單相正弦電路分析

1、電路分析基礎(chǔ)講義第 3 章單相正弦電路分析第 3 章單相正弦電路分析學習要點理解正弦交流電的幅值與有效值、頻率與周期、初相與相位差等特征量掌握正弦交流電的相量表示法掌握電路 KCL、 KVL和元件伏安關(guān)系的相量形式，理解阻抗的概念掌握用相量圖和相量關(guān)系式分析和計算簡單正弦交流電路的方法掌握正弦交流電路的有功功率、無功功率、視在功率、功率因數(shù)的含義和計算了解正弦交流電路的瞬時功率和提高功率因數(shù)的方法及意義了解正弦交流電路的頻率特性、串聯(lián)諧振和并聯(lián)諧振的條件與特征單相正弦電路分析3.1正弦交流電的基本概念3.2正弦交流電的相量表示法3.3KCL、 KVL 及元件伏安關(guān)系的相量形式3.4簡單正弦交流

2、電路的分析3.5正弦電路的功率3.6交流電路的頻率特性3.1正弦交流電的基本概念隨時間按正弦規(guī)律變化的電壓、電流稱為正弦電壓和正弦電流。表達式為：uU m sin( tu )iI m sin( ti )正弦量的三要素以正弦電流為例iI m sin( ti )振幅、角頻率和初相稱為正弦量的的三要素。iI m波形： iO t周期 T：正弦量完整變化一周所需要的時間頻率 f ： 正弦量在單位時間內(nèi)變化的周數(shù)周期與頻率的關(guān)系：f1T角頻率 ：正弦量單位時間內(nèi)變化的弧度數(shù)角頻率與周期及頻率的關(guān)系：22fT1電路分析基礎(chǔ)講義第 3 章單相正弦電路分析相位差相位：正弦量表達式中的角度初相： t =0 時的相

3、位相位差：兩個同頻率正弦量的相位之差，其值等于它們的初相之差。如uU m sin(tu )iI m sin(ti )相位差為：(tu ) (ti )ui0， u 與 i 同相。0， u 超前 i，或 i 滯后 u。， u 與 i 反相。2，u 與 i 正交。u、iuu、 iuiiO tO t(a)u 與 i 同相(b)u 超前 iu、iuiu、iuiO tO t(c)u 與 i 反相(d)u 與 i 正交3.1.3有效值周期電流有效值：讓周期電流i 和直流電流 I 分別通過兩個阻值相等的電阻R，如果在相同的時間 T 內(nèi)，兩個電阻消耗的能量相等，則稱該直流電流I 的值為周期電流i 的有效值。根據(jù)

4、有效值的定義有：I 2RTT2 Rdti0周期電流的有效值為：1T2IT0i dt對于正弦電流，因i (t )I m sin(ti )所以正弦電流的有效值為：I1T 22(t i )dtT0 I m sinI m0.707 I m2同理，正弦電壓的有效值為：UU m0.707U m22電路分析基礎(chǔ)講義第 3 章單相正弦電路分析3.2正弦交流電的相量表示法相量法是求解正弦穩(wěn)態(tài)電路的簡單方法。復數(shù)及其運算復數(shù) A 可用復平面上的有向線段來表示。該有向線段的長度a 稱為復數(shù) A 的模，?？偸侨≌?。該有向線段與實軸正方向的夾角 稱為復數(shù) A的輻角。+ja2AaOa1+1復數(shù) A 的實部 a1 及虛部

5、 a2 與模 a 及輻角 的關(guān)系為：a1a sina2a cos+jarctg a2a2aa12a22a1O根據(jù)以上關(guān)系式及歐拉公式ejcosj sin可將復數(shù) A表示成代數(shù)型、三角函數(shù)型、指數(shù)型和極坐標型Aaja2a cosja sinae ja1復數(shù)的四則運算：設(shè)兩復數(shù)為：Aa1 ja 2a 1B b1jb2(1) 相等。若 a1=b1， a2=b2，則 A=B。(2) 加減運算：Aaa1+14 種形式。b2A B (a1 b1)j (a2b2 )(3) 乘除運算：A B aej 1bej2abej ( 12 )ab ( 1 2 )A aej 1a ej ( 12 )a(12 )B bej

6、 2bb正弦量的相量表示法將復數(shù) I m i 乘上因子 1 t ，其模不變，輻角隨時間均勻增加。即在復平面上以角速度逆時針旋轉(zhuǎn)，其在虛軸上的投影等于I m sin( t+i ) ，正好是用正弦函數(shù)表示的正弦電流 i ?？梢姀蛿?shù) I m i 與正弦電流i = I m sin( t+i ) 是相互對應(yīng)的關(guān)系， 可用復數(shù) I m i 來表示正弦電流 i ，記為I m I mej iI mi并稱其為相量。3電路分析基礎(chǔ)講義第 3 章單相正弦電路分析+jiImI miO+1i O t(a)以角速度 旋轉(zhuǎn)的復數(shù)(b)旋轉(zhuǎn)復數(shù)在虛軸上的投影正弦量相量iI m sin(ti )I mI mi2I sin( t

7、i )II iuU m sin(tu )U mU mu2U sin(tu )UUu有效值相量和振幅相量的關(guān)系：I m2IU m2U3.3KCL、 KVL及元件伏安關(guān)系的相量形式相量運算規(guī)則規(guī)則 1：若 i為正弦量，代表它的相量為i，則 ki也是正弦量，代表它的相量為kI &。規(guī)則 2：若 i 1 與 i2 為同頻率的正弦量，代表它們的相量分別為I1& 與 I2& ，則 I1&I 2& 也是同頻率的正弦量，其相量為I1&I 2& 。規(guī)則 ：若 i1與i2為同頻率的正弦量，代表它們的相量分別為&&i 23I 1與I 2 ，則

8、i 1 =的充分必要條件是代表它們的相量相等，即：I1&=I2&。規(guī)則 4：若 i為角頻率為 的正弦量，代表它的相量為I&，則dtdi也是同頻率的正弦量，其相量為jwI & 。例：i 162 sin(t30 )ii 282 sin(t60 )i1i 2求 i =i 1+i 2I16305.196j34電路分析基礎(chǔ)講義第 3 章單相正弦電路分析I28604j 6.928II 1I 2(5.196j 3)( 4j 6.928)9.296j 3.928 1023.1 Ai102 sin( t23.1 )AI 1相量圖：30 °23.1 °60 &#

9、176;II 2元件伏安關(guān)系的相量形式在以下的推導過程中，設(shè)元件兩端的電壓和流過元件的電流均采用關(guān)聯(lián)參考方向。并設(shè)電壓、電流的瞬時表達式分別為：u2U sin(tu )i2I sin(ti )則代表它們的相量分別為：UUuIIi1、電阻元件電阻元件伏安關(guān)系：u=Ri根據(jù)相量運算的規(guī)則1 和規(guī)則 3，有：U &RI &將 UU u 、 II i代入，得：UuRI iURIiR+u ui(a)電阻元件2、電感元件電感元件伏安關(guān)系：根據(jù)相量運算的規(guī)則1、規(guī)則3 和規(guī)則4 ，有：I U u= i(b) 相量圖UjLIjX L IiL將 UUu 、 IIi 代入，得：+uUujLI iL

10、I( i90)(a)電感元件ULIX L IU uI i90ui(b)相量圖感抗： XL= L，與頻率成正比。5電路分析基礎(chǔ)講義第 3 章單相正弦電路分析3、電容元件電感元件伏安關(guān)系：根據(jù)相量運算的規(guī)則1、規(guī)則 3 和規(guī)則 4 ，有：IjCUICU1jX C I或UjIiu 90CiC+u(a)電容元件容抗： XC=1/ C，與頻率成反比。I iU u3.3.3 KCL 、 KVL的相量形式(b)相量圖KCL:I 0KVL:U0例：圖示電路，電流表A1、 A2 的讀數(shù)均為10A，求電流表A 的讀數(shù)。解 ：由 KCL有II1I 2AAA 2+1作相量圖，由相量圖得：uRLII12I 22I122

11、U101045°10214.1AI 2I例：圖示串聯(lián)電路=100， C 100 F，s=100sin100tV，求ii、R和uC，并畫出RC，R=uu相量圖。+解 ： U s1000 V+RuRus11XC100C+C10010010 6uCU sU RU CU RRIU s U RU C RI jX CI ( R jX C )IU CjX C I6電路分析基礎(chǔ)講義第 3 章單相正弦電路分析U s10001000I100j100100 20.5 2 45AR jX C45U RRI 100 0.524550245U CjX CIj1000.5245502 45isin(100t45

12、)AU RuR100sin(100t45 )V45° UIuC100sin(100t45 )V45°U C3.4簡單正弦電路的分析將正弦交流電路中的電壓、電流用相量表示， 元件參數(shù)用阻抗來代替。運用基爾霍夫定律的相量形式和元件歐姆定律的相量形式來求解正弦交流電路的方法稱為相量法。運用相量法分析正弦交流電路時，直流電路中的結(jié)論、定理和分析方法同樣適用于正弦交流電路。3.4.1阻抗1阻抗的定義定義無源二端網(wǎng)絡(luò)端口電壓相量和端口電流相量的比值為該無源二端網(wǎng)絡(luò)的阻抗，并用符號Z 表示，即：ZU m或UI mZII無源I+二端UUZ網(wǎng)絡(luò)(a)無源二端網(wǎng)絡(luò)(b)等效電路U m ZI m

13、或U ZI稱為歐姆定律的相量形式。電阻、電感、電容的阻抗：ZRRZLjX Lj LZCjX Cj 1相量模型C將所有元件以相量形式表示：IRIjXLIjXC+U+U+U7電路分析基礎(chǔ)講義第 3 章單相正弦電路分析2阻抗的性質(zhì)ZR jX | Z |z| Z |R2X2zarctg XRR| Z | coszX| Z | sin zUUuUi )ZI(uIiI| Z |UU mzzuizII mzRLC串聯(lián)電路相量模型將所有元件以相量形式表示：CjX C的阻抗Lj X L的阻抗R R 的阻抗u, iU & , I & 相量0電壓超前電流，感性0電壓滯后電流，容性0電壓電流同相，阻性

14、i +uRI+RU+R+R+jXL U LuLuLUUC + uC+CjXC(a)RLC 串聯(lián)電路(b)相量模型由歐姆定律：I +URU RRI+RU LjX L IjXLU LU U CU CjX C I+jXC8電路分析基礎(chǔ)講義第 3 章單相正弦電路分析由 KVL：U U RU LU C R j ( X LXC)I ZIZ ZRZLZC R j ( X LX C ) R jXUU R2(U LUC)2I R2( X LX C)2arctgXarctgXL XCuiziiRR（1）當L1時，X>0，C（2）當L1時，X<0，C（3）當L1時，X=0，CU Lzzz0 ，電路呈感性

15、。0 ，電路呈容性。0 ，電路呈電阻性。ULULU CUU RU CIIIU RU RUU CU LU CU C(a)X > 0(b)X < 0(c)X = 0例： RLC 串聯(lián)電路。已知R=5k ，L=6mH，C=0.001 F， U=5sin106 t V。 (1)求電流 i和各元件上的電壓， 畫出相量圖； (2) 當角頻率變?yōu)?2× 105rad/s時，電路的性質(zhì)有無改變。解： (1) XLL1066 1036 kX C16161 k C0.0011010ZRj ( X LX C )5j (61)5 245k z 0 ，電路呈感性。由u 52 sin 106 tV得

16、電壓向量：U m52045 mAI mZ52145U RmRI m5145545 VU LU LmjX L I mj 6 145 6 45VUU CmjX C I mj 11451135 VU CU RI9電路分析基礎(chǔ)講義第 3 章單相正弦電路分析isin(106 t 45 ) Au R5 sin(10 6 t45 )Vu L6 sin(10 6 t45 )Vu Rsin(106 t135 )V(2) 當角頻率變?yōu)?2× 105rad/s 時，電路阻抗為：Z Rj ( X LX C )5j (2 105 6 10 351106 )2100.0015j8.810.1260.4 kz 0

17、 ，電路呈容性。3.4.3RLC并聯(lián)電路3.4.4iI+iRiLiC+IRI LI CuRLC URjXLjXC(a)RLC并聯(lián)電路(b) 相量模型UI LUI CUI RjX LjX CRI U1j(11)RX LXC若已知UUu，便可求出各個電流相量。例： RLC并聯(lián)電路中。已知=5 ，=5 H， =0.4 F，電壓有效值=10V， =106rad/s ，RLCU求總電流 i，并說明電路的性質(zhì)。解： XLL106510 65X C112.5C1060.410 6設(shè) U 100V則I RU 1002AR5I LU100jX Lj 2Aj 5I CU100jX Cj 4Aj 2.510電路分析

18、基礎(chǔ)講義第 3 章單相正弦電路分析II RI LI C2j 2j 42j 22 245 Ai4 sin(106t45 )A因為電流的相位超前電壓，所以電路呈容性。阻抗的串聯(lián)與并聯(lián)+I+II1I 2Z1U 1UUZ1Z2Z2+U 2(a) 兩個阻抗串聯(lián)ZZ1Z2Z1U1UZ1Z2Z2U 2UZ1Z2(b) 兩個阻抗并聯(lián)Z Z1Z2 Z1 Z2Z2I 1IZ1Z2Z1I 2IZ1Z2例：圖示電路，Z1(6.16 j 9) ，+I+Z2 (2.5 j 4)， U 10030 V ，求總電流U 1Z1I 及各阻抗的電壓 U 1 和 U 2 ，并畫出相量圖。U+Z2U 2解：ZZ1Z 26.16 j 9

19、 2.5 j 48.66j 510 30U10030U 1I1010 0AZ3055.6 °UU1 Z1I(6.16j 9)10 010.955.610010955.6 VU2 Z2I(2.5j 4)1004.725810047.258 V例：圖示電路，Z1(1j1) ，Z 2 (3 j 4) ， U100V ，求總電流 I及各阻抗的電流I 1 和 I 2 ，并畫出相量圖。Z1Z2(1j1)(3j 4)7j1Z1 j13 j 44j 3Z1 Z230 °I 58°U 2+II1I2UZ1Z2528.1536.9228.811電路分析基礎(chǔ)講義第 3 章單相正弦電路分

20、析U10 05228.8 AI228.8ZI1Z2I3j 45228.8I1Z 2j13Z11j 445°I553.15228.85245 A28.8°536.953.1°UZ11j1I 2I5228.8I 2Z2j13j 4Z112455228.8253.1 A536.93.5正弦電路的功率3.5.1二端網(wǎng)絡(luò)的功率1瞬時功率設(shè)ui則： i2I sin wtu2U sin( wt)pui2I sint2U sin(t) UI coscos(2 t)+iNu-2平均功率（有功功率）1T1 Tcos(2 t)dt UI cosP0 pdtT0UI cosTP UI c

21、oscos稱功率因數(shù)。對無源二端網(wǎng)絡(luò)，=z 。對電阻元件 R，0 ， PUI 。對電感元件 L，90， P0。對電容元件 C，90， P0 ?？梢婋娮杩偸窍哪芰康?，而電感和電容是不消耗能量的，其平均功率都為0。平均功率就是反映電路實際消耗的功率。無源二端網(wǎng)絡(luò)各電阻所消耗的平均功率之和，就是該電路所消耗的平均功率。12電路分析基礎(chǔ)講義3無功功率QUI sin單位為 Var表示二端網(wǎng)絡(luò)與外電路進行能量交換的幅度。對電阻元件 ，0，Q 0。R對電感元件 L，90， QUI 。對電容元件 C，90， QUI 。4視在功率SUI單位為伏安表示用電設(shè)備的容量。平均功率 P、無功功率Q和視在功率S 的關(guān)系

22、：S2P2Q2例：圖示電路。已知 R=2 ，L=1H，C=0.25F ，U=10功率 Q、視在功率 S和功率因數(shù) 解：U100VX LL212X C112C20.25Z(RjX L )(jX C )(2j 2)(j 2)RjX LjX C2j 2j 22j 22245IU1002.5 245 AZ2245cos zcos( 45 )0.707PUI cosz102.520.70725WQ UI sin z 25VarS UI252VA3.5.2功率因數(shù)的提高+1、提高功率因數(shù)的意義：I(1) 提高發(fā)、配電設(shè)備的利用率；電(2) 減少輸電線路的電壓降和功率損失。U動2、提高功率因數(shù)的方法：機在感

23、性負載上并聯(lián)適當?shù)碾娙?。QCPCU 22 fU 2 (tan 1 tan2 )第 3 章單相正弦電路分析sin2t V。求電路的有功功率P、無功i+i1i 2RuCLI1ICICIURCILICI113電路分析基礎(chǔ)講義第 3 章單相正弦電路分析例：一臺功率為11kW 的感應(yīng)電動機，接在220 V 、 50 Hz 的電路中，電動機需要的電流為100 A。（ 1）求電動機的功率因數(shù)；（ 2）若要將功率因數(shù)提高到 0.9 ，應(yīng)在電動機兩端并聯(lián)一個多大的電容器？（ 3）計算并聯(lián)電容器后的電流值；（ 4）若再將功率因數(shù)提高到 1，應(yīng)再在電動機兩端并聯(lián)一個多大的電容器？解： (1)cosP11 10310

24、.5UI L220 1001arccos0.560（ 2）2 arccos0.9 25.8P2 (tan1110 3C1tan 2 )2 (tan 60 tan 25.8 ) 900 F2 fU2 3.1450 220（ 3）P11103I22055.6AU cos20.9（ 4）3 arccos10CP(tan2tan11103(tan 25.8 tan 0 ) 350 F2 fU 23 )50 22022 3.14IP11 10350U cos 3220 13.6交流電路的頻率特性交流電路中，感抗和容抗都與頻率有關(guān)，當電源電壓（激勵）的頻率改變時，即使電壓的幅值不變，電路中各部分電流和電壓（響應(yīng)）的大小和相位也會隨著改變。響應(yīng)與頻率的關(guān)系稱為電路的頻率特性或頻率響應(yīng)。RC電路的頻率特性1、 RC低通濾波電路R1U 2jC1+T ( j)11 j RCU1Ru1Cu2j C1arctan( R