復(fù)變函數(shù)習(xí)題總匯與參考答案

1、復(fù)變函數(shù)習(xí)題總匯與參考答案第1章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)一、單項選擇題1、若Z1=（a, b）,Z2=(c, d),則Z1Z2=（C）A （ac+bd, a） B (ac-bd, b)C （ac-bd, ac+bd） D (ac+bd, bc-ad)2、若R0，則N（，R）= z：（D）A |z|R B 0|z|RC R|z|R3、若z=x+iy, 則y=(D)A B C D4、若A= ，則 |A|=（C）A 3 B 0 C 1 D 2二、填空題1、若z=x+iy, w=z2=u+iv, 則v=（ 2xy ）2、復(fù)平面上滿足Rez=4的點集為（ z=x+iy|x=4 ）3、（ 設(shè)E為點集，若它是開集，

2、且是連通的，則E ）稱為區(qū)域。4、設(shè)z0=x0+iy0, zn=xn+iyn(n=1,2,)，則zn以zo為極限的充分必要條件是 xn=x0，且 yn=y0。三、計算題1、求復(fù)數(shù)-1-i的實部、虛部、模與主輻角。解：Re(-1-i)=-1 Im(-1-i)=-1|-1-i|=2、寫出復(fù)數(shù)-i的三角式。解：3、寫出復(fù)數(shù) 的代數(shù)式。解：4、求根式 的值。解：四、證明題1、證明若 ，則a2+b2=1。證明：而 3、證明：證明：第2章 解析函數(shù)一、單項選擇題1若f(z)= x2-y2+2xyi,則2、若f(z)=u(x, y)+iv(x,y), 則柯西黎曼條件為（D）A BC D3、若f(z)=z+1

3、, 則f(z)在復(fù)平面上（C）A 僅在點z=0解析 B 無處解析C 處處解析 D 在z=0不解析且在z0解析4、若f（z）在復(fù)平面解析，g(z)在復(fù)平面上連續(xù)，則f(z)+g(z)在復(fù)平面上（C）A解析 B 可導(dǎo)C連續(xù) D 不連續(xù)二、填空題1、若f(z)在點a不解析，則稱a為f(z)的奇點。2、若f(z)在點z=1的鄰域可導(dǎo)，則f(z)在點z=1解析。3、若f(z)=z2+2z+1，則 4、若 ，則 不存在。三、計算題：1、設(shè)f(z)=zRe(z), 求解： =2、設(shè)f(z)=excosy+iexsiny,求解：f(z)=excosy+iexsiny=ez,z=x+iyu=excosy v=e

4、xsinyf(z)=u+ivf(z)在復(fù)平面解析，且 =excosy+iexsiny3、設(shè)f(z)=u+iv在區(qū)域G內(nèi)為解析函數(shù)，且滿足u=x3-3xy2，f(i)=0,試求f(z)。解：依C-R條件有Vy=ux=3x2-3y2則V（x1y）=3x2y-y3+c(c為常數(shù))故f(z)=x3-3xy2+i(3x2y-y3+c)=x3-3xy2+i(cx2y-y3)+ic =z3+ic，為使f(i)=0, 當x=0,y=1時，f(i)=0, 有f(0)=-i+ic=0c=1 f(z)=Z3+i4、設(shè)f(z)=u+iv在區(qū)域G內(nèi)為解析函數(shù)，且滿足u=2(x-1)y,f(2)=-i,試求f(z)。解：

5、依C-R條件有Vy=ux=2yV= =y2+(x) Vx=(x)=V=y2-x2+2x+c(c為常數(shù))f(z)=2(x-1)y+i(y2-x2+2x+c)為使f(z)=-i,當x=2 y=0時,f(2)=ci=-i c=-1f(z)=2(x-1)y+i(y2-x2+2x-1) =-(z-1)2i四、證明題1、試在復(fù)平面討論f(z)=iz的解析性。解：令f(z)=u+iv z=x+iy則iz=i(x+iy)=-y+ixu=-y v=x于是ux=0 uy=-1Vx=1 Vy=0ux、uy、vx在復(fù)平面內(nèi)處處連接又Ux=Vy Uy=-Vx。f(z)=iz在復(fù)平面解析。2、試證：若函數(shù)f(z)在區(qū)域G

6、內(nèi)為解析函數(shù)，且滿足條件（z）=0，zG，則f(z)在G內(nèi)為常數(shù)。證：設(shè)f(z)=u+iv,z=x+iy,zGf(z)在G內(nèi)解析，Ux=Vy, Uy=-Vx又（z）=0, （z）=Ux+iVxUx=0 Vx=0Uy=-Vx=0 Ux=Vy=0U為實常數(shù)C1，V也為實常數(shù)C2，f(z)=C1+iC2=Z0f(z)在G內(nèi)為常數(shù)。復(fù)變函數(shù)課程作業(yè)參考解答2第3章 初等函數(shù)一、單項選擇題1. z = ( A ) 是根式函數(shù)的支點. (A) 0 (B) 1 (C) (D) i2. z = ( D ) 是函數(shù)的支點. (A) i (B) 2i (C) -1 (D) 03. ei =( B ). (A) e

7、-1+e (B) cos1+isin1 (C) sin1 (D) cos14. sin1= ( A ) (A) (B) (C) (D) 二、填空題1. cosi = 2. = e(cos1+isin1)3. lni =4. ln(1+i) = k為整數(shù).三、計算題1. 設(shè)z=x+iy，計算.解: = = 2. 設(shè)z = x+iy, 計算. 解: z = x+iy 3. 求方程的解.解: lnz = 由對數(shù)函數(shù)的定義有: Z= 所給方程的解為z = i4. 求方程的解.解: =根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義有:z=n2+i 或z=n(1+)四、證明題1. 試證: . 證明：根據(jù)正弦函數(shù)及余弦正數(shù)定義有： s

8、in2z=2sinzcosz2. 證明: . 證明: 令A(yù)= B=sinx+sin2x+sinnx = 第4章 解析函數(shù)的積分理論一、單項選擇題1. ( D ) , c為起點在0 , 終點在1+i的直線段. (A) 0 (B) 1 (C) 2i (D) 2(1+i)2. . (A) 0 (B) 10 (C) i (D) 3. (A) i (B) 10 (C) 10i (D) 04. =( A ). (A) (B) (C) (D) 二、填空題1. 若與沿曲線c可積，則.2. 設(shè)L為曲線c的長度, 若f(z)沿c可積, 且在c上滿足,則.3. 4. 三、計算題1.計算積分,其中c為自0到2+i的直

9、線段. 解: c的方程為: 其次由得 = =2. 計算積分. 解: = 作區(qū)域D:積分途徑在D內(nèi)被積函數(shù)的奇點Z=2與Z=3均不在D內(nèi),所以被積函數(shù)在D內(nèi)解析.由定理4.2得:=03. 計算積分. 解: 奇點z=1和z=-1不在區(qū)域D,內(nèi) 的三個根也不在D內(nèi) 由定理4.2 得 =04. 計算積分, . 解: 由定理4.6得 四、證明題1. 計算積分，并由此證明. 證明：在圓域 |z|1內(nèi)解析 = 另一方面,在圓|z|= =(實部和虛部為0) = = = = =0 而為偶函數(shù)0= = 復(fù)變函數(shù)課程作業(yè)參考解答3第5章 解析函數(shù)的冪級數(shù)表示一、單項選擇題1. 冪級數(shù)的收斂半徑等于( B ) ( A

10、 ) 0 (B) 1 ( C ) 2 (D) 32. 點z=-1是f(z)=r ( B )級零點. ( A ) 1 (B)2 (C)3 (D)53. 級數(shù)的收斂圓為( D ). (A) | z-1| 3 (B) |z|1 (D) |z| 14. 設(shè)f(z)在點a解析, 點b是f(z)的奇點中離點a最近的奇點,于是,使f(z)=成立的收斂圓的半徑等于( C ). (A) a+b+1 (B) b-a+1(C) |a-b| (D) |a+b|二、填空題1.級數(shù)1+z+的收斂圓R=+即整個復(fù)平面2.若f(z)= (k為常數(shù)),則z=m(m=0, )為f(z)的 1 級零點. 3.冪有數(shù)的收斂半徑等于

11、0 . 4.z=0是f(z)=ez-1的 1 級零點. 三、計算題 1.將函數(shù)f(z)=在點z=0展開冪級數(shù). 解: f(z)= =- 2.將函數(shù)f(z)=(1-z)-2在點z=0展開成冪級數(shù). 解：而(1-z)-1= = 3將函數(shù)f(z)=(z+2)-1在點z=1展開成冪級數(shù). 解：f(z)=(z+2)-1= = 4將函數(shù)f(z)=ez在點z=1展開成冪級數(shù). 解： f(z)=ez f(n)=ez 四、證明題 1證明:1-ei2z=-2isinzeiz 證：eiz=cosz+isinze-iz=cos-isinz eiz-e-iz=2isinz -2isinz=-( eiz-e-iz) =

12、eiz-e-iz -2isinz eiz=( e-iz- eiz) eiz =e0- e2iz=1- e2iz2試用解析函數(shù)的唯一性定理證明等式: cos2z= cos2z-sin2z 證f1(z)=cos2z,則f1(z)復(fù)平面G解析設(shè)f2(z)coszsin2，則f2(z)也在整個復(fù)平面G解析取E=K為實數(shù)軸,則E在G內(nèi)有聚點.當E為實數(shù)時,知cos2z=cos2z-sin2z,即f1(z)= f2(z)由解析函數(shù)唯一性定理,由以上三條知f1(z)= f2(z) 成立即cos2z= cos2z-sin2z 第6章 解析函數(shù)的羅朗級數(shù)表示 一、單項選擇題 1函數(shù)f(z)=在點z=2的去心鄰域

13、( D ) 內(nèi)可展成羅朗級數(shù). (A) 0 (B) 0 (C) 1 (D) 0 2設(shè)點為f(z)的孤立奇點，若=c，則點為f(z)的( C ). (A) 本性奇點 (B) 極點 (C) 可去奇點 (D) 解析點 3若點為函數(shù)f(z)的孤立奇點，則點為f(z)的極點的充分必要條件是( D ). (A) f(z)=c() (B) f(z)= (C) f(z)=c() (D) f(z)= 4若點為函數(shù)f(z)的孤立奇點，則點為f(z)的本性奇點的充要條件是（ B ）. (A) f(z)= c() (B) f(z)不存在 (C) f(z)=c() (D) f(Z)= 二、填空題 1設(shè)為函數(shù)f(z)在點的羅朗級數(shù),稱為該級數(shù)的主要部分. 2.設(shè)點為函數(shù)f(z)的奇點,若f(z)在點的某個 某個去心鄰域內(nèi)解析,則稱點為f(z)的孤立奇點. 3.若f(z)=，則點z=0為f(z)的 0 級極點. 不是極點,若f(z)= 則z=0為f(z)的一個極點. 4.若f(z)=(sin)-1,則點z0為f(z)非孤立 奇點. 三、計算題1將函數(shù)f(z)=(z-2)-1在點z=0的去心鄰域展成羅朗級數(shù).解: f(z)=- =- 2將函數(shù)f(z)在點的去心鄰域展成羅朗級數(shù). 解: f(z)= 3試求函數(shù)f(z)=z-3sinz3的有限奇點,并判定奇點的類別. 解: 解析,無奇點,f(z)的