彈塑性力學(xué)柱體的彈塑性扭轉(zhuǎn)

1、第七章 等截面柱體的彈塑性扭轉(zhuǎn)在船舶、航空、土建以及機(jī)械工程等的機(jī)械傳動機(jī)構(gòu)中，作為傳遞扭矩的柱體是個(gè)重要的部件。所謂柱體的扭轉(zhuǎn)，是指圓柱體和棱柱體只在端部受到扭矩的作用，且扭矩矢量與柱體的軸線的方向相重合。扭轉(zhuǎn)問題屬于僅在端面上受力柱體的平衡問題，若嚴(yán)格地滿足其邊界條件，按彈塑性力學(xué)求解是比較困難的。因此，利用圣維南原理，將邊界條件放松，即認(rèn)為柱體中間截面上的應(yīng)力僅與端面上外力的合力及合力矩有關(guān)，這種放松了邊界條件的問題稱為圣維南問題。即使對于圣維南問題，仍需要求解一組偏微分方程，并使其滿足一定的邊界條件。但在實(shí)用上很少由直接積分其基本方程而得到解答，大部分工程問題用間接的或近似的方法得到。

2、在間接方法中，圣維南的半逆解法是很重要的。即先在應(yīng)力或位移分量中假設(shè)一部分未知函數(shù)，然后將這部分函數(shù)代入基本方程，求得另外一部分的未知函數(shù)，并使全部未知函數(shù)滿足所給定的邊界條件，則所假設(shè)的和求得的函數(shù)即為問題的解。由于用應(yīng)力作為基本未知函數(shù)用半逆法求解時(shí)可以導(dǎo)致比較簡單的邊界條件，因此求解比較方便。7.1 彈性柱體自由扭轉(zhuǎn)的基本關(guān)系式與應(yīng)力函數(shù)解在材料力學(xué)中曾經(jīng)過討論圓軸的扭轉(zhuǎn)，其特點(diǎn)是扭轉(zhuǎn)變形前后的截面都是圓形，而且每一個(gè)截而只作剛體轉(zhuǎn)動，在小變形條件下，沒有鈾向位移，取坐標(biāo)系為，且柱體的軸線為方向，方向的位移為，即。這樣，變形后截面的半徑及圓軸長度基本不變。非圓形截面柱體的情況要復(fù)雜得多。

3、由于截面的非對稱性，在扭轉(zhuǎn)過程中，截面不再保持為平面，而發(fā)生了垂直于截面的翹曲變形，即。函數(shù)稱為翹曲函數(shù)。下面討論任意截面形狀的棱柱體扭轉(zhuǎn)基本方程。 設(shè)有任意截面形狀的等截面棱柱體，柱體兩端受糾扭矩作用，如圖7.1所示。1. 邊界條件對于扭轉(zhuǎn)問題，柱體側(cè)面為自由表面，因此柱體側(cè)面的邊界條件為 (7.1-1)式中。 圖7.1 棱柱體的扭轉(zhuǎn) 在端部邊界條件為 (7.1-2)2.柱體扭轉(zhuǎn)時(shí)的位移與應(yīng)變對于柱體扭轉(zhuǎn)問題，圣維南半逆解法假設(shè)：(1)認(rèn)為截面的翹曲變形與軸無關(guān)，即各截面?zhèn)兟N曲程度相同。(2)柱體發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形時(shí)，截面僅僅產(chǎn)生繞軸的剛體轉(zhuǎn)動，且間矩為單位長度的兩截面的相對扭轉(zhuǎn)角(扭率)為常數(shù)。

4、因此，由假設(shè)(1)可知，翹曲函數(shù)僅為的函數(shù)；又由假設(shè)(2) 可知，翹曲函數(shù)必與祟函數(shù)戲正比，即 (7.1-3)再由假設(shè)(2)，如果令距坐標(biāo)原點(diǎn)為處截面相對截面的扭轉(zhuǎn)角為，則該截面上距扭轉(zhuǎn)中心為的任一點(diǎn)扭轉(zhuǎn)后移至(圖7.2)，由于處截面沒有轉(zhuǎn)動，只有翹曲，因此點(diǎn)在方向的位移分量為 (7.1-4)式中為與軸之間的夾角。由于截面總扭轉(zhuǎn)角 圖7.2扭轉(zhuǎn)變形的位移與該截面至坐標(biāo)原點(diǎn)的距離成正比，故的轉(zhuǎn)角為。將式(7.1-3)和式(7.1-4)代入應(yīng)變位移關(guān)系，可得一點(diǎn)的應(yīng)變?yōu)?(7.1-5)3.廣義虎克定律 對于柱體的彈性扭轉(zhuǎn)，根據(jù)(7.1-5)式可得應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系化為 (7.1-6) 由式(7.

5、1-5)和(7.1-6)可見，根據(jù)圣維南原理得到：截面上任訶一點(diǎn)都沒有正應(yīng)力，因此各縱向纖維之間和沿各縱向纖維方向均無壓了應(yīng)力；在各截面內(nèi)(平面)沒有應(yīng)變，即截面在坐標(biāo)面上的投影形狀不變。此外，在截面每一點(diǎn)只有由和所確定的純剪切。4.平衡方程 當(dāng)不計(jì)體力時(shí)，平衡方程可由(2.2-2)式化為 (7.1-7)5.應(yīng)變協(xié)調(diào)方程 將式(7.1-6)中的第二式對微分，第三式對微分，然后相減，可得用應(yīng)力表示的兩種不同形式的應(yīng)變協(xié)調(diào)方程為 (7.1-8)由上式可知，翹曲函數(shù)是調(diào)和函數(shù)，通常稱為圣維南調(diào)和函數(shù)。于是，任意截面形狀的柱體扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力，歸結(jié)為根據(jù)邊界條件求解(7.1-7)，(7.1-8)兩式。6.

6、柱體扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力函數(shù)法 由于從(7.1-8)式求解翹曲函數(shù)通常比較困難，為此，借助應(yīng)力函數(shù)法。當(dāng)不計(jì)體力時(shí)，設(shè)應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量和之間的關(guān)系為 (7.1-9)稱為普朗特應(yīng)力函數(shù)。將式(7.1-9)代入平衡方程式(7.1-7)，顯然滿足。將它代入應(yīng)變協(xié)調(diào)方程(7.1-8)第二式后，得 (7.1-10)由此可知，應(yīng)力函數(shù)應(yīng)滿足上述偏微分方程式(7.1-10)。這種類型的方程稱為泊松方程。 當(dāng)柱體側(cè)面無面力作用時(shí)，則邊界條件式(7.1-1)簡化為 (a)注意到在邊界上，由圖7.1可知，當(dāng)增加時(shí)，增加，而減少。因此，其方向余弦為 (b)將式(7.1- 9)和式(b)代入式(a)后，有 (c)由式(c)可

7、知常數(shù) 上式說明，沿柱體任意截面的邊界曲線，應(yīng)力函數(shù)為一任意常數(shù)。對于實(shí)心柱體，也即截面為單連通域，由式(7.1-9)知，因剪應(yīng)力是應(yīng)力函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，所以將常數(shù)取為零并不失一般性，即 (沿柱體周邊) (7.1-11)而截面上任一點(diǎn)的合剪應(yīng)力的為 (7.1-12)式中為沿等值線的法線方向，的方向?yàn)檠氐戎稻€的切線方向，因此稱等值線為剪應(yīng)力線。由于邊界上的剪應(yīng)力方向必須與邊界的切線一致，故周界線本身也是一條剪應(yīng)力線。 由以上可見，對于給定的值，不難由方程(7.1-10)和(a)唯地確定應(yīng)力函數(shù)，從而由式(7.1-9)求出應(yīng)力，由(7.1-5)求出應(yīng)變，以及翹曲函數(shù)。但我們注意到，由式(7.1-6

8、)和(7.1-9)有從上式可見，當(dāng)通過積分求位移函數(shù)和翹曲函數(shù)，則在所得結(jié)果中包含有表示剛體位移的積分常數(shù)，因此位移函數(shù)和翹曲函數(shù)可準(zhǔn)確到一個(gè)附加常數(shù)的范圍內(nèi)。 根據(jù)上面所述方法求得的應(yīng)力分布還應(yīng)滿足柱體端部條伴，即 (d)其中積分限為截面面積。對上式做第二個(gè)積分利用分部積分，可得注意到在邊界側(cè)面上的點(diǎn)等，因此上式的最終結(jié)果為 (e)同理，第一個(gè)積分也可寫為 (f)將式(e)、(f)代入式(d)，最后得 (7.1-13)上式表示，如在截面上每一點(diǎn)有一個(gè)值，則扭矩為曲面下所包體積的二倍。 由以上討論得出，如能找到一個(gè)函數(shù)，其在邊界上的值為零，在截面內(nèi)滿足方程(7.1-10)，則截面的剪應(yīng)力分布及

9、扭矩就都可求得。 7.2 常見截面形狀柱體的扭轉(zhuǎn) 本節(jié)采用應(yīng)力函數(shù)法討論橢圓形截面和矩形截面兩種柱體的扭轉(zhuǎn)。2.1橢圓形截面柱體的扭轉(zhuǎn)1.應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量 截面形狀如圖7.2所示橢圓柱體，在兩端受到扭矩，截面邊界方程為 (a)選用應(yīng)力函數(shù)為 圖7.2 橢圓截面柱體 (b)顯然，它滿足邊界條件式(7.1-2)和式(7.1-11)。式中為常數(shù)。將(b)式代入(7.1-2)式得 (c)于是 (d)為了確定常數(shù)，將式(d)代入式(7.1-13)，得 (e)由于所以，由(e)式有故可得 (f)將式(f)代入式(d)，應(yīng)力函數(shù)為 (7.2-1) 將式(7.2-1)代入式(7.1-9)，得剪應(yīng)力分量 (7

10、.2-2)由(7.1-12)得合剪應(yīng)力為 (7.2-3)由式(7.2-2)和式(7.2-3)可知，剪應(yīng)力分布有如下特點(diǎn)：(1)在每一點(diǎn)，應(yīng)力比值，即沿任意半徑方向各點(diǎn)具有相同的比值。這意味著沿同一半徑方向各點(diǎn)剪應(yīng)力相互平行，如圖7.2所示。(2)在邊界上，兩剪應(yīng)力分量的上述比值正好等于橢圓切線的斜率，可見邊界上的剪應(yīng)力(合力)沿邊界面切向，而法向剪應(yīng)力為零。且在長半軸邊緣()，；在短半軸邊緣()，則。(3)由式(7.2-2)知，剪應(yīng)力分量均在邊界上最大，且正比于或坐標(biāo)。整個(gè)截面上的最大剪應(yīng)力在()處，即短半軸邊緣，其值為 (7.2-4)當(dāng)時(shí)，由以上各式可得圓形截面的剪應(yīng)力公式。2.2扭率、扭轉(zhuǎn)

11、剛度和位移 將式(7.2-1)代入應(yīng)變協(xié)調(diào)方程第二式，可得扭率為 (7.2-5)稱為扭轉(zhuǎn)剛度。扭轉(zhuǎn)剛度是一個(gè)有用的概念，其單位與扭矩的單位相同。 由于橢圓截面的面積和形心極慣性矩分別為因此，由(7.2-5)式，并注意到上式，則可將扭轉(zhuǎn)剛度可寫為 (7.2-6) 將式(7.2-5)代入式(7.1-4)可得位移分量為 (7.2-7) 為了求得位移，由式(7.1-6)和式(7.1-9)可得 (g)將式(7.2-1)代入上式，并積分后，得 (h)由上式可知，它代表剛體位移，并不影響應(yīng)力，故可略去，于是得翹曲位移為 (7.2-8) 式(7.2-8)表明，截面翹曲后的形狀為雙曲拋物面，如圖7.3所示。它的

12、等高線在平面上的投影為雙曲線，其漸近線為橢圓長短軸，在長短軸上各點(diǎn)無翹曲。若第一、第三象限向下翹，則第二、第四象限向上翹。翹曲面與平面間形成耐體積的代數(shù)和為零。即圖7.3 橢圓截面柱體扭轉(zhuǎn)翹曲形狀此式對任何受扭轉(zhuǎn)柱體的翹曲截面都適用。2.2矩形截面柱體的扭轉(zhuǎn) 由7.1節(jié)討論知，應(yīng)力函數(shù)在圖7.4所示矩形截面區(qū)域ABCD內(nèi)滿足泊松方程 在邊界上，即當(dāng)時(shí)，有 圖7.4 矩形截面柱體 (a) 由數(shù)學(xué)物理方程知，上述問題為求解泊松方程的第一邊值問題，或狄里希菜(Dirichelet)問題。在單連通域的情況下，這類問題的解可假定為下列形式： (b)其個(gè)為泊松方程的特解，是相應(yīng)齊次方程的解。即 (c)如果

13、求得了，則由式(a)、(b)可知，下列狄里希萊問題 (7.2-9)的解則可求得。 對于本問題，取為 (f)由式(e)知，為調(diào)和函數(shù)，再根據(jù)式(e)和(f)，應(yīng)滿足如下條件： (g)令取為再由有， 或 由于上式可知，等號左邊僅為的函數(shù)，右邊僅為的函數(shù)，因此只能等于同一常數(shù)，令常數(shù)為，則有于是根據(jù)一般齊次常系數(shù)二階方程可得通解為 (h)式中常數(shù)由邊界條件(7.2-9)式確定。由邊界條件(7.2-1)式，在上有 (i)從上式可以看出，為的奇函數(shù)，所以。又由(7.2-1)式可以看出，在時(shí)，有 (j)由該式可見，是關(guān)于軸的對稱函數(shù)，所以。于是有因當(dāng)時(shí)，所以有 (k) 于是由式(f)和式(j)，并注意式(

14、k)，得應(yīng)力函數(shù)為 (7.2-10a)將上式的第一項(xiàng)按級數(shù)展開為將上式代入(7.2-10a)，得 (7.2-10b)由式(a)知，當(dāng)時(shí)，代入式(7.2-10b)后，得 (7.2-11)將式(7.2-11)代入式(7.2-10a)，得 (7.2-12)由式(7.1-13)可得扭矩為 (7.2-13)令 (7.2-14)由(7.2-13)式和(7.2-14)式，得扭轉(zhuǎn)剛度和扭率分別為 (7.2-15) 將式(7.2-15)第二式代入(7.2-12)得 (7.2-16) 由式(7.2-16)可求得剪應(yīng)力分量為 (7.2-16)根據(jù)式(7.2-16)算得的矩形截面周界各頂點(diǎn)的剪應(yīng)力為零。截面上剪應(yīng)力分

15、布如圖7.5。圖7.5 應(yīng)力分布圖 圖7.6 翹曲等高線分析式(7.2-16)和由圖7.5可知，在處，剪應(yīng)力取得最大值，即 (7.2-17)式中 (7.2-18)在處，剪應(yīng)力取得最大值，即 (7.2-19)其中 (7.2-20) 由式(7.2-14)、(7.2-18)和(7.2-20)可知，均隨而變化。系數(shù)的取值列于表7.1。表7.1 與的關(guān)系1.01.51.752.02.53.04.06.08.010.00.1410.2080.2080.1960.2310.2700.2140.2390.2910.2290.2460.3090.2490.2580.3370.2630.2670.3540.281

16、0.2820.3790.2990.2990.4020.3070.3070.4140.3130.3130.4220.3330.3330.448 由表7.1可以看出，當(dāng)很大時(shí)，即為狹長矩形截面，的值趨于，此時(shí)公式(7.2-15)第二式和(7.2-17)可簡化為 (7.2-21)其中和分別為狹長矩形截面的長和寬。 截面的翹曲可由(7.2-12)式反映出來，令為常數(shù)，可得截面翹曲后的等高線方程。當(dāng)時(shí)，諸等高線在平面的投影如圖7.6所示，其中實(shí)線表示上翹，虛線為下凹。7.3 薄膜比擬法 當(dāng)受到扭矩作用的柱體的橫截面形狀較復(fù)雜時(shí)，求解往往十分困難。為了解決扭轉(zhuǎn)問題，普朗特于1903年提出了一種用薄膜來模擬

17、撓度的薄膜比擬法，從而避開了數(shù)學(xué)上的困難，通過這種薄膜模擬的實(shí)驗(yàn)方法求扭轉(zhuǎn)問題的解，比擬的條件是微分方程和邊界條件應(yīng)各自相同。 設(shè)有均勻的薄膜，粘貼或裝在一個(gè)和扭轉(zhuǎn)柱體截面形狀相同或成比例的孔上，薄膜在微小的均勻壓力作用下，將產(chǎn)生撓度，它是的函數(shù)。因?yàn)槟ず鼙?，可以認(rèn)為它不能承受彎矩、扭矩、剪力和面內(nèi)壓力，在不計(jì)薄膜重量時(shí)，薄膜內(nèi)部只能承受均勻的張力，而且處處相等；在薄膜的一側(cè)受到均布的橫向壓力(圖7.7)。圖7.7 薄膜比擬示意圖從膜中取出一個(gè)微小單元體(參見圖7.7)，它在平面的投影是一個(gè)矩形，邊長為和，其上作用有壓力和張力。由于撓度很小，可近似認(rèn)為在平行于平面的薄膜各處，邊切線的斜率；同理

18、，在平行于的平面內(nèi)，薄膜上邊各點(diǎn)切線的斜率。 因各點(diǎn)撓度不同，所以張力在邊的斜率為同理可得邊的斜率為。這樣，薄膜的垂向平衡方程為將上式整理后得 (7.3-1)上式即為泊松方程，與方程(7.1-10)比較，可知薄膜問題與扭轉(zhuǎn)問題相似，其各量之間的關(guān)系列于表7.2。 表7.2 薄膜比擬相關(guān)參數(shù)對照表薄膜問題扭轉(zhuǎn)問題 表7.2中為薄膜下的體積。這就是說，膜的平衡位置與曲面相似，膜的等撓度線與剪應(yīng)力線相似，膜在任一點(diǎn)的坡度與相應(yīng)的合剪應(yīng)力成比例。由此可得到結(jié)論：(1)柱體上任一點(diǎn)的最大剪應(yīng)力的方向，就是薄膜上相應(yīng)點(diǎn)處等撓度線在該點(diǎn)的切線方向，其大小與過該點(diǎn)的切面沿法線方向的斜率成正比。(2)薄膜的等撓

19、度線與截面的剪力線一致。(3)薄膜撓曲面下的體積與扭矩成正比。7.4 薄壁桿件的扭轉(zhuǎn) 利用薄膜比擬法可以十分方便地討論薄壁桿件的自由扭轉(zhuǎn)問題。4.1 開口薄壁桿件的扭轉(zhuǎn) 工程上開口薄壁桿件諸如角鋼、槽鋼、工字鋼、T型鋼等應(yīng)用頗多。幾何上其壁厚較薄，可節(jié)省材料，這些優(yōu)點(diǎn)在材料力學(xué)中已經(jīng)提及。對于這類薄壁桿件，因?yàn)楸诤窈苄?，利用薄膜比擬法，其截面可以近似看成由若干個(gè)等寬度的狹長矩形組成，這些狹長矩形可能是直的或是曲的。由薄膜比擬可以想象：如果一個(gè)直的狹長短形和另一個(gè)曲的狹長短形具有相同的長度和寬度，則當(dāng)張?jiān)谶@兩個(gè)狹長矩形上的薄膜受有相同的壓力和張力時(shí)，兩個(gè)薄膜同各自邊界平面間所占的體積以及它們的斜

20、率大體上是相同的。由此可以推斷，如果兩個(gè)桿件的材料相同，所受的扭矩也相同，則兩個(gè)桿件的最大剪應(yīng)力和單位扭轉(zhuǎn)角也就沒有多大差別。因此，一個(gè)曲的狹長矩形截面就可以用一個(gè)同長同寬的直的狹長矩形截面來代替，而不致引起多大的誤差。1.狹長矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)對于圖7.8所示狹長矩形截面桿，略去矩形短邊的影響，假設(shè)微彎的薄膜面是一個(gè)筒形曲面，即沿截面的方向不變，因此撓度僅為坐標(biāo)的函數(shù)，由式(7.3-1)可知，薄膜的撓度方程可簡寫為 (7.4-1)圖7.8 狹長矩形桿的扭轉(zhuǎn)將(7.4-1)式積分兩次，并考慮到邊界條件：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，得 (7.4-2)即薄膜撓度在寬度方向?yàn)橐粧佄锞€(圖7.8)。于是，薄膜最大撓度

21、及薄膜曲面與平面之間的體積分別為 (7.4-3)根據(jù)薄膜比擬關(guān)系表7.2和式(7.1-10)可知 (7.4-4)將換為，換成G，得扭矩計(jì)算表達(dá)式 (7.4-5)式中為狹長矩形截面的極慣性矩。由上式可得單位長度的扭率和抗扭剛度為 (7.4-6)由式(7.4-4)和(7.4-5)可知，最大剪應(yīng)力發(fā)生在長邊中點(diǎn)處，即發(fā)生在靠近形心軸的點(diǎn)上，其值為 (7.4-7)現(xiàn)在考慮剪應(yīng)力沿薄壁矩形周邊的性質(zhì)。由于狹長矩形的表面為自由表面，所以剪應(yīng)力線總是與邊界線平行。在四個(gè)角點(diǎn)處，由于薄膜在此點(diǎn)和z0平面相切，故該點(diǎn)之合剪應(yīng)力等于零。這一結(jié)果對開口薄壁桿的彈性扭轉(zhuǎn)近似計(jì)算很有意義。2. 多肢薄壁組合桿的扭轉(zhuǎn)根據(jù)

22、狹長矩形截面桿扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力的性質(zhì)，對于截面為多個(gè)窄條組成的桿的自由扭轉(zhuǎn)，就可以看成是若干窄條截面桿扭轉(zhuǎn)問題的解的組合。從薄膜比擬觀點(diǎn)，可認(rèn)為薄膜張?jiān)诟鞣种珨嗝嫔?，只是各分肢連接處情況比較復(fù)雜。但是由于不同分肢銜接處所占部位不大，因而可以忽略。如記和分別為不同分枝的長度和壁厚，為不同分肢上的剪應(yīng)力，剪應(yīng)力沿邊緣的切向，于是按式(74-7)，(74-6)第一式，其各分肢的剪應(yīng)力和扭轉(zhuǎn)剛度有 (7.4-8)總扭矩等于各組成部分的扭矩之和，故有 (7.4-9)利用(7.4-8)的第二式，得到整個(gè)截面的扭轉(zhuǎn)剛度為 (7.4-10)最大剪應(yīng)力發(fā)生在壁厚最大的分肢的邊緣上，即 (7.4-11)最后須指出，工程

23、實(shí)際應(yīng)用的薄壁構(gòu)件，在各組成部分接頭處為圓角過度，其圓角處將發(fā)生相當(dāng)大的應(yīng)力集中，其數(shù)值決定于該處的圓角半徑。對于較小的圓角半徑 ，例如，圓角處的最大剪應(yīng)力可按下式計(jì)算 (7.4-12)其中是圓角半徑，按(7.4-8)的第一式計(jì)算。對于不同壁厚則應(yīng)取大的厚度進(jìn)行計(jì)算。4.2 閉口薄壁桿件的扭轉(zhuǎn)閉口薄壁桿件的特點(diǎn)是截面多為連通域。同開口薄壁桿件一樣，采用薄膜比擬法求解較為方便。 1.空心薄壁管的扭轉(zhuǎn)圖7.9 空心管壁管的扭轉(zhuǎn) 設(shè)有一空心薄壁管截面，其厚度為，如圖7.9所示。任意空心薄壁管的內(nèi)外邊界上，應(yīng)力函數(shù)有不同的邊界值。設(shè)外圈的應(yīng)力函數(shù)為零，內(nèi)圈的為。由于薄壁管的壁厚很薄，因此可認(rèn)為薄膜的撓

24、曲面沿管厚度的斜率不變，這就相當(dāng)于假設(shè)剪力沿壁厚均布。所以，根據(jù)式(7.1-12)有 現(xiàn)設(shè)想在截面上粘貼一薄膜，使薄膜在外周界的撓度為零，在內(nèi)周界的撓度為，實(shí)即設(shè)想在內(nèi)周界為一剛性平板，只作垂直向下移動。在薄膜上加以垂直的均勻載荷，于是在壁厚為的地方，剪應(yīng)力大小是常量，且等于 (a) 扭矩應(yīng)等于薄膜下面體積的二倍，考慮到薄膜斜率沿壁厚不變，并注意式(a)，所以有 (b)式中是壁厚中心線所圍成的面積。由上式可得計(jì)算平均剪應(yīng)力的簡單表達(dá)式為 (7.4-13)由上式可見，最大虜應(yīng)力發(fā)生在壁厚最小的地方，這與開口薄壁的情況正好相反。 現(xiàn)在計(jì)算扭率。為此，研究內(nèi)周界作為一剛性平板的平衡。在薄壁管中線所圍

25、成的中線上，每單元長度內(nèi)薄膜對平板的拉力為，拉力在軸上的投影是，此處是薄膜的斜度，即薄膜斜邊與軸之間的夾角。將這個(gè)投影沿中心周線積分，得張力的垂直總分力，它應(yīng)等于內(nèi)所受到的全部向下的載荷，即 (c)考慮到都是常量，且由表7.2知，根據(jù)式(b)有，以及，得 (d)對于均勻厚度空心薄壁管，厚度為常數(shù)，故有 (e)此處是空心薄壁管中心線的周長。2. 多連通薄壁截面的扭轉(zhuǎn)假設(shè)受到扭矩作用的柱體為如圖7.10所示功多連通薄壁截面。令各邊界為，并在各邊界上的應(yīng)力函數(shù)的值分別為零和。薄壁的厚度分別為，相應(yīng)的剪應(yīng)力記為。因?yàn)?圖7.10 多連通薄壁截面桿 (f)則有 (7.4-14)其中和是內(nèi)邊界和的高度。

26、由體積求得扭矩的大小為 (g)式中和是圖7.10中各連通區(qū)域厚度中心線(虛線)所圍成的面積。 由式(7.1-10)和(7.3-1)可得 (h)對于單連通域，薄膜所圍面積的靜力平衡為 (i)并注意到式(f)，則將式(h)代入上式，得 (j)那么，對于多連通薄壁桿，將式(j)用于圖7.10虛線所圍閉合曲線，并用表示各部分虛線的長度，則得 (k)那么對(7.4-14)第三式和式(g)、(k)聯(lián)立求解，得 (7.4-15)在對稱截面的情況下，則，略去與薄膜斜率沿腹壁厚度的變化相對應(yīng)的微小應(yīng)力，則扭矩由管的外壁承受，而腹壁不受力。7.5 塑性扭轉(zhuǎn)與沙堆比擬法 對于彈性棱柱體的自由扭轉(zhuǎn)，應(yīng)用應(yīng)力函數(shù)求解，

27、其合剪應(yīng)力為式(7.1-12)。即上式表示，合剪應(yīng)力等于應(yīng)力函數(shù)的梯度的模。 當(dāng)合剪應(yīng)力在果一點(diǎn)達(dá)到屈服應(yīng)力值時(shí)，柱體開始屈服。此時(shí)，在該點(diǎn)達(dá)到最大值，根據(jù)薄膜比擬法，相對應(yīng)的薄膜在該點(diǎn)的坡度也達(dá)到最大值。由于邊界上的剪應(yīng)力首先達(dá)到最大值，所以最先出現(xiàn)屈服的點(diǎn)一定在截面的邊界上。當(dāng)扭矩繼續(xù)增加，塑性區(qū)的范圍將逐漸擴(kuò)大，而達(dá)最大坡度的區(qū)域也逐漸由截面邊界向棱柱體內(nèi)部延伸。對于塑性區(qū)，仍采用以前的假設(shè)，則由米塞斯屈服條件給出 (7.5-1)式中為純剪切屈服應(yīng)力。 當(dāng)棱柱體處于彈塑性狀態(tài)，當(dāng)不計(jì)體力時(shí)，剪應(yīng)力分量滿足平衡方程 (7.5-2)和滿足式(7.1-8)第二式所導(dǎo)出的應(yīng)變協(xié)調(diào)方程 (7.5-

28、3) 引入塑性扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)，即 (7.5-4)將上式代入屈服函數(shù)表達(dá)式(7.5-1)，得 (7.5-5)與棱柱體彈性扭轉(zhuǎn)類似，式(7.5-5)還可寫為 (7.5-6)由于上式是由衡方程及屈服條件得到的，它表示柱體全部進(jìn)入屈服(即全塑性)時(shí)所滿足的方程式。由上式可知，對于理想彈塑性構(gòu)料，當(dāng)?shù)奶荻鹊臄?shù)值達(dá)到時(shí)，柱體全部進(jìn)入塑性。而且，塑性應(yīng)力函數(shù)曲面為等傾面。由于邊界條件不涉及物理關(guān)系，所以在進(jìn)入塑性后仍然適用，即有0 (7.5-7)根據(jù)以上求解全塑性問題的基本方程及邊界條件，納達(dá)依(Nadai)提出了沙堆比擬求解全塑性扭轉(zhuǎn)問題。沙堆比擬方法是；在與柱體截面相同形狀的平面上堆起個(gè)沙堆，并使沙堆表面

29、也形成一個(gè)等傾曲面(如圖7.11)。沙堆的高度的方程可寫為 (7.5-8) 式中為沙子的內(nèi)摩擦系數(shù)。 (a) (b) 圖7.11 沙堆比擬 (a)圓柱形柱體；(b)矩形截面柱體 在塑性區(qū)，剪應(yīng)力矢量的大小為一常數(shù)，且其方向垂直于區(qū)域周界的法線(如圖8.12a)，即剪應(yīng)力線平行于區(qū)域的周界。如果區(qū)域周邊存凹角時(shí)，如圖8.12(b)，則剪應(yīng)力以圖孤線繞過尖角。沙堆頂蓋的“脊”是剪應(yīng)力的間斷線，過該線不連續(xù)，即剪應(yīng)力發(fā)生跳躍變化，如圖7.12(c)中的脊線便是這種間斷線。由該圖可以看出，在應(yīng)力間斷線兩側(cè)，剪應(yīng)力的方向發(fā)生了跳躍式變化。實(shí)際上，在間斷線兩側(cè)的應(yīng)力函數(shù)曲面的坡度也發(fā)生了間斷，且是跳躍式的

30、變化。 (a) (b) (c) 圖7.12 剪應(yīng)力特征以上是整個(gè)截面處于塑性狀態(tài)時(shí)的情況，材料進(jìn)入這種完全塑性狀態(tài)以后，無限制的塑性流動成為可能。完全塑性狀態(tài)稱為極限狀態(tài)。與此狀態(tài)對應(yīng)的扭矩稱為塑性極限扭矩，記為。由沙堆擬可知，塑性極限扭矩顯然為 (7.5-9)即塑性極限扭矩為給定周邊基礎(chǔ)上建造起來的等坡度頂蓋下體積的2倍。 這樣，塑性極限扭矩的計(jì)算變得很容易了。例1 對于半徑為的圓截面桿，坡度高，體積，于是塑性極限扭矩為 (7.5-10)而剛開始產(chǎn)生塑性變形的扭矩，可由(7.2-3)式令和得到 (7.5-11)例2 對于矩形截面()桿，坡度，體積(參見圖7.11b)為+2()，所以塑性極限扭

31、矩為 (7.5-12)剛開始產(chǎn)生塑性變形的扭矩，可由(7.2-17)，并必須注意相關(guān)符號的對應(yīng)后，得 (7.5-13) 當(dāng)在以上兩式中，令，則可得過長為的正方形截面桿的塑性極限扭矩和剛開始產(chǎn)生塑性變形的扭矩為 (7.5-14)以上幾個(gè)例子，是易于求得塑性應(yīng)力曲曲所包圍體積的情況。當(dāng)桿截面的形狀比較復(fù)雜時(shí)，由于塑性應(yīng)力曲面不易確定，運(yùn)用上述方法求極限扭矩則比較困難。為此，可以用實(shí)驗(yàn)方法確定塑性極限情形的應(yīng)力曲面，即將沙子等顆粒材料堆在和桿截面具有相同形狀的水平放置的平板上，此時(shí)的沙堆為一個(gè)等傾面。如果測量沙堆的體積比較困難，也可用測量沙準(zhǔn)重量來代替。例如，在所要考慮的截面上堆好沙，稱出這堆沙的重

32、量為，然后在半徑為的圓截面上堆上同樣的沙，稱出它的重量為，由于圓截面和給定的截面都發(fā)生塑性屈服時(shí)所需的極限扭矩之比，等于與之比，則得 (7.5-15)7.6 彈塑性扭轉(zhuǎn)與薄膜屋頂比擬法當(dāng)桿件兩端施加的扭矩小于塑性極限扭矩但大于彈性極限扭矩時(shí)，桿件的截面上將同時(shí)存在彈性區(qū)域和塑性區(qū)域。本節(jié)研究這種情況下截面上的應(yīng)力分布規(guī)律。1.圓形截面桿件彈塑性扭轉(zhuǎn)的解折解如果桿件的橫截面為圓形或者環(huán)形，根據(jù)問題的對稱性，可以預(yù)先判定橫截面上彈性區(qū)和塑性區(qū)的分界線為一圓，因此，這種圓形截面桿件彈塑性扭轉(zhuǎn)的解析解可以直接求得。 設(shè)桿件截面的半徑為，以截面的圓心為原點(diǎn)取極坐標(biāo)，并沒彈、塑性區(qū)交界線的半徑為，如圖810所示。由于該問題為軸對稱問題，應(yīng)力和應(yīng)力函數(shù)僅只是坐標(biāo)的函數(shù)，與極角無關(guān)。這樣，彈性扭轉(zhuǎn)方程式(7.1-10)和塑性扭轉(zhuǎn)方程式(7.5-8)可分別寫成如下形式： 圖7.13 圓形截面上的彈性區(qū)和塑性區(qū) (7.6-1)其中和分別為彈性區(qū)和塑性區(qū)的應(yīng)力函數(shù)。而彈塑性交界面的連續(xù)條件則為 (7.6-2) 在彈性區(qū)()內(nèi)，將方程式(7.6-1)第一式積分，并考慮到圓心處的對稱條件，則有 (7.6-3)式中為積分常數(shù)。 在塑性區(qū)()內(nèi)，將方程式(7.6-1)中的第二式積分，并考慮到邊界條件，得 (