲線（D）拋物線一個(gè)向量順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，向右平移個(gè)單位，再向下平移個(gè)單位后對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則原向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是（）（A）（B）（C）（D）使得成立的復(fù)數(shù)是（）（A）不存在的（B）唯一的（C）純虛數(shù)（D）實(shí)數(shù)設(shè)為復(fù)數(shù)，則方程的解是（）（A）（B）（C）（D）滿足不等式的所有點(diǎn)構(gòu)成的集合是

2、（）（A）有界區(qū)域（B）無(wú)界區(qū)域（C）有界閉區(qū)域（D）無(wú)界閉區(qū)域10方程所代表的曲線是（）（A）中心為，半徑為的圓周 （B）中心為，半徑為的圓周（C）中心為，半徑為的圓周（D）中心為，半徑為的圓周11下列方程所表示的曲線中，不是圓周的為（）（A）（B）（C）（D）12設(shè)，則（）（A） （B） （C） （D）13（）（A）等于 （B）等于 （C）等于 （D）不存在14函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)的充要條件是（）（A）在處連續(xù) （B）在處連續(xù)（C）和在處連續(xù)（D）在處連續(xù)15設(shè)且，則函數(shù)的最小值為（）（A） （B） （C） （D）二、填空題1設(shè)，則 2設(shè)，則 3設(shè)，則 4復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式為 5以方程的根的對(duì)應(yīng)點(diǎn)

3、為頂點(diǎn)的多邊形的面積為 不等式所表示的區(qū)域是曲線 的內(nèi)部方程所表示曲線的直角坐標(biāo)方程為方程所表示的曲線是連續(xù)點(diǎn) 和 的線段的垂直平分線對(duì)于映射，圓周的像曲線為10三、若復(fù)數(shù)滿足，試求的取值范圍四、設(shè)，在復(fù)數(shù)集中解方程.五、設(shè)復(fù)數(shù)，試證是實(shí)數(shù)的充要條件為或.六、對(duì)于映射，求出圓周的像.七、試證.的充要條件為；. 的充要條件為.八、若，則存在，使得當(dāng)時(shí)有.九、設(shè)，試證.十、設(shè)，試討論下列函數(shù)的連續(xù)性：1.2.第二章 解析函數(shù)一、選擇題：1函數(shù)在點(diǎn)處是( )（A）解析的 （B）可導(dǎo)的（C）不可導(dǎo)的 （D）既不解析也不可導(dǎo)2函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)是在點(diǎn)解析的( )（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件（C）

4、充分必要條件 （D）既非充分條件也非必要條件3下列命題中，正確的是( )（A）設(shè)為實(shí)數(shù)，則（B）若是函數(shù)的奇點(diǎn)，則在點(diǎn)不可導(dǎo)（C）若在區(qū)域內(nèi)滿足柯西-黎曼方程，則在內(nèi)解析（D）若在區(qū)域內(nèi)解析，則在內(nèi)也解析4下列函數(shù)中，為解析函數(shù)的是( )（A） （B）（C） （D）5函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)( )（A）等于0 （B）等于1 （C）等于 （D）不存在6若函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處解析，那么實(shí)常數(shù)( )（A） （B） （C） （D）7如果在單位圓內(nèi)處處為零，且，那么在內(nèi)( )（A） （B） （C） （D）任意常數(shù)8設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)有定義，則下列命題中，正確的是（A）若在內(nèi)是一常數(shù)，則在內(nèi)是一常數(shù)（B）若在內(nèi)是一常數(shù)，

5、則在內(nèi)是一常數(shù)（C）若與在內(nèi)解析，則在內(nèi)是一常數(shù)（D）若在內(nèi)是一常數(shù)，則在內(nèi)是一常數(shù)9設(shè)，則( )（A） （B） （C） （D）10的主值為( )（A） （B） （C） （D）11在復(fù)平面上( )（A）無(wú)可導(dǎo)點(diǎn) （B）有可導(dǎo)點(diǎn)，但不解析（C）有可導(dǎo)點(diǎn)，且在可導(dǎo)點(diǎn)集上解析 （D）處處解析12設(shè)，則下列命題中，不正確的是( )（A）在復(fù)平面上處處解析 （B）以為周期（C） （D）是無(wú)界的13設(shè)為任意實(shí)數(shù)，則( )（A）無(wú)定義 （B）等于1 （C）是復(fù)數(shù)，其實(shí)部等于1 （D）是復(fù)數(shù)，其模等于114下列數(shù)中，為實(shí)數(shù)的是( )（A） （B） （C） （D）15設(shè)是復(fù)數(shù)，則( )（A）在復(fù)平面上處處解析

6、（B）的模為（C）一般是多值函數(shù) （D）的輻角為的輻角的倍二、填空題1設(shè)，則 2設(shè)在區(qū)域內(nèi)是解析的，如果是實(shí)常數(shù)，那么在內(nèi)是 3導(dǎo)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析的充要條件為 4設(shè)，則 5若解析函數(shù)的實(shí)部，那么 6函數(shù)僅在點(diǎn) 處可導(dǎo)7設(shè)，則方程的所有根為 8復(fù)數(shù)的模為 9 10方程的全部解為 三、設(shè)為的解析函數(shù)，若記，則四、試證下列函數(shù)在平面上解析，并分別求出其導(dǎo)數(shù)12五、設(shè)，求.六、設(shè)試證在原點(diǎn)滿足柯西-黎曼方程，但卻不可導(dǎo).七、已知，試確定解析函數(shù).八、設(shè)和為平面向量，將按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)即得.如果為解析函數(shù)，則有（與分別表示沿,的方向?qū)?shù)）.九、若函數(shù)在上半平面內(nèi)解析，試證函數(shù)在下半平面內(nèi)解析.十、解方程

7、.第三章 復(fù)變函數(shù)的積分一、選擇題：1設(shè)為從原點(diǎn)沿至的弧段，則( )（A） （B） （C） （D）2設(shè)為不經(jīng)過(guò)點(diǎn)與的正向簡(jiǎn)單閉曲線，則為( )（A） （B） （C） （D）(A)(B)(C)都有可能3設(shè)為負(fù)向，正向，則 ( )（A） （B） （C） （D）4設(shè)為正向圓周，則 ( )（A） （B） （C） （D）5設(shè)為正向圓周，則 ( )（A） （B） （C） （D）6設(shè)，其中，則( )（A） （B） （C） （D）7設(shè)在單連通域內(nèi)處處解析且不為零，為內(nèi)任何一條簡(jiǎn)單閉曲線，則積分 ( )（A）于 （B）等于 （C）等于 （D）不能確定8設(shè)是從到的直線段，則積分（ ）（A） (B) (C) (D)

8、 9設(shè)為正向圓周，則 ( )（A） （B） （C） （D）10設(shè)為正向圓周，則( )（A） （B） （C） （D）11設(shè)在區(qū)域內(nèi)解析，為內(nèi)任一條正向簡(jiǎn)單閉曲線，它的內(nèi)部全屬于如果在上的值為2，那么對(duì)內(nèi)任一點(diǎn),( )（A）等于0 （B）等于1 （C）等于2 （D）不能確定12下列命題中，不正確的是( )（A）積分的值與半徑的大小無(wú)關(guān)（B）,其中為連接到的線段（C）若在區(qū)域內(nèi)有，則在內(nèi)存在且解析 （D）若在內(nèi)解析，且沿任何圓周的積分等于零，則在處解析13設(shè)為任意實(shí)常數(shù)，那么由調(diào)和函數(shù)確定的解析函數(shù)是 ( )(A) （B） （C） （D）14下列命題中，正確的是( )（A）設(shè)在區(qū)域內(nèi)均為的共軛調(diào)和函

9、數(shù)，則必有（B）解析函數(shù)的實(shí)部是虛部的共軛調(diào)和函數(shù)（C）若在區(qū)域內(nèi)解析，則為內(nèi)的調(diào)和函數(shù)（D）以調(diào)和函數(shù)為實(shí)部與虛部的函數(shù)是解析函數(shù)15設(shè)在區(qū)域內(nèi)為的共軛調(diào)和函數(shù)，則下列函數(shù)中為內(nèi)解析函數(shù)的是( )（A） （B） （C） （D）二、填空題1設(shè)為沿原點(diǎn)到點(diǎn)的直線段，則 2設(shè)為正向圓周，則 3設(shè),其中，則 4設(shè)為正向圓周，則 5設(shè)為負(fù)向圓周，則 6解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的 7設(shè)在單連通域內(nèi)連續(xù)，且對(duì)于內(nèi)任何一條簡(jiǎn)單閉曲線都有，那么在內(nèi) 8調(diào)和函數(shù)的共軛調(diào)和函數(shù)為 9若函數(shù)為某一解析函數(shù)的虛部，則常數(shù) 10設(shè)的共軛調(diào)和函數(shù)為，那么的共軛調(diào)和函數(shù)為 三、計(jì)算積分1.,其中且;2.四、設(shè)在單

10、連通域內(nèi)解析，且滿足.試證在內(nèi)處處有；對(duì)于內(nèi)任意一條閉曲線，都有五、設(shè)在圓域內(nèi)解析，若，則.六、求積分，從而證明.七、設(shè)在復(fù)平面上處處解析且有界，對(duì)于任意給定的兩個(gè)復(fù)數(shù)，試求極限并由此推證（劉維爾Liouville定理）.八、設(shè)在內(nèi)解析，且，試計(jì)算積分并由此得出之值.九、設(shè)是的解析函數(shù)，證明.十、若，試求解析函數(shù).第四章 級(jí) 數(shù)一、選擇題：1設(shè)，則( )（A）等于 （B）等于 （C）等于 （D）不存在2下列級(jí)數(shù)中，條件收斂的級(jí)數(shù)為( )（A） （B）（C） （D）3下列級(jí)數(shù)中，絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)為( )（B） （B）(C) （D）4若冪級(jí)數(shù)在處收斂，那么該級(jí)數(shù)在處的斂散性為( )（A）絕對(duì)收斂 （

11、B）條件收斂（C）發(fā)散 （D）不能確定5設(shè)冪級(jí)數(shù)和的收斂半徑分別為，則之間的關(guān)系是( )（A） （B） （C） （D）6設(shè)，則冪級(jí)數(shù)的收斂半徑( )（A） （B） （C） （D）7冪級(jí)數(shù)的收斂半徑( )（A） （B） （C） （D）8冪級(jí)數(shù)在內(nèi)的和函數(shù)為（A） （B）（D） (D) 9設(shè)函數(shù)的泰勒展開(kāi)式為，那么冪級(jí)數(shù)的收斂半徑( )（A） （B） （C） （D）10級(jí)數(shù)的收斂域是( )（A） （B） （C） （D）不存在的11函數(shù)在處的泰勒展開(kāi)式為( )（A） （B）（C） （D）12函數(shù)，在處的泰勒展開(kāi)式為( )（A） （B）（C） （D）13設(shè)在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展開(kāi)式為，為內(nèi)繞的任一條正向簡(jiǎn)

12、單閉曲線，那么( )(A) （B） （C） （D）14若，則雙邊冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)? )（A） （B） （C） （D）15設(shè)函數(shù)在以原點(diǎn)為中心的圓環(huán)內(nèi)的洛朗展開(kāi)式有個(gè)，那么( )（A）1 （B）2 （C）3 （D）4二、填空題1若冪級(jí)數(shù)在處發(fā)散，那么該級(jí)數(shù)在處的收斂性為 2設(shè)冪級(jí)數(shù)與的收斂半徑分別為和，那么與之間的關(guān)系是 3冪級(jí)數(shù)的收斂半徑 4設(shè)在區(qū)域內(nèi)解析，為內(nèi)的一點(diǎn)，為到的邊界上各點(diǎn)的最短距離，那么當(dāng)時(shí)，成立，其中 5函數(shù)在處的泰勒展開(kāi)式為 6設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為，那么冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為 7雙邊冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?8函數(shù)在內(nèi)洛朗展開(kāi)式為 9設(shè)函數(shù)在原點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)的洛朗展開(kāi)式為，那么該洛朗級(jí)數(shù)

13、收斂域的外半徑 10函數(shù)在內(nèi)的洛朗展開(kāi)式為 三、若函數(shù)在處的泰勒展開(kāi)式為，則稱為菲波那契(Fibonacci)數(shù)列，試確定滿足的遞推關(guān)系式，并明確給出的表達(dá)式四、試證明12五、設(shè)函數(shù)在圓域內(nèi)解析，試證1.2。六、設(shè)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，并計(jì)算之值.七、設(shè)，則對(duì)任意的，在內(nèi)。八、設(shè)在內(nèi)解析的函數(shù)有泰勒展開(kāi)式試證當(dāng)時(shí).九、將函數(shù)在內(nèi)展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù).十、試證在內(nèi)下列展開(kāi)式成立：其中.第五章 留 數(shù)一、選擇題：1函數(shù)在內(nèi)的奇點(diǎn)個(gè)數(shù)為 ( )（A）1 （B）2 （C）3 （D）42設(shè)函數(shù)與分別以為本性奇點(diǎn)與級(jí)極點(diǎn)，則為函數(shù)的( )（A）可去奇點(diǎn) （B）本性奇點(diǎn)（C）級(jí)極點(diǎn) （D）小于級(jí)的極點(diǎn)3設(shè)為函數(shù)的級(jí)極點(diǎn)

14、，那么( )（A）5 （B）4 (C)3 （D）24是函數(shù)的( )(A)可去奇點(diǎn) （B）一級(jí)極點(diǎn)（C） 一級(jí)零點(diǎn) （D）本性奇點(diǎn)5是函數(shù)的( )(A)可去奇點(diǎn) （B）一級(jí)極點(diǎn)（C） 二級(jí)極點(diǎn) （D）本性奇點(diǎn)6設(shè)在內(nèi)解析，為正整數(shù)，那么( )（A） （B） （C） （D）7設(shè)為解析函數(shù)的級(jí)零點(diǎn)，那么( )(A) （B） （C） （D）8在下列函數(shù)中，的是（ ）（A） （B）（C） (D) 9下列命題中，正確的是( )（A） 設(shè)，在點(diǎn)解析，為自然數(shù)，則為的級(jí)極點(diǎn)（B） 如果無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)是函數(shù)的可去奇點(diǎn)，那么（C） 若為偶函數(shù)的一個(gè)孤立奇點(diǎn)，則（D） 若，則在內(nèi)無(wú)奇點(diǎn)10 ( )（A） （B） （C）

15、（D）11 ( )（A） （B） （C） （D）12下列命題中，不正確的是( )（A）若是的可去奇點(diǎn)或解析點(diǎn)，則（B）若與在解析，為的一級(jí)零點(diǎn)，則（C）若為的級(jí)極點(diǎn)，為自然數(shù)，則（D）如果無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)為的一級(jí)極點(diǎn)，則為的一級(jí)極點(diǎn)，并且13設(shè)為正整數(shù)，則( )(A) （B） （C） （D）14積分( )（A） （B） （C） （D）15積分( )（A） （B） （C） （D）二、填空題1設(shè)為函數(shù)的級(jí)零點(diǎn)，那么 2函數(shù)在其孤立奇點(diǎn)處的留數(shù) 3設(shè)函數(shù)，則 4設(shè)為函數(shù)的級(jí)極點(diǎn)，那么 5雙曲正切函數(shù)在其孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)為 6設(shè)，則 7設(shè)，則 8積分 9積分 10積分 三、計(jì)算積分四、利用留數(shù)計(jì)算積分五、利用

16、留數(shù)計(jì)算積分六、利用留數(shù)計(jì)算下列積分： 七、設(shè)為的孤立奇點(diǎn)，為正整數(shù)，試證為的級(jí)極點(diǎn)的充要條件是，其中為有限數(shù)八、設(shè)為的孤立奇點(diǎn)，試證：若是奇函數(shù)，則；若是偶函數(shù)，則九、設(shè)以為簡(jiǎn)單極點(diǎn)，且在處的留數(shù)為A，證明.十、若函數(shù)在上解析，當(dāng)為實(shí)數(shù)時(shí)，取實(shí)數(shù)而且，表示的虛部，試證明第六章 共形映射一、選擇題：1若函數(shù)構(gòu)成的映射將平面上區(qū)域縮小，那么該區(qū)域是 ( )（A） （B） （C） （D）2映射在處的旋轉(zhuǎn)角為( )（A） （B） （C） （D）3映射在點(diǎn)處的伸縮率為( )（A）1 （B）2 (C) （D）4在映射下，區(qū)域的像為( )(A) （B）（C） （D）5下列命題中，正確的是( )（A）在復(fù)平

17、面上處處保角（此處為自然數(shù)）（B）映射在處的伸縮率為零（C） 若與是同時(shí)把單位圓映射到上半平面的分式線性變換，那么（D）函數(shù)構(gòu)成的映射屬于第二類保角映射6關(guān)于圓周的對(duì)稱點(diǎn)是( )（A） （B） （C） （D）7函數(shù)將角形域映射為 ( )(A) （B） （C） （D）8將點(diǎn)分別映射為點(diǎn)的分式線性變換為（ ）（B） （B）（C） (D) 9分式線性變換把圓周映射為( )（E） (B) （F） (D) 10分式線性變換將區(qū)域:且映射為( )（A） （B） （C） （D）11設(shè)為實(shí)數(shù)且，那么分式線性變換把上半平面映射為平面的( )（A）單位圓內(nèi)部 （B）單位圓外部 （C）上半平面 （D）下半平面12把

18、上半平面映射成圓域且滿足的分式線性變換為( )（A） （B） （C） （D）13把單位圓映射成單位圓且滿足的分式線性變換為( )(A) （B） （C） （D）14把帶形域映射成上半平面的一個(gè)映射可寫為( )（A） （B） （C） （D）15函數(shù)將帶形域映射為( )（A） （B） （C） （D）二、填空題1若函數(shù)在點(diǎn)解析且，那么映射在處具有 2將點(diǎn)分別映射為點(diǎn)的分式線性變換為 3把單位圓映射為圓域且滿足的分式線性變換 4將單位圓映射為圓域的分式線性變換的一般形式為 5把上半平面映射成單位圓且滿足的分式線性變換的= 6把角形域映射成圓域的一個(gè)映射可寫為 7映射將帶形域映射為 8映射將扇形域：且映射

19、為 9映射將上半平面映射為 10映射將上半單位圓：且映射為 三、設(shè)是兩個(gè)分式線性變換，如果記,試證1的逆變換為；2與的復(fù)合變換為四、設(shè)與是關(guān)于圓周的一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，試證明圓周可以寫成如下形式其中五、求分式線性變換，使映射為，且使映射為六、求把擴(kuò)充復(fù)平面上具有割痕：且的帶形域映射成帶形域的一個(gè)映射七、設(shè)，試求區(qū)域且到上半平面的一個(gè)映射八、求把具有割痕：且的單位圓映射成上半平面的一個(gè)映射九、求一分式線性變換，它把偏心圓域映射為同心圓環(huán)域，并求的值十、利用儒可夫斯基函數(shù)，求把橢圓的外部映射成單位圓外部的一個(gè)映射第二章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)一、1（B） 2（A） 3（D） 4（C） （B） （A） （D） （B） （D） 10（C）11（B） 12（C） 13（D） 14（C） 15（A）二、1 2 3 4 5 （或 ） 10三、（或）四、當(dāng)時(shí)解為或當(dāng)時(shí)解為.六、像的參數(shù)方程為表示平面上的橢圓.十、1在復(fù)平面除去原點(diǎn)外連續(xù)，在原點(diǎn)處不連續(xù)；2在復(fù)平面處處連續(xù).第二章 解析函數(shù)一、1（B） 2（B） 3（D） 4（C） （A） （C） （C） （C） （A） 10（D）