線性代數(shù)講稿

1、第一章 行列式本章說(shuō)明與要求:行列式的理論是人們從解線性方程組的需要中建立和發(fā)展起來(lái)的，它在線性代數(shù)以及其他數(shù)學(xué)分支上都有著廣泛的應(yīng)用在本章里我們主要討論下面幾個(gè)問(wèn)題：(1) 行列式的定義；(2) 行列式的基本性質(zhì)及計(jì)算方法；(3) 利用行列式求解線性方程組(克萊姆法則)本章的重點(diǎn)是行列式的計(jì)算，要求在理解n階行列式的概念，掌握行列式性質(zhì)的基礎(chǔ)上，熟練正確地計(jì)算三階、四階及簡(jiǎn)單的n階行列式計(jì)算行列式的基本思路是：按行(列)展開(kāi)公式，通過(guò)降階來(lái)計(jì)算但在展開(kāi)之前往往先利用行列式性質(zhì)通過(guò)對(duì)行列式的恒等變形，使行列式中出現(xiàn)較多的零和公因式，從而簡(jiǎn)化計(jì)算常用的行列式計(jì)算方法和技巧有：直接利用定義法，化三

2、角形法，降階法，遞推法，數(shù)學(xué)歸納法，利用已知行列式法行列式在本章的應(yīng)用是求解線性方程組(克萊姆法則)要掌握克萊姆法則并注意克萊姆法則應(yīng)用的條件。本章的重點(diǎn)：行列式性質(zhì)；行列式的計(jì)算。本章的難點(diǎn)：行列式性質(zhì)；高階行列式的計(jì)算；克萊姆法則。1.1 二階與三階行列式行列式的概念起源于解線性方程組，它是從二元與三元線性方程組的解的公式引出來(lái)的因此我們首先討論解方程組的問(wèn)題設(shè)有二元線性方程組 (1)用加減消元法容易求出未知量x1，x2的值，當(dāng)a11a22 a12a210 時(shí)，有(2)這就是一般二元線性方程組的公式解但這個(gè)公式很不好記憶，應(yīng)用時(shí)不方便，因此，我們引進(jìn)新的符號(hào)來(lái)表示(2)這個(gè)結(jié)果，這就是行列

3、式的起源我們稱4個(gè)數(shù)組成的符號(hào)為二階行列式它含有兩行，兩列橫的叫行，縱的叫列行列式中的數(shù)叫做行列式的元素從上式知，二階行列式是這樣兩項(xiàng)的代數(shù)和：一個(gè)是從左上角到右下角的對(duì)角線(又叫行列式的主對(duì)角線)上兩個(gè)元素的乘積，取正號(hào)；另一個(gè)是從右上角到左下角的對(duì)角線(又叫次對(duì)角線)上兩個(gè)元素的乘積，取負(fù)號(hào)根據(jù)定義，容易得知(2) 中的兩個(gè)分子可分別寫(xiě)成，如果記 ，則當(dāng)D0時(shí)，方程組(1) 的解(2)可以表示成， ， (3)象這樣用行列式來(lái)表示解，形式簡(jiǎn)便整齊，便于記憶首先(3) 中分母的行列式是從(1) 式中的系數(shù)按其原有的相對(duì)位置而排成的分子中的行列式，x1的分子是把系數(shù)行列式中的第1列換成(1)的常

4、數(shù)項(xiàng)得到的，而x2的分子則是把系數(shù)行列式的第2列換成常數(shù)項(xiàng)而得到的例1 用二階行列式解線性方程組 解：這時(shí) ， ，因此，方程組的解是 ，對(duì)于三元一次線性方程組(4)作類似的討論，我們引入三階行列式的概念我們稱符號(hào)(5)為三階行列式，它有三行三列，是六項(xiàng)的代數(shù)和這六項(xiàng)的和也可用對(duì)角線法則來(lái)記憶：從左上角到右下角三個(gè)元素的乘積取正號(hào)，從右上角到左下角三個(gè)元素的乘積取負(fù)號(hào)例2 令 ， 當(dāng) D0時(shí)，(4)的解可簡(jiǎn)單地表示成， (6)它的結(jié)構(gòu)與前面二元一次方程組的解類似例3 解線性方程組 解：， ， 所以，例4 已知，問(wèn)a，b應(yīng)滿足什么條件？(其中a，b均為實(shí)數(shù))解：，若要a2+b2=0，則a與b須同時(shí)

5、等于零因此，當(dāng)a=0且b=0時(shí)給定行列式等于零為了得到更為一般的線性方程組的求解公式，我們需要引入n階行列式的概念，為此，先介紹排列的有關(guān)知識(shí)1.2 排列在n階行列式的定義中，要用到排列的某些知識(shí)，為此先介紹排列的一些基本知識(shí)定義1由數(shù)碼1，2，n組成一個(gè)有序數(shù)組稱為一個(gè)n級(jí)排列例如，1234是一個(gè)4級(jí)排列，3412也是一個(gè)4級(jí)排列，而52341是一個(gè)5級(jí)排列由數(shù)碼1，2，3組成的所有3級(jí)排列為：123，132，213，231，312，321共有3!=6個(gè)數(shù)字由小到大的n級(jí)排列1234n 稱為自然序排列定義2在一個(gè)n級(jí)排列i1i2in中，如果有較大的數(shù) it 排在較小的數(shù) is 的前面(isi

6、t)， 則稱it與is構(gòu)成一個(gè)逆序，一個(gè)n級(jí)排列中逆序的總數(shù)，稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)，記作N (i1i2in)例如， 在4 級(jí)排列3412中， 31，32，41，42，各構(gòu)成一個(gè)逆序數(shù)，所以，排列3412的逆序數(shù)為N(3412)=4同樣可計(jì)算排列52341的逆序數(shù)為N(52341)=7容易看出， 自然序排列的逆序數(shù)為0定義3 如果排列i1i2in 的逆序數(shù)N(i1i2in )是奇數(shù)，則稱此排列為奇排列，逆序數(shù)是偶數(shù)的排列則稱為偶排列例如，排列3412是偶排列排列52341是奇排列 自然排列123n是偶排列定義4 在一個(gè)n級(jí)排列i1isitin中， 如果其中某兩個(gè)數(shù)is與it對(duì)調(diào)位置，其余各數(shù)位置

7、不變，就得到另一個(gè)新的n級(jí)排列i1itisin，這樣的變換稱為一個(gè)對(duì)換，記作(is，it)如在排列3412中，將4與2對(duì)換， 得到新的排列3214 并且我們看到：偶排列3412經(jīng)過(guò)4與2的對(duì)換后，變成了奇排列3214 反之，也可以說(shuō)奇排列3214經(jīng)過(guò)2與4的對(duì)換后，變成了偶排列3412一般地，有以下定理：定理1 任一排列經(jīng)過(guò)一次對(duì)換后，其奇偶性改變定理2 在所有的n級(jí)排列中(n2)，奇排列與偶排列的個(gè)數(shù)相等，各為個(gè)1.3 n階行列式本節(jié)我們從觀察二階、三階行列式的特征入手引出n階行列式的定義已知二階與三階行列式分別為其中元素aij的第一個(gè)下標(biāo)i表示這個(gè)元素位于第i行，稱為行標(biāo)，第二個(gè)下標(biāo)j表示

8、此元素位于第j列，稱為列標(biāo)我們可以從中發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律：(1) 二階行列式是2！項(xiàng)的代數(shù)和，三階行列式是3！項(xiàng)的代數(shù)和；(2) 二階行列式中每一項(xiàng)是兩個(gè)元素的乘積，它們分別取自不同的行和不同的列，三階行列式中的每一項(xiàng)是三個(gè)元素的乘積，它們也是取自不同的行和不同的列；(3) 每一項(xiàng)的符號(hào)是：當(dāng)這一項(xiàng)中元素的行標(biāo)是按自然序排列時(shí)，如果元素的列標(biāo)為偶排列，則取正號(hào)；為奇排列，則取負(fù)號(hào)作為二、三階行列式的推廣我們給出n階行列式的定義定義1 由排成n行n列的n2個(gè)元素aij (i，j=1，2，n)組成的符號(hào) 稱為n階行列式它是n!項(xiàng)的代數(shù)和，每一項(xiàng)是取自不同行和不同列的n個(gè)元素的乘積，各項(xiàng)的符號(hào)是：每一項(xiàng)中

9、各元素的行標(biāo)排成自然序排列，如果列標(biāo)的排列為偶排列時(shí)，則取正號(hào)；為奇排列，則取負(fù)號(hào)于是得 (1)其中表示對(duì)所有的n級(jí)排列j1j2jn求和(1)式稱為n階行列式按行標(biāo)自然順序排列的展開(kāi)式稱為行列式的一般項(xiàng)當(dāng)n=2、3時(shí)，這樣定義的二階、三階行列式與上面1.1中用對(duì)角線法則定義的是一致的當(dāng)n=1時(shí)，一階行列為|a11|= a11如當(dāng)n=4時(shí)，4階行列式，表示4！=24項(xiàng)的代數(shù)和，因?yàn)槿∽圆煌?、不同?個(gè)元素的乘積恰為4！項(xiàng)根據(jù)n階行列式的定義，4階行列式為例如a14a23a31a42行標(biāo)排列為1234，元素取自不同的行；列標(biāo)排列為4312，元素取自不同的列，因?yàn)镹(4312)=5，所以該項(xiàng)取負(fù)號(hào)

10、，即a14a23a31a42是上述行列式中的一項(xiàng)為了熟悉n階行列式的定義，我們來(lái)看下面幾個(gè)問(wèn)題例1 在5階行列式中，a12a23a35a41a54這一項(xiàng)應(yīng)取什么符號(hào)？解：這一項(xiàng)各元素的行標(biāo)是按自然順序排列的，而列標(biāo)的排列為23514因 N(23514)=4故這一項(xiàng)應(yīng)取正號(hào)例2 寫(xiě)出4階行列式中，帶負(fù)號(hào)且包含因子a11a23的項(xiàng)解：包含因子a11a23項(xiàng)的一般形式為，按定義，j3可取2或4，j4可取4或2，因此包含因子a11a23的項(xiàng)只能是a11a23a32a44或a11a23a34a42 ，但因 N(1324)=1為奇數(shù)，N(1342)=2為偶數(shù)所以此項(xiàng)只能是 a11a23a32a44例3 計(jì)

11、算行列式 解 這是一個(gè)四階行列式，按行列式的定義，它應(yīng)有4!=24項(xiàng)但只有以下四項(xiàng)adeh，adfg，bceh，bcfg不為零與這四項(xiàng)相對(duì)應(yīng)得列標(biāo)的4級(jí)排列分別為1234，1243，2134和2143，而N(1234)=0，N(1243)=1，N(2134)=1和N(2143)=2，所以第一項(xiàng)和第四項(xiàng)應(yīng)取正號(hào)，第二項(xiàng)和第三項(xiàng)應(yīng)取負(fù)號(hào)，即= adehadfgbceh+bcfg例4 計(jì)算上三角形行列式 其中aii (i=1， 2， n)解：由n階行列式的定義，應(yīng)有n!項(xiàng)，其一般項(xiàng)為但由于D中有許多元素為零，只需求出上述一切項(xiàng)中不為零的項(xiàng)即可在D中，第n行元素除ann外，其余均為所以jn=n；在第n

12、1行中，除an1n1和an1n外，其余元素都是零，因而jn1只取n1、n這兩個(gè)可能，又由于ann、an1n位于同一列，而jn=n所以只有jn1 = n1這樣逐步往上推，不難看出，在展開(kāi)式中只有a11a22ann一項(xiàng)不等于零而這項(xiàng)的列標(biāo)所組成的排列的逆序數(shù)是N(12n)=0故取正號(hào)因此，由行列式的定義有=a11a22ann即上三角形行列式的值等于主對(duì)角線上各元素的乘積同理可求得下三角形行列式 =a11a22ann特別地，對(duì)角形行列式 =a11a22ann上(下)三角形行列式及對(duì)角形行列式的值，均等于主對(duì)角線上元素的乘積例5 計(jì)算行列式 解 這個(gè)行列式除了a1na2n1an1這一項(xiàng)外，其余項(xiàng)均為零

13、，現(xiàn)在來(lái)看這一項(xiàng)的符號(hào)，列標(biāo)的n級(jí)排列為n(n1)21，N(n(n1)21)= (n1)+ (n2)+2+1=，所以=同理可計(jì)算出=由行列式的定義，行列式中的每一項(xiàng)都是取自不同的行不同的列的n個(gè)元素的乘積，所以可得出：如果行列式有一行(列)的元素全為0，則該行列式等于0在n階行列式中，為了決定每一項(xiàng)的正負(fù)號(hào)，我們把n個(gè)元素的行標(biāo)排成自然序排列，即事實(shí)上，數(shù)的乘法是滿足交換律的，因而這n個(gè)元素的次序是可以任意寫(xiě)的，一般地，n階行列式的項(xiàng)可以寫(xiě)成 其中i1i2in，j1 j2jn是兩個(gè)n階排列，它的符號(hào)由下面的定理來(lái)決定1.4 行列式的性質(zhì)當(dāng)行列式的階數(shù)較高時(shí)，直接根據(jù)定義計(jì)算n階行列式的值是困難

14、的，本節(jié)將介紹行列式的性質(zhì)，以便用這些性質(zhì)把復(fù)雜的行列式轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單的行列式(如上三角形行列式等)來(lái)計(jì)算將行列式D的行列互換后得到的行列式稱為行列式D的轉(zhuǎn)置行列式，記作DT，即若， 則反之，行列式D也是行列式DT的轉(zhuǎn)置行列式，即行列式D與行列式DT互為轉(zhuǎn)置行列式性質(zhì) 行列式D與它的轉(zhuǎn)置行列式DT的值相等性質(zhì) 交換行列式的兩行(列)，行列式變號(hào)例 計(jì)算行列式解：將第一、二行互換，第三、五行互換，得將第一、五列互換，得推論 若行列式有兩行(列)的對(duì)應(yīng)元素相同，則此行列式的值等于零性質(zhì) 行列式某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面即此性質(zhì)也可表述為：用數(shù)k乘行列式的某一行(列)的所有元

15、素，等于用數(shù)k乘此行列式推論：如果行列式中有兩行(列)的對(duì)應(yīng)元素成比例，則此行列式的值等于零性質(zhì) 如果行列式的某一行 (列)的各元素都是兩個(gè)數(shù)的和，則此行列式等于兩個(gè)相應(yīng)的行列式的和，即性質(zhì)5 把行列式的某一行 (列)的所有元素乘以數(shù)k加到另一行(列)的相應(yīng)元素上，行列式的值不變即 i行k加 到第s行 作為行列式性質(zhì)的應(yīng)用，我們來(lái)看下面幾個(gè)例子例2 計(jì)算行列式 解：這個(gè)行列式的特點(diǎn)是各行個(gè)數(shù)的和都是，我們把第、各列同時(shí)加到第列，把公因子提出，然后把第行(1)加到第、行上就成為三角形行列式具體計(jì)算如下：例3 計(jì)算行列式例4 試證明：例5 計(jì)算n+1階行列式 例6 解方程 例7 試證明奇數(shù)階反對(duì)稱

16、行列式 證：D的轉(zhuǎn)置行列式為，從DT中每一行提出一個(gè)公因子(1)，于是有，但由性質(zhì)1知道DT=D D=(1)nD又由n為奇數(shù)，所以有D= D，即 2D=0， 因此 D=01.5 行列式按一行(列)展開(kāi)本節(jié)我們要研究如何把較高階的行列式轉(zhuǎn)化為較低階行列式的問(wèn)題，從而得到計(jì)算行列式的另一種基本方法降階法為此，先介紹代數(shù)余子式的概念定義 在n階行列式中，劃去元素aij所在的第i行和第j列后，余下的元素按原來(lái)的位置構(gòu)成一個(gè)n1階行列式，稱為元素aij的余子式，記作ij元素aij的余子式ij前面添上符號(hào)(1)i+j稱為元素aij的代數(shù)余子式，記作Aij即Aij(1)i+jMij例如：在四階行列式 中a2

17、3的余子式是M23=而 A23=(1)2+3M23= 是a23的代數(shù)余子式定理 n階行列式D等于它的任意一行(列)的元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和，即D=ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin (i=1，2，n)或 D=a1jA1j+a2jA2j+anjAnj (j=1，2，n)定理 n階行列式D中某一行(列)的各元素與另一行(列)對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之和等于零，即：ai1As1+ai2As2+ainAsn=0 (is)或 a1jA1t+a2jA2t+anjAnt =0 (jt)定理1表明，n階行列式可以用n1階行列式來(lái)表示，因此該定理又稱行列式的降階展開(kāi)定理利用它并結(jié)合行列式的性

18、質(zhì)，可以大大簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算計(jì)算行列式時(shí)，一般利用性質(zhì)將某一行(列)化簡(jiǎn)為僅有一個(gè)非零元素，再按定理1展開(kāi)，變?yōu)榈鸵浑A行列式，如此繼續(xù)下去，直到將行列式化為三階或二階這在行列式的計(jì)算中是一種常用的方法例 計(jì)算行列式 例 計(jì)算n階行列式 例 計(jì)算，其中 xy例 試證 (1)式中左端叫范德蒙行列式結(jié)論說(shuō)明，n階范德蒙行列式之值等于a1， a2， ， an，這n個(gè)數(shù)的所有可能的差aiaj(1jn時(shí)，任意m個(gè)n維向量都線性相關(guān)即 當(dāng)向量組中所含向量個(gè)數(shù)大于向量的維數(shù)時(shí)，此向量組線性相關(guān)例7 證明如果向量組a1，a2，a3，線性無(wú)關(guān)，則向量2a1+a2，a2+5a3，4a3+3a1也線性無(wú)關(guān)證明：設(shè)有數(shù)

19、組k1，k2，k3，使k1(2a1+a2) +k2(a2+5a3)+k3(4a3+3a1)=0 整理得 (2k1+3k3)a1+(k1+k2)a2+(5k2+4k3)a3=0因?yàn)?a1，a2，a3線性無(wú)關(guān)，所以僅有 經(jīng)計(jì)算，方程組的系數(shù)行列式， 于是方程組只有零解k1= k2= k3=0， 所以向量組2a1+a2 ， a1+5a3 ， 4a3+3a1也線性無(wú)關(guān)定理3 向量組a1，a2，am(m2)線性相關(guān)的充分必要條件是其中至少有一個(gè)向量可由其余m1個(gè)向量線性表出定理4 若向量組a1，a2，am線性無(wú)關(guān)，而向量組，a1，a2，am線性相關(guān)，則可由a1，a2，am線性表出，且表達(dá)式唯一證：因?yàn)椋?/p>

20、a1，a2，am線性相關(guān)，所以存在一組不全為零的數(shù)k，k1，k2，km使得 k+k1a1+k2a2+kmam=0成立這里必有k0，否則，若k=0， 上式成為k1a1+k2a2+kmam=0且k1，k2，km不全為零，從而得出a1，a2，am線性相關(guān)，這與a1，a2，am線性無(wú)關(guān)矛盾因此，k0，故，即可由a1，a2，am線性表出下證表示法唯一如果 =h1a1+h2a2+hmam ，=l1a1+ l 2a2+ l mam 則有 (h1 l1)a1+ (h2 l2)a2+ (hm lm)am=0成立由a1，a2，am線性無(wú)關(guān)可知 h1 l1=0，h2 l2=0，hm lm =0即 h1=l1，h2=

21、l2，hm=lm 所以表示法是唯一的定理5 若向量組中有一部分向量組(稱為部分組)線性相關(guān)，則整個(gè)向量組線性相關(guān)推論 若向量組線性無(wú)關(guān)，則它的任意一個(gè)部分組線性無(wú)關(guān)2.4 向量組的秩 矩陣的秩在二維、三維幾何空間中，坐標(biāo)系是不唯一的，但任一坐標(biāo)系中所含向量的個(gè)數(shù)是一個(gè)不變的量，向量組的秩正是這一幾何事實(shí)的一般化十四. 向量組的極大無(wú)關(guān)組我們知道，一個(gè)線性相關(guān)向量組的部分組不一定是線性相關(guān)的，例如向量組 a1=(2，1，3，1)，a2=(4，2，5，4)， a3=(2，1，4，1)，由于 3a1 a2a3=0，所以向量組是線性相關(guān)的，但是其部分組a1是線性無(wú)關(guān)的，a1， a2也是線性無(wú)關(guān)的可以看出，上例中a1，a2，a3的線性無(wú)關(guān)的部分組中最多含有兩個(gè)向量，如果再添加一個(gè)向量進(jìn)去，就變成線性相關(guān)了為了確切地說(shuō)明這一問(wèn)題我們引入極大線性無(wú)關(guān)組的概念定義1 設(shè)有向量組a1，a2，am，如果它的一個(gè)部分