單相正弦電路分析

1、電路分析基礎(chǔ)講義第 3 章單相正弦電路分析第 3 章單相正弦電路分析學(xué)習(xí)要點(diǎn)理解正弦交流電的幅值與有效值、頻率與周期、初相與相位差等特征量掌握正弦交流電的相量表示法掌握電路 KCL、 KVL和元件伏安關(guān)系的相量形式，理解阻抗的概念掌握用相量圖和相量關(guān)系式分析和計(jì)算簡(jiǎn)單正弦交流電路的方法掌握正弦交流電路的有功功率、無(wú)功功率、視在功率、功率因數(shù)的含義和計(jì)算了解正弦交流電路的瞬時(shí)功率和提高功率因數(shù)的方法及意義了解正弦交流電路的頻率特性、串聯(lián)諧振和并聯(lián)諧振的條件與特征單相正弦電路分析3.1正弦交流電的基本概念3.2正弦交流電的相量表示法3.3KCL、 KVL 及元件伏安關(guān)系的相量形式3.4簡(jiǎn)單正弦交流

2、電路的分析3.5正弦電路的功率3.6交流電路的頻率特性3.1正弦交流電的基本概念隨時(shí)間按正弦規(guī)律變化的電壓、電流稱(chēng)為正弦電壓和正弦電流。表達(dá)式為：uU m sin( tu )iI m sin( ti )正弦量的三要素以正弦電流為例iI m sin( ti )振幅、角頻率和初相稱(chēng)為正弦量的的三要素。iI m波形： iO t周期 T：正弦量完整變化一周所需要的時(shí)間頻率 f ： 正弦量在單位時(shí)間內(nèi)變化的周數(shù)周期與頻率的關(guān)系：f1T角頻率 ：正弦量單位時(shí)間內(nèi)變化的弧度數(shù)角頻率與周期及頻率的關(guān)系：22fT1電路分析基礎(chǔ)講義第 3 章單相正弦電路分析相位差相位：正弦量表達(dá)式中的角度初相： t =0 時(shí)的相

3、位相位差：兩個(gè)同頻率正弦量的相位之差，其值等于它們的初相之差。如uU m sin(tu )iI m sin(ti )相位差為：(tu ) (ti )ui0， u 與 i 同相。0， u 超前 i，或 i 滯后 u。， u 與 i 反相。2，u 與 i 正交。u、iuu、 iuiiO tO t(a)u 與 i 同相(b)u 超前 iu、iuiu、iuiO tO t(c)u 與 i 反相(d)u 與 i 正交3.1.3有效值周期電流有效值：讓周期電流i 和直流電流 I 分別通過(guò)兩個(gè)阻值相等的電阻R，如果在相同的時(shí)間 T 內(nèi)，兩個(gè)電阻消耗的能量相等，則稱(chēng)該直流電流I 的值為周期電流i 的有效值。根據(jù)

4、有效值的定義有：I 2RTT2 Rdti0周期電流的有效值為：1T2IT0i dt對(duì)于正弦電流，因i (t )I m sin(ti )所以正弦電流的有效值為：I1T 22(t i )dtT0 I m sinI m0.707 I m2同理，正弦電壓的有效值為：UU m0.707U m22電路分析基礎(chǔ)講義第 3 章單相正弦電路分析3.2正弦交流電的相量表示法相量法是求解正弦穩(wěn)態(tài)電路的簡(jiǎn)單方法。復(fù)數(shù)及其運(yùn)算復(fù)數(shù) A 可用復(fù)平面上的有向線段來(lái)表示。該有向線段的長(zhǎng)度a 稱(chēng)為復(fù)數(shù) A 的模，模總是取正值。該有向線段與實(shí)軸正方向的夾角 稱(chēng)為復(fù)數(shù) A的輻角。+ja2AaOa1+1復(fù)數(shù) A 的實(shí)部 a1 及虛部

5、 a2 與模 a 及輻角 的關(guān)系為：a1a sina2a cos+jarctg a2a2aa12a22a1O根據(jù)以上關(guān)系式及歐拉公式ejcosj sin可將復(fù)數(shù) A表示成代數(shù)型、三角函數(shù)型、指數(shù)型和極坐標(biāo)型Aaja2a cosja sinae ja1復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算：設(shè)兩復(fù)數(shù)為：Aa1 ja 2a 1B b1jb2(1) 相等。若 a1=b1， a2=b2，則 A=B。(2) 加減運(yùn)算：Aaa1+14 種形式。b2A B (a1 b1)j (a2b2 )(3) 乘除運(yùn)算：A B aej 1bej2abej ( 12 )ab ( 1 2 )A aej 1a ej ( 12 )a(12 )B bej

6、 2bb正弦量的相量表示法將復(fù)數(shù) I m i 乘上因子 1 t ，其模不變，輻角隨時(shí)間均勻增加。即在復(fù)平面上以角速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，其在虛軸上的投影等于I m sin( t+i ) ，正好是用正弦函數(shù)表示的正弦電流 i ?？梢?jiàn)復(fù)數(shù) I m i 與正弦電流i = I m sin( t+i ) 是相互對(duì)應(yīng)的關(guān)系， 可用復(fù)數(shù) I m i 來(lái)表示正弦電流 i ，記為I m I mej iI mi并稱(chēng)其為相量。3電路分析基礎(chǔ)講義第 3 章單相正弦電路分析+jiImI miO+1i O t(a)以角速度 旋轉(zhuǎn)的復(fù)數(shù)(b)旋轉(zhuǎn)復(fù)數(shù)在虛軸上的投影正弦量相量iI m sin(ti )I mI mi2I sin( t

7、i )II iuU m sin(tu )U mU mu2U sin(tu )UUu有效值相量和振幅相量的關(guān)系：I m2IU m2U3.3KCL、 KVL及元件伏安關(guān)系的相量形式相量運(yùn)算規(guī)則規(guī)則 1：若 i為正弦量，代表它的相量為i，則 ki也是正弦量，代表它的相量為kI &。規(guī)則 2：若 i 1 與 i2 為同頻率的正弦量，代表它們的相量分別為I1& 與 I2& ，則 I1&I 2& 也是同頻率的正弦量，其相量為I1&I 2& 。規(guī)則 ：若 i1與i2為同頻率的正弦量，代表它們的相量分別為&&i 23I 1與I 2 ，則

8、i 1 =的充分必要條件是代表它們的相量相等，即：I1&=I2&。規(guī)則 4：若 i為角頻率為 的正弦量，代表它的相量為I&，則dtdi也是同頻率的正弦量，其相量為jwI & 。例：i 162 sin(t30 )ii 282 sin(t60 )i1i 2求 i =i 1+i 2I16305.196j34電路分析基礎(chǔ)講義第 3 章單相正弦電路分析I28604j 6.928II 1I 2(5.196j 3)( 4j 6.928)9.296j 3.928 1023.1 Ai102 sin( t23.1 )AI 1相量圖：30 °23.1 °60 &#

9、176;II 2元件伏安關(guān)系的相量形式在以下的推導(dǎo)過(guò)程中，設(shè)元件兩端的電壓和流過(guò)元件的電流均采用關(guān)聯(lián)參考方向。并設(shè)電壓、電流的瞬時(shí)表達(dá)式分別為：u2U sin(tu )i2I sin(ti )則代表它們的相量分別為：UUuIIi1、電阻元件電阻元件伏安關(guān)系：u=Ri根據(jù)相量運(yùn)算的規(guī)則1 和規(guī)則 3，有：U &RI &將 UU u 、 II i代入，得：UuRI iURIiR+u ui(a)電阻元件2、電感元件電感元件伏安關(guān)系：根據(jù)相量運(yùn)算的規(guī)則1、規(guī)則3 和規(guī)則4 ，有：I U u= i(b) 相量圖UjLIjX L IiL將 UUu 、 IIi 代入，得：+uUujLI iL

10、I( i90)(a)電感元件ULIX L IU uI i90ui(b)相量圖感抗： XL= L，與頻率成正比。5電路分析基礎(chǔ)講義第 3 章單相正弦電路分析3、電容元件電感元件伏安關(guān)系：根據(jù)相量運(yùn)算的規(guī)則1、規(guī)則 3 和規(guī)則 4 ，有：IjCUICU1jX C I或UjIiu 90CiC+u(a)電容元件容抗： XC=1/ C，與頻率成反比。I iU u3.3.3 KCL 、 KVL的相量形式(b)相量圖KCL:I 0KVL:U0例：圖示電路，電流表A1、 A2 的讀數(shù)均為10A，求電流表A 的讀數(shù)。解 ：由 KCL有II1I 2AAA 2+1作相量圖，由相量圖得：uRLII12I 22I122

11、U101045°10214.1AI 2I例：圖示串聯(lián)電路=100， C 100 F，s=100sin100tV，求ii、R和uC，并畫(huà)出RC，R=uu相量圖。+解 ： U s1000 V+RuRus11XC100C+C10010010 6uCU sU RU CU RRIU s U RU C RI jX CI ( R jX C )IU CjX C I6電路分析基礎(chǔ)講義第 3 章單相正弦電路分析U s10001000I100j100100 20.5 2 45AR jX C45U RRI 100 0.524550245U CjX CIj1000.5245502 45isin(100t45

12、)AU RuR100sin(100t45 )V45° UIuC100sin(100t45 )V45°U C3.4簡(jiǎn)單正弦電路的分析將正弦交流電路中的電壓、電流用相量表示， 元件參數(shù)用阻抗來(lái)代替。運(yùn)用基爾霍夫定律的相量形式和元件歐姆定律的相量形式來(lái)求解正弦交流電路的方法稱(chēng)為相量法。運(yùn)用相量法分析正弦交流電路時(shí)，直流電路中的結(jié)論、定理和分析方法同樣適用于正弦交流電路。3.4.1阻抗1阻抗的定義定義無(wú)源二端網(wǎng)絡(luò)端口電壓相量和端口電流相量的比值為該無(wú)源二端網(wǎng)絡(luò)的阻抗，并用符號(hào)Z 表示，即：ZU m或UI mZII無(wú)源I+二端UUZ網(wǎng)絡(luò)(a)無(wú)源二端網(wǎng)絡(luò)(b)等效電路U m ZI m

13、或U ZI稱(chēng)為歐姆定律的相量形式。電阻、電感、電容的阻抗：ZRRZLjX Lj LZCjX Cj 1相量模型C將所有元件以相量形式表示：IRIjXLIjXC+U+U+U7電路分析基礎(chǔ)講義第 3 章單相正弦電路分析2阻抗的性質(zhì)ZR jX | Z |z| Z |R2X2zarctg XRR| Z | coszX| Z | sin zUUuUi )ZI(uIiI| Z |UU mzzuizII mzRLC串聯(lián)電路相量模型將所有元件以相量形式表示：CjX C的阻抗Lj X L的阻抗R R 的阻抗u, iU & , I & 相量0電壓超前電流，感性0電壓滯后電流，容性0電壓電流同相，阻性

14、i +uRI+RU+R+R+jXL U LuLuLUUC + uC+CjXC(a)RLC 串聯(lián)電路(b)相量模型由歐姆定律：I +URU RRI+RU LjX L IjXLU LU U CU CjX C I+jXC8電路分析基礎(chǔ)講義第 3 章單相正弦電路分析由 KVL：U U RU LU C R j ( X LXC)I ZIZ ZRZLZC R j ( X LX C ) R jXUU R2(U LUC)2I R2( X LX C)2arctgXarctgXL XCuiziiRR（1）當(dāng)L1時(shí)，X>0，C（2）當(dāng)L1時(shí)，X<0，C（3）當(dāng)L1時(shí)，X=0，CU Lzzz0 ，電路呈感性

15、。0 ，電路呈容性。0 ，電路呈電阻性。ULULU CUU RU CIIIU RU RUU CU LU CU C(a)X > 0(b)X < 0(c)X = 0例： RLC 串聯(lián)電路。已知R=5k ，L=6mH，C=0.001 F， U=5sin106 t V。 (1)求電流 i和各元件上的電壓， 畫(huà)出相量圖； (2) 當(dāng)角頻率變?yōu)?2× 105rad/s時(shí)，電路的性質(zhì)有無(wú)改變。解： (1) XLL1066 1036 kX C16161 k C0.0011010ZRj ( X LX C )5j (61)5 245k z 0 ，電路呈感性。由u 52 sin 106 tV得

16、電壓向量：U m52045 mAI mZ52145U RmRI m5145545 VU LU LmjX L I mj 6 145 6 45VUU CmjX C I mj 11451135 VU CU RI9電路分析基礎(chǔ)講義第 3 章單相正弦電路分析isin(106 t 45 ) Au R5 sin(10 6 t45 )Vu L6 sin(10 6 t45 )Vu Rsin(106 t135 )V(2) 當(dāng)角頻率變?yōu)?2× 105rad/s 時(shí)，電路阻抗為：Z Rj ( X LX C )5j (2 105 6 10 351106 )2100.0015j8.810.1260.4 kz 0

17、 ，電路呈容性。3.4.3RLC并聯(lián)電路3.4.4iI+iRiLiC+IRI LI CuRLC URjXLjXC(a)RLC并聯(lián)電路(b) 相量模型UI LUI CUI RjX LjX CRI U1j(11)RX LXC若已知UUu，便可求出各個(gè)電流相量。例： RLC并聯(lián)電路中。已知=5 ，=5 H， =0.4 F，電壓有效值=10V， =106rad/s ，RLCU求總電流 i，并說(shuō)明電路的性質(zhì)。解： XLL106510 65X C112.5C1060.410 6設(shè) U 100V則I RU 1002AR5I LU100jX Lj 2Aj 5I CU100jX Cj 4Aj 2.510電路分析

18、基礎(chǔ)講義第 3 章單相正弦電路分析II RI LI C2j 2j 42j 22 245 Ai4 sin(106t45 )A因?yàn)殡娏鞯南辔怀半妷?，所以電路呈容性。阻抗的串?lián)與并聯(lián)+I+II1I 2Z1U 1UUZ1Z2Z2+U 2(a) 兩個(gè)阻抗串聯(lián)ZZ1Z2Z1U1UZ1Z2Z2U 2UZ1Z2(b) 兩個(gè)阻抗并聯(lián)Z Z1Z2 Z1 Z2Z2I 1IZ1Z2Z1I 2IZ1Z2例：圖示電路，Z1(6.16 j 9) ，+I+Z2 (2.5 j 4)， U 10030 V ，求總電流U 1Z1I 及各阻抗的電壓 U 1 和 U 2 ，并畫(huà)出相量圖。U+Z2U 2解：ZZ1Z 26.16 j 9

19、 2.5 j 48.66j 510 30U10030U 1I1010 0AZ3055.6 °UU1 Z1I(6.16j 9)10 010.955.610010955.6 VU2 Z2I(2.5j 4)1004.725810047.258 V例：圖示電路，Z1(1j1) ，Z 2 (3 j 4) ， U100V ，求總電流 I及各阻抗的電流I 1 和 I 2 ，并畫(huà)出相量圖。Z1Z2(1j1)(3j 4)7j1Z1 j13 j 44j 3Z1 Z230 °I 58°U 2+II1I2UZ1Z2528.1536.9228.811電路分析基礎(chǔ)講義第 3 章單相正弦電路分

20、析U10 05228.8 AI228.8ZI1Z2I3j 45228.8I1Z 2j13Z11j 445°I553.15228.85245 A28.8°536.953.1°UZ11j1I 2I5228.8I 2Z2j13j 4Z112455228.8253.1 A536.93.5正弦電路的功率3.5.1二端網(wǎng)絡(luò)的功率1瞬時(shí)功率設(shè)ui則： i2I sin wtu2U sin( wt)pui2I sint2U sin(t) UI coscos(2 t)+iNu-2平均功率（有功功率）1T1 Tcos(2 t)dt UI cosP0 pdtT0UI cosTP UI c

21、oscos稱(chēng)功率因數(shù)。對(duì)無(wú)源二端網(wǎng)絡(luò)，=z 。對(duì)電阻元件 R，0 ， PUI 。對(duì)電感元件 L，90， P0。對(duì)電容元件 C，90， P0 ?？梢?jiàn)電阻總是消耗能量的，而電感和電容是不消耗能量的，其平均功率都為0。平均功率就是反映電路實(shí)際消耗的功率。無(wú)源二端網(wǎng)絡(luò)各電阻所消耗的平均功率之和，就是該電路所消耗的平均功率。12電路分析基礎(chǔ)講義3無(wú)功功率QUI sin單位為 Var表示二端網(wǎng)絡(luò)與外電路進(jìn)行能量交換的幅度。對(duì)電阻元件 ，0，Q 0。R對(duì)電感元件 L，90， QUI 。對(duì)電容元件 C，90， QUI 。4視在功率SUI單位為伏安表示用電設(shè)備的容量。平均功率 P、無(wú)功功率Q和視在功率S 的關(guān)系

22、：S2P2Q2例：圖示電路。已知 R=2 ，L=1H，C=0.25F ，U=10功率 Q、視在功率 S和功率因數(shù) 解：U100VX LL212X C112C20.25Z(RjX L )(jX C )(2j 2)(j 2)RjX LjX C2j 2j 22j 22245IU1002.5 245 AZ2245cos zcos( 45 )0.707PUI cosz102.520.70725WQ UI sin z 25VarS UI252VA3.5.2功率因數(shù)的提高+1、提高功率因數(shù)的意義：I(1) 提高發(fā)、配電設(shè)備的利用率；電(2) 減少輸電線路的電壓降和功率損失。U動(dòng)2、提高功率因數(shù)的方法：機(jī)在感

23、性負(fù)載上并聯(lián)適當(dāng)?shù)碾娙荨CPCU 22 fU 2 (tan 1 tan2 )第 3 章單相正弦電路分析sin2t V。求電路的有功功率P、無(wú)功i+i1i 2RuCLI1ICICIURCILICI113電路分析基礎(chǔ)講義第 3 章單相正弦電路分析例：一臺(tái)功率為11kW 的感應(yīng)電動(dòng)機(jī)，接在220 V 、 50 Hz 的電路中，電動(dòng)機(jī)需要的電流為100 A。（ 1）求電動(dòng)機(jī)的功率因數(shù)；（ 2）若要將功率因數(shù)提高到 0.9 ，應(yīng)在電動(dòng)機(jī)兩端并聯(lián)一個(gè)多大的電容器？（ 3）計(jì)算并聯(lián)電容器后的電流值；（ 4）若再將功率因數(shù)提高到 1，應(yīng)再在電動(dòng)機(jī)兩端并聯(lián)一個(gè)多大的電容器？解： (1)cosP11 10310

24、.5UI L220 1001arccos0.560（ 2）2 arccos0.9 25.8P2 (tan1110 3C1tan 2 )2 (tan 60 tan 25.8 ) 900 F2 fU2 3.1450 220（ 3）P11103I22055.6AU cos20.9（ 4）3 arccos10CP(tan2tan11103(tan 25.8 tan 0 ) 350 F2 fU 23 )50 22022 3.14IP11 10350U cos 3220 13.6交流電路的頻率特性交流電路中，感抗和容抗都與頻率有關(guān)，當(dāng)電源電壓（激勵(lì)）的頻率改變時(shí)，即使電壓的幅值不變，電路中各部分電流和電壓（響應(yīng)）的大小和相位也會(huì)隨著改變。響應(yīng)與頻率的關(guān)系稱(chēng)為電路的頻率特性或頻率響應(yīng)。RC電路的頻率特性1、 RC低通濾波電路R1U 2jC1+T ( j)11 j RCU1Ru1Cu2j C1arctan( R