【核按鈕】2016高考（新課標(biāo)）數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)配套（課時(shí)精講+課時(shí)檢測(cè)+單元檢測(cè)）：第二章　函

1、第二章第二章 函數(shù)的概念、基本初等函數(shù)函數(shù)的概念、基本初等函數(shù)()及函數(shù)的應(yīng)用及函數(shù)的應(yīng)用 1.函數(shù) (1)了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域；了解映射的概念 (2)在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù) (3)了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)， 并能簡(jiǎn)單應(yīng)用(函數(shù)分段不超過(guò)三段) (4)理解函數(shù)的單調(diào)性、最大(小)值及其幾何意義；了解函數(shù)奇偶性的含義 (5)會(huì)運(yùn)用基本初等函數(shù)的圖象分析函數(shù)的性質(zhì) 2指數(shù)函數(shù) (1)了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景 (2)理解有理指數(shù)冪的含義，了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運(yùn)算 (3)理解指數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性，掌握指數(shù)

2、函數(shù)圖象通過(guò)的特殊點(diǎn)，會(huì)畫(huà)底數(shù)為 2，3，10，12，13的指數(shù)函數(shù)的圖象 (4)體會(huì)指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型 3對(duì)數(shù)函數(shù) (1)理解對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)；了解對(duì)數(shù)在簡(jiǎn)化運(yùn)算中的作用 (2)理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性，掌握對(duì)數(shù)函數(shù)圖象通過(guò)的特殊點(diǎn)，會(huì)畫(huà)底數(shù)為 2，10，12的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象 (3)體會(huì)對(duì)數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型 (4)了解指數(shù)函數(shù) yax(a0，且 a1)與對(duì)數(shù)函數(shù) ylogax(a0，且 a1)互為反函數(shù) 4冪函數(shù) (1)了解冪函數(shù)的概念 (2)結(jié)合函數(shù) yx，yx2，yx3，yx12， y1x的圖象，了解它們的變化

3、情況 5函數(shù)與方程 結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性與根的個(gè)數(shù) 6函數(shù)模型及其應(yīng)用 (1)了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長(zhǎng)特征，結(jié)合具體實(shí)例體會(huì)直線上升、指數(shù)增長(zhǎng)、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同函數(shù)類型增長(zhǎng)的含義 (2)了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、 對(duì)數(shù)函數(shù)、 冪函數(shù)、 分段函數(shù)等在社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用 2.1 函數(shù)及其表示函數(shù)及其表示 1函數(shù)的概念 一般地，設(shè) A，B 是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系 f，使對(duì)于集合 A 中的任意一個(gè)數(shù) x，在集合 B 中都有_f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱 f：AB 為從集合 A 到集合 B 的一個(gè)

4、_，記作 yf(x)，xA，其中，x 叫做_，x 的取值范圍 A 叫做函數(shù)的_；與 x 的值相對(duì)應(yīng)的 y 值叫做_，其集合f(x)|xA叫做函數(shù)的_ 2函數(shù)的表示方法 (1)解析法：就是用_表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法 (2)圖象法：就是用_表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法 (3)列表法：就是_表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法 3構(gòu)成函數(shù)的三要素 (1)函數(shù)的三要素是：_，_，_. (2)兩個(gè)函數(shù)相等：如果兩個(gè)函數(shù)的_相同， 并且_完全一致， 則稱這兩個(gè)函數(shù)相等 4分段函數(shù) 若函數(shù)在定義域的不同子集上的對(duì)應(yīng)關(guān)系也不同，這種形式的函數(shù)叫做分段函數(shù)，它是一類重要的函數(shù) 5映射的概念 一般地，設(shè)

5、 A，B 是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系 f，使對(duì)于 A 中的_元素 x， 在集合 B 中都有_元素 y 與之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng) f： AB 為從集合 A 到集合 B 的一個(gè)映射 6映射與函數(shù)的關(guān)系 (1)聯(lián)系： 映射的定義是在函數(shù)的現(xiàn)代定義(集合語(yǔ)言定義)的基礎(chǔ)上引申、拓展而來(lái)的；函數(shù)是一種特殊的_ (2)區(qū)別： 函數(shù)是從非空數(shù)集A 到非空數(shù)集B 的映射；對(duì)于映射而言，A 和 B 不一定是數(shù)集 7復(fù)合函數(shù) 一般地， 對(duì)于兩個(gè)函數(shù) yf(u)和 ug(x)， 如果通過(guò)變量 u，y 可以表示成 x 的函數(shù)，那么稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù) yf(u)和 ug(x)的復(fù)合函數(shù)，記作 yf(g(x

6、)，其中 yf(u)叫做復(fù)合函數(shù) yf(g(x)的外層函數(shù)，ug(x)叫做 yf(g(x)的內(nèi)層函數(shù) 自查自糾： 1唯一確定的數(shù) 函數(shù) 自變量 定義域 函數(shù)值 值域 2(1)數(shù)學(xué)表達(dá)式 (2)圖象 (3)列出表格 3(1)定義域 對(duì)應(yīng)關(guān)系 值域 (2)定義域 對(duì)應(yīng)關(guān)系 5任意一個(gè) 唯一確定的 6(1)映射 (2014山東)函數(shù) f(x)1（log2x）21的定義域?yàn)? ) A.0，12 B(2，) C.0，12(2，) D.0，122，) 解： (log2x)210， 即 log2x1 或 log2x1，解得 x2 或 0 x12，故所求的定義域是0，12(2，)故選 C. (2014江西)

7、已 知 函 數(shù)f(x) a2x，x0，2x，x0，(aR)， 若 ff(1)1， 則 a( ) A.14 B.12 C1 D2 解：f(1)2，ff(1)f(2)a 221，a14.故選 A. 下列各圖表示兩個(gè)變量 x，y 的對(duì)應(yīng)關(guān)系，則下列判斷正確的是( ) A都表示映射，都表示 y 是 x 的函數(shù) B僅表示 y 是 x 的函數(shù) C僅表示 y 是 x 的函數(shù) D都不能表示 y 是 x 的函數(shù) 解：根據(jù)映射的定義，中，x 與 y 的對(duì)應(yīng)關(guān)系都不是映射， 當(dāng)然不是函數(shù)關(guān)系， 是映射，是函數(shù)關(guān)系故選 C. (2014南京模擬)函數(shù) y11xlog2(2x1)的定義域?yàn)開(kāi) 解：依題意知1x0，2x1

8、0，解得12x0，對(duì)應(yīng)關(guān)系 f：對(duì)P 中三角形求面積與集合 Q 中元素對(duì)應(yīng) 解： 由于中集合 P 中元素 0 在集合 Q 中沒(méi)有對(duì)應(yīng)元素，而中集合 P 不是數(shù)集，所以和都不是集合 P 上的函數(shù)由題意知，正確故填. 點(diǎn)撥： 函數(shù)是一種特殊的對(duì)應(yīng)，要檢驗(yàn)給定的兩個(gè)變量之間是否具有函數(shù)關(guān)系，只需要檢驗(yàn)：定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是否給出；根據(jù)給出的對(duì)應(yīng)關(guān)系，自變量 x 在其定義域內(nèi)的每一個(gè)值是否都有唯一確定的函數(shù)值 y 與之對(duì)應(yīng)；集合 P，Q 是否為非空數(shù)集 (2013南昌模擬)給出下列四個(gè)對(duì)應(yīng)： AR，BR，對(duì)應(yīng)關(guān)系 f：xy，y1x1； Aa|12aN*，Bb|b1n，nN*，對(duì)應(yīng)關(guān)系 f：ab，b1a；

9、 Ax|x0，BR，對(duì)應(yīng)關(guān)系 f：xy，y2x； Ax|x 是平面 內(nèi)的矩形， By|y 是平面 內(nèi)的圓，對(duì)應(yīng)關(guān)系 f：每一個(gè)矩形都對(duì)應(yīng)它的外接圓 其中是從 A 到 B 的映射的為_(kāi) 解：對(duì)于，當(dāng) x1 時(shí)，y 值不存在，所以不是從 A 到 B 的映射； 對(duì)于，A，B 兩個(gè)集合分別用列舉法表述為 A2，4，6，B1，12，13，14， ，由對(duì)應(yīng)關(guān)系 f：ab，b1a知，是從 A 到 B 的映射； 不是從 A 到 B 的映射，如 A 中元素 1 對(duì)應(yīng) B中兩個(gè)元素 1； 是從 A 到 B 的映射 故填. 類型二類型二 判斷兩個(gè)函數(shù)是否相等判斷兩個(gè)函數(shù)是否相等 已知函數(shù) f(x)|x1|，則下列函

10、數(shù)中與 f(x)相等的函數(shù)是( ) A g(x)|x21|x1| B g(x)|x21|x1|，x1，2，x1 Cg(x)x1，x0，1x，x0 Dg(x)x1 解：g(x)|x21|x1|x1|，x1，2，x1， 與 f(x)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，故選 B. 點(diǎn)撥： 兩個(gè)函數(shù)相等的充要條件是它們的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，與函數(shù)的自變量和因變量用什么字母表示無(wú)關(guān)在對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)變形時(shí)應(yīng)注意定義域是否發(fā)生改變(即是否是等價(jià)變形)；對(duì)于含絕對(duì)值的函數(shù)式可以展開(kāi)為分段函數(shù)后再判斷 (2013杭州質(zhì)檢)下列各組函數(shù)中，是同一函數(shù)的是( ) Af(x) x2，g(x)3x3 Bf(x)|x

11、|x，g(x)1，x0，1，x0 Cf(x)2n1x2n1，g(x)(2n1x)2n1，nN* Df(x) xx1，g(x)x（x1） 解：對(duì)于 A，f(x) x2|x|，g(x)3x3x，它們的值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都不同，所以不是同一函數(shù)；對(duì)于 B，函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?，0)(0，)，而 g(x)的定義域?yàn)?R，所以不是同一函數(shù)；對(duì)于 C，當(dāng) nN*時(shí)，2n1 為奇數(shù)，則 f(x)2n1x2n1x，g(x)(2n1x)2n1x，它們的定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同，所以是同一函數(shù)；對(duì)于 D，f(x)的定義域?yàn)?，)，而 g(x)的定義域?yàn)?，10， )，它們的定義域不同，所以不是同一函數(shù)故選 C.

12、類型三類型三 求函數(shù)的定義域求函數(shù)的定義域 (1)求函數(shù) f(x)12|x| x21(x4)0的定義域 (2)若函數(shù) yf(x)的定義域?yàn)?，1)，求 y f(x23)的定義域 解：(1)要使函數(shù)有意義須滿足2|x|0，x210，x40. 解得 x1 且 x2，x4 或 x1 且 x2. 函數(shù)的定義域?yàn)閤|x1 且 x2， x4 或 x1 且 x2，用區(qū)間表示為(，2)(2，11，2)(2，4)(4，) (2)由題意知x231，x231， 解得x 2或x 2，2x2. 函數(shù)的定義域?yàn)?2， 2 2，2) 點(diǎn)撥： 求函數(shù)定義域的原則：用列表法表示的函數(shù)的定義域，是指表格中實(shí)數(shù) x 的集合；用圖象

13、法表示的函數(shù)的定義域，是指圖象在 x 軸上的投影所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)的集合；當(dāng)函數(shù) yf(x)用解析法表示時(shí)，函數(shù)的定義域是指使解析式有意義的 x 的集合，一般通過(guò)列不等式(組)求其解集若已知函數(shù) yf(x)的定義域?yàn)閍，b，其復(fù)合函數(shù) yf(g(x)的定義域由不等式 ag(x)b 解出 (1)已知函數(shù) f(2x1)的定義域?yàn)?，4，求函數(shù) f(x)的定義域 (2)已知函數(shù) f(2x1)的定義域?yàn)?， 4， 求函數(shù)f(2x)的定義域 解：(1)函數(shù) f(2x1)的定義域?yàn)?，4， 1x4，12x17， 故函數(shù) f(x)的定義域是1，7 (2)由(1)知， 函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?， 7， 令 12x

14、7，得 0 xlog27，故所求函數(shù)的定義域?yàn)?，log27 類型四類型四 求函數(shù)的值域求函數(shù)的值域 求下列函數(shù)的值域： (1)y1x21x2； (2)y2x1x； (3)y2x1x2； (4)yx22x5x1； (5)若 x，y 滿足 3x22y26x，求函數(shù) zx2y2的值域； (6)f(x)|2x1|x4. 解：(1)解法一：(反解) 由 y1x21x2，解得 x21y1y， x20，1y1y0，解得1y1， 函數(shù)值域?yàn)?1，1 解法二：(分離常數(shù)法) y1x21x2121x2， 又1x21，021x22，112x211， 函數(shù)的值域?yàn)?1，1 (2)(代數(shù)換元法) 令 t1x(t0)，

15、x1t2， y2(1t2)t2t2t22t142178. t0，y178，故函數(shù)的值域?yàn)椋?78. (3)(三角換元法) 令 xcost(0t)， y2costsint 5sin(t) 其中cos15，sin25. 0t，t， sin()sin(t)1. 故函數(shù)的值域?yàn)?， 5 (4)解法一：(不等式法) yx22x5x1（x1）24x1(x1)4x1， 又x1 時(shí)，x10，x1 時(shí)，x10， 當(dāng) x1 時(shí)，y(x1)4x12 44，且當(dāng)x 3 ， 等 號(hào) 成 立 ； 當(dāng)x2， 則 f(log32)的值為_(kāi) 解：log322，log362， f(log32)f(log321)f(log36)f

16、(log361) f(log318)3log318118.故填118. 點(diǎn)撥： 求分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí)，應(yīng)首先確定所給自變量的取值屬于哪一個(gè)范圍，然后選取相應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系若自變量值為較大的正整數(shù)，一般可考慮先求函數(shù)的周期若給出函數(shù)值求自變量值，應(yīng)根據(jù)每一段函數(shù)的解析式分別求解，但要注意檢驗(yàn)所求自變量的值是否屬于相應(yīng)段自變量的范圍 (2014天津十二區(qū)聯(lián)考)已知函數(shù) f(x)log2x，x0，log12（x），x0， 若 af(a)0，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是( ) A(1，0)(0，1) B(，1)(1，) C(1，0)(1，) D(，1)(0，1) 解：根據(jù)分段函數(shù)解析式知 af(a)0a0，al

17、og12a0或a0，alog2（a）0， 解得 0a1 或1a0.故選 A. 1對(duì)應(yīng)、映射和函數(shù)三者之間的關(guān)系 對(duì)應(yīng)、映射和函數(shù)三個(gè)概念的內(nèi)涵是依次豐富的對(duì)應(yīng)中的唯一性形成映射，映射中的非空數(shù)集形成函數(shù)也就是說(shuō)，函數(shù)是一種特殊的映射，而映射又是一種特殊的對(duì)應(yīng) 2判斷兩個(gè)函數(shù)是否相等 判斷兩個(gè)函數(shù)是否相等，即是否為同一函數(shù)，只須判斷它們的定義域與對(duì)應(yīng)關(guān)系是否完全相同即可，與表示函數(shù)自變量的字母和函數(shù)的字母無(wú)關(guān)；當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域與對(duì)應(yīng)關(guān)系完全相同時(shí)，它們的值域也一定相同 3函數(shù)的表示法 函數(shù)的三種表示方法在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化，且各有優(yōu)點(diǎn)，一般情況下，研究函數(shù)要求出函數(shù)的解析式，在通過(guò)解析式解

18、決問(wèn)題時(shí)，又需借助圖象的直觀性 4函數(shù)的定義域 給出函數(shù)定義域的方式有兩種，一種是只給定了函數(shù)的解析式(對(duì)應(yīng)關(guān)系)而沒(méi)有注明定義域，此時(shí)，函數(shù)定義域是指使該解析式有意義的自變量的取值范圍(稱為自然定義域)；一種是由實(shí)際問(wèn)題確定的或預(yù)先限定了自變量的取值范圍(稱為實(shí)際定義域)需要注意的是： (1)若函數(shù)是由一些基本初等函數(shù)通過(guò)四則運(yùn)算而成的，則它的定義域是各基本初等函數(shù)定義域的交集； (2)對(duì)于含有參數(shù)的函數(shù)求定義域，或已知其定義域求參數(shù)的取值范圍，一般需要對(duì)參數(shù)的情況進(jìn)行分類討論； (3)若函數(shù)是由一些基本初等函數(shù)復(fù)合而成，則求函數(shù)定義域時(shí)應(yīng)注意內(nèi)層函數(shù)的值域?yàn)橥鈱雍瘮?shù)的定義域的子域(集) 5

19、求函數(shù)解析式的主要方法 待定系數(shù)法、換元法、方程(組)法等如果已知函數(shù)解析式的類型，可用待定系數(shù)法；若已知復(fù)合函數(shù) f(g(x)的表達(dá)式時(shí)，可用換元法；若已知抽象函數(shù)的表達(dá)式時(shí)，常用解方程(組)法 6函數(shù)的值域 求函數(shù)的值域，不但要注意對(duì)應(yīng)關(guān)系的作用，而且要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用常用方法有：圖象法、單調(diào)性法、配方法、換元法、分離常數(shù)法、不等式法、判別式法、導(dǎo)數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法等求函數(shù)值域的基本原則有： (1)當(dāng)函數(shù) yf(x)用表格給出時(shí)， 函數(shù)的值域是指表格中實(shí)數(shù) y 的集合 (2)當(dāng)函數(shù) yf(x)用圖象給出時(shí)， 函數(shù)的值域是指圖象在 y 軸上的投影所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù) y 的集合 (3)當(dāng)

20、函數(shù) yf(x)用解析式給出時(shí)， 函數(shù)的值域由函數(shù)的定義域及其對(duì)應(yīng)關(guān)系唯一確定 (4)當(dāng)函數(shù)由實(shí)際問(wèn)題給出時(shí)，函數(shù)的值域由問(wèn)題的實(shí)際意義確定 1設(shè)集合 Px|0 x4，My|0y2，則下列表示從 P 到 M 的映射的是( ) Af：xy23x Bf：xyx2x2x2 Cf：xy13(x3)2 Df：xyx51 解：對(duì)于 A，當(dāng) x4 時(shí)，y83M； 對(duì)于 B，當(dāng) x1 時(shí)，x2x2x2無(wú)意義； 對(duì)于 C，當(dāng) x0 時(shí)，y3M； D 符合映射定義，故選 D. 2給出下面四個(gè)命題： 函數(shù)是其定義域到值域的映射； f(x)x32x是函數(shù)； 函數(shù) y2x(xN)的圖象是一條直線； yx2，x0，x2，

21、x0的圖象是拋物線 其中正確的有( ) A1 個(gè) B2 個(gè) C3 個(gè) D4 個(gè) 解：命題，函數(shù)是一種特殊的映射，是正確的；命題，定義域是空集，錯(cuò)誤；命題，y2x(xN)的圖象是一些孤立的點(diǎn)，故不對(duì)；命題的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， 不是拋物線只有正確，故選 A. 3若函數(shù) yf(x)的定義域是0，2，則函數(shù)g(x)f（2x）x1的定義域是( ) A0，1 B0，1) C0，1)(1，4 D(0，1) 解：f(x)的定義域?yàn)?，2，令02x2，x10，解此不等式組得 0 x0，則“f(x)0”是“x0”的( ) A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充分必要條件 D既不充分又不必要條件 解：若 f(x)

22、0，則當(dāng) x0 時(shí)，f(x)x2xx(x1)0，解得 x0；當(dāng) x0 時(shí)，f(x)log2x0，解得 00，1x20 x0，1x1x(0，1故填(0，1 8(2014浙江)設(shè)函數(shù) f(x)x2x，x0，x2，x0. 若 f(f(a)2，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是_ 解：作出 yf(x)的圖象如圖， 由 f(f(a)2 可得 f(a)2， 可得 a 2.故填(， 2 9函數(shù) f(x)滿足 f(x3)xx21. (1)求函數(shù) f(x)的解析式； (2)求函數(shù) f(x)的值域 解：(1)令 x3txt3. f(t)t3（t3）21t3t26t10. 函數(shù) f(x)的解析式為 f(x)x3x26x10.

23、 (2)令 yx3x26x10yx26yx10yx3， yx2(6y1)x10y30. 當(dāng) y0 時(shí)，x3； 當(dāng) y0 時(shí)，(6y1)24y(10y3)0， 12y12且 y0. 綜上知 f(x)的值域?yàn)?2，12. 10已知 f(x)bx12xa(a，b 為常數(shù)，ab2)，且 f(x) f1xk 為定值，求 k 的值 解：f(x) f1xbx12xabx12xa （bx1）（bx）（2xa）（2ax） bx2（b21）xb2ax2（a24）x2a. 又由條件知當(dāng) x0 時(shí)，恒有： f(x) f1xbx2（b21）xb2ax2（a24）x2ak(常數(shù)) 則 f(1) f(1)f(2) f12k

24、. 即b22b1a24a42b25b22a210a8， 亦即 2ab22aa2b4b， (ab2)(a2b)0. ab2，a2b0，即 a2b， kf2(1)b1a22b12（b1）214. 11已知函數(shù)f(x) （1a2）x23（1a）x6. (1)若 f(x)的定義域?yàn)?R， 求實(shí)數(shù) a 的取值范圍； (2)若 f(x)的值域?yàn)?，)，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 解：(1)若 1a20，即 a 1， (i)當(dāng) a1 時(shí)，f(x) 6，定義域?yàn)?R，符合要求； (ii)當(dāng) a1 時(shí)，f(x)6x6，定義域不為R. 若 1a20，g(x)(1a2)x23(1a)x6為二次函數(shù)，f(x)的定義域?yàn)?

25、R，g(x)0，xR 恒成立， 1a20，9（1a）224（1a2）0 1a1，（a1）（11a5）0511a1. 綜合得 a 的取值范圍是511，1 . (2)函數(shù) f(x)的值域?yàn)?，)， 函數(shù) g(x)(1a2)x23(1a)x6 取一切非負(fù)實(shí)數(shù)，1a20，9（1a）224（1a2）0 1a1，（a1）（11a5）01a511. 當(dāng) a1 時(shí)， f(x)6x6的值域?yàn)?， )，符合題目要求故所求實(shí)數(shù) a 的取值范圍為1，511. 定 義 在R上 的 函 數(shù)f(x) log2（1x），x0，f（x1）f（x2），x0， 則 f(2 015)的值為_(kāi) 解：x0 時(shí)，f(x)f(x1)f(x2

26、)， f(x1)f(x)f(x1) 兩式相加得 f(x1)f(x2)， f(x3)f(x)，f(x6)f(x3)f(x)， f(x)的周期為 6，因此，f(2 015)f(63355)f(5)又 f(1)log221，f(0)log210，f(1)f(0)f(1)1， f(2)f(1)f(0)1， f(3)f(2)f(1)0，f(4)f(3)f(2)1，f(5)f(4)f(3)1，f(2015)1，故填 1. 2.2 函數(shù)的單調(diào)性與最大函數(shù)的單調(diào)性與最大(小小)值值 1函數(shù)的單調(diào)性 (1)增函數(shù)與減函數(shù) 一般地，設(shè)函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?I： 如果對(duì)于定義域 I 內(nèi)某個(gè)區(qū)間 D 上的_自變量

27、的值 x1， x2， 當(dāng) x1x2時(shí)， 都有 f(x1)f(x2)，那么就說(shuō)函數(shù) f(x)在區(qū)間 D 上是_ 如果對(duì)于定義域 I 內(nèi)某個(gè)區(qū)間 D 上的_自變量的值 x1， x2， 當(dāng) x1x2時(shí)， 都有 f(x1)f(x2)，那么就說(shuō)函數(shù) f(x)在區(qū)間 D 上是_ (2)單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間 如果函數(shù) yf(x)在區(qū)間 D 上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù) yf(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的) _，區(qū)間 D 叫做 yf(x)的_ 2函數(shù)的最值 (1)最大值 一般地，設(shè)函數(shù) yf(x)的定義域?yàn)?I，如果存在實(shí)數(shù) M 滿足： 對(duì)于任意的 xI，都有_； 存在 x0I，使得_ 那么，我們稱 M 是函數(shù)

28、 yf(x)的最大值 (2)最小值 一般地，設(shè)函數(shù) yf(x)的定義域?yàn)?I，如果存在實(shí)數(shù) m 滿足： 對(duì)于任意的 xI，都有_； 存在 x0I，使得_ 那么我們稱 m 是函數(shù) yf(x)的最小值 自查自糾： 1(1)任意兩個(gè) 增函數(shù) 任意兩個(gè) 減函數(shù) (2)單調(diào)性 單調(diào)區(qū)間 2(1)f(x)M f(x0)M (2)f(x)m f(x0)m (2014北京)下列函數(shù)中，定義域是 R 且為增函數(shù)的是( ) Ayex Byx3 Cylnx Dy|x| 解：由所給選項(xiàng)知只有 yx3的定義域是 R 且為增函數(shù)故選 B. 若函數(shù) yax1 在1，2上的最大值與最小值的差為 2，則實(shí)數(shù) a 的值是( )

29、A2 B2 C2 或2 D0 解：當(dāng) a0 時(shí)，由題意得 2a1(a1)2，即 a2； 當(dāng) a0 時(shí)， a1(2a1)2， 即 a2，所以 a 2.故選 C. 下列區(qū)間中， 函數(shù) f(x)|ln（2x）在其上為增函數(shù)的是( ) A(，1 B.1，43 C.0，32 D1，2) 解： f(x)的定義域?yàn)?， 2)， f(1)0， 當(dāng) x1，2)時(shí)，f(x)ln(2x)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性特征知 f(x)為增函數(shù)故選 D. (2014天津)函數(shù) f(x)log12(x24)的單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi) 解：函數(shù) yf(x)的定義域?yàn)?，2)(2，)， 因?yàn)楹瘮?shù) yf(x)由 ylog12t 與 tg(x)x

30、24復(fù)合而成，又 ylog12t 在(0，)上單調(diào)遞減，g(x)在(， 2)上單調(diào)遞減， 所以函數(shù) yf(x)在(，2)上單調(diào)遞增故填(，2) 設(shè)a為常數(shù)， 函數(shù)f(x)x24x3.若f()xa在)0，上是增函數(shù)，則 a 的取值范圍是_ 解：f(x)x24x3()x221，f()xa()xa221，且當(dāng) x)2a，時(shí)，函數(shù) f(xa)單調(diào)遞增，因此 2a0，即 a2. 故填2，) 類型一類型一 判斷函數(shù)的判斷函數(shù)的單調(diào)性單調(diào)性，求求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 (1)(2013重慶模擬)求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： yx22|x|3； y1 x23x2； yx33x. 解：依題意，可得 當(dāng) x0 時(shí)

31、，yx22x3(x1)24； 當(dāng) x0 時(shí)，yx22x3(x1)24. 由二次函數(shù)的圖象知，函數(shù) yx22|x|3在(，1，0，1上是增函數(shù)，在1，0，1，)上是減函數(shù)故 yx22|x|3 的單調(diào)增區(qū)間為(，1和0，1；單調(diào)減區(qū)間為1，0和1，) 由 x23x20，得 x2 或 x1， 設(shè) ux23x2，則 y1 u， 當(dāng) x(，1時(shí)，u 為減函數(shù)， 當(dāng) x2，)時(shí)，u 為增函數(shù)， 而 u0 時(shí)，y1 u為減函數(shù) y1 x23x2的單調(diào)增區(qū)間為(， 1，單調(diào)減區(qū)間為2，) y3x233(x1)(x1)， 令 y0，得 x1 或 x1， 由 y0，得1x1， yx33x 的單調(diào)增區(qū)間為(，1)和

32、(1，)，單調(diào)減區(qū)間為(1，1) (2)證明 f(x)x21x在(1， )上為單調(diào)增函數(shù) 證法一：(定義法) 設(shè) x1，x2(1，)，且 x1x2，則 f(x1)f(x2)x211x1x221x2 (x1x2)(x1x2)x1x2x1x2 (x1x2)x1x21x1x2. 因?yàn)?1x1x2， x1x20， x1x22， x1x21， 所以 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)， 所以 f(x)x21x在(1，)上是增函數(shù) 證法二：(導(dǎo)數(shù)法) 因?yàn)?f(x)x21x(x1)， 所以 f(x)2x1x22x31x2. 又 x1，所以 2x310 且 x20，所以 f(x)0， 所以 f

33、(x)x21x在(1，)上是增函數(shù) 點(diǎn)撥： 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和判斷函數(shù)的單調(diào)性方法一致通常有以下幾種方法：(1)復(fù)合函數(shù)法：f(g(x)的單調(diào)性遵循“同增異減”的原則；(2)定義法：先求定義域，再利用單調(diào)性定義求解；(3)圖象法：可由函數(shù)圖象的直觀性寫(xiě)出它的單調(diào)區(qū)間；(4)導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)數(shù)取值的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間特別注意：?jiǎn)握{(diào)區(qū)間必為定義域的子集 (1)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞減的是_(填寫(xiě)序號(hào)即可) f(x)sinx; f(x)x1x； f(x)log12(x3); f(x)|x1|. 解：結(jié)合函數(shù)性質(zhì)及圖象分析可知：，不滿足題意 對(duì)于， f(x)11x2， 當(dāng) x(0， 1

34、)時(shí)， f(x)0， 則 f(x)在(0，1)上遞減； 對(duì)于，令 ux3，在(0，1)上遞增，而 ylog12u 為減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知，f(x)log12(x3)在(0，1)上單調(diào)遞減 綜上可知， 在(0， 1)上為減函數(shù)故填. (2)求證：函數(shù) f(x)x3x 在(，)上是增函數(shù) 證法一：(定義法) 任取 x1x2，則 x1x20， 所以 f(x1)f(x2)(x31x1)(x32x2) (x31x32)(x1x2) (x1x2)(x21x1x2x221) (x1x2)x112x2234x221 0， 即 f(x1)0 在(，)上恒成立，所以 f(x)在(，)上是增函數(shù) 類型二類型二

35、 函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 若函數(shù) ylog2(x2ax3a)在2， )上是單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 解： 設(shè) ux2ax3a0， 且函數(shù) u 在a2，上是單調(diào)增函數(shù) 又 ylog2u 是單調(diào)增函數(shù)， 根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，要使函數(shù) ylog2(x2ax3a)在2，)上是單調(diào)增函數(shù)， 只需 2，）a2， ，ux2ax3a0（x2，）恒成立. 即a22，uminu（2）0， 即a4，42a3a0， 解得40； (2)弄清常見(jiàn)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與題目給出的單調(diào)區(qū)間的關(guān)系， 如本題中，a2， 是單調(diào)增區(qū)間， 2，)是它的子集； (3)注意恒成立不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)化問(wèn)題 是否存在實(shí)數(shù)a， 使

36、函數(shù)f(x)loga(ax2x)在區(qū)間2，4上是單調(diào)增函數(shù)？證明你的結(jié)論. 解：設(shè) uax2x0. 假設(shè)符合條件的 a 存在 當(dāng) a1 時(shí)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知， 只需 uax2x 在2，4上是單調(diào)增函數(shù)， 所以 a 滿足12a2，uax2x0在2，4上恒成立. 即12a2，uminu（2）4a20. 解得 a12，于是a1. 當(dāng) 0a0 時(shí)，f(x)x2，則 x1x20， f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1x2) 又x0 時(shí)，f(x)0，f(x1x2)0，即 f(x1)x2，則 x1x20. 則 f(x1)f(x2)f(x1x2x2)f(x2) f(x1x2)f(x2)f(x2

37、)f(x1x2) 又x0 時(shí)，f(x)0， f(x1x2)0，即 f(x1)f(x2)， f(x)在 R 上為減函數(shù) (2)f(x)在 R 上是減函數(shù)， f(x)在3，3上也是減函數(shù)， f(x)在3，3上的最大值和最小值分別為f(3)與 f(3)而 f(3)3f(1)2，f(3)f(3)2. f(x)在3，3上的最大值為 2，最小值為2. 點(diǎn)撥： 對(duì)于抽象函數(shù)單調(diào)性的判斷仍然要緊扣單調(diào)性的定義，結(jié)合題目所給性質(zhì)和相應(yīng)的條件，對(duì)任意x1， x2在所給區(qū)間內(nèi)比較 f(x1)f(x2)與 0 的大小， 或f（x1）f（x2）與 1 的大小有時(shí)根據(jù)需要，需作適當(dāng)?shù)淖冃危?x1x2x1x2或 x1x2

38、x1x2等深挖已知條件，是求解此類題的關(guān)鍵在客觀題的求解中，解這類題目也可考慮用特殊化方法，如本題可依題目條件取 f(x)23x. (2013南昌模擬)f(x)的定義域?yàn)?0，)，且對(duì)一切 x0，y0 都有 fxyf(x)f(y)，當(dāng) x1 時(shí)，有 f(x)0. (1)求 f(1)的值； (2)判斷 f(x)的單調(diào)性并證明； (3)若 f(6)1，解不等式 f(x5)f1x2. 解：(1)f(1)fxxf(x)f(x)0，x0. (2)f(x)在(0，)上是增函數(shù) 證明：設(shè) 0 x1x2，則由 fxyf(x)f(y)，得 f(x2)f(x1)fx2x1，x2x11，fx2x10. f(x2)f

39、(x1)0， 即 f(x)在(0， )上是增函數(shù) (3)f(6)f366f(36)f(6)，又 f(6)1， f(36)2，原不等式化為：f(x25x)f(36)， 又f(x)在(0，)上是增函數(shù)， x50，1x0，x25x36， 解得 0 x4. 1證明函數(shù)的單調(diào)性與求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，均可運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性的定義，具體方法為差式比較法或商式比較法注意單調(diào)性定義還有如下的兩種等價(jià)形式： 設(shè) x1，x2(a，b)，且 x1x2，那么 (1)f（x1）f（x2）x1x20f(x)在(a，b)內(nèi)是增函數(shù)； f（x1）f（x2）x1x20f(x)在(a，b)內(nèi)是減函數(shù) 上式的幾何意義：增(減)函數(shù)圖象上任

40、意兩點(diǎn)(x1，f(x1)，(x2，f(x2)連線的斜率恒大于(或小于)零 (2)(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x)在(a，b)內(nèi)是增函數(shù)；(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x)在(a，b)內(nèi)是減函數(shù) 2函數(shù)單調(diào)性的判斷 (1)常用的方法有：定義法、導(dǎo)數(shù)法、圖象法及復(fù)合函數(shù)法 (2)兩個(gè)增(減)函數(shù)的和仍為增(減)函數(shù)； 一個(gè)增(減)函數(shù)與一個(gè)減(增)函數(shù)的差是增(減)函數(shù)； (3)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上有相反的單調(diào)性； (4)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：如果 yf(u)和 ug(x)的單調(diào)性相同，那么 yf(g(x)是增函數(shù)；如果 y

41、f(u)和 ug(x)的單調(diào)性相反，那么 yf(g(x)是減函數(shù)在應(yīng)用這一結(jié)論時(shí)，必須注意：函數(shù) ug(x)的值域必須是 yf(u)的單調(diào)區(qū)間的子集 (5)在研究函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，常需要先將函數(shù)化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化為討論一些熟知的函數(shù)的單調(diào)性，因此掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等的單調(diào)性，將大大縮短我們的判斷過(guò)程 3函數(shù)最值的重要結(jié)論 (1)設(shè) f(x)在某個(gè)集合 D 上有最小值， m 為常數(shù)，則 f(x)m 在 D 上恒成立的充要條件是 f(x)minm； (2)設(shè) f(x)在某個(gè)集合 D 上有最大值， m 為常數(shù)，則 f(x)m 在 D 上恒成立的充要條件是 f(x)maxm. 4自變量取值

42、之間的不等關(guān)系和函數(shù)值的不等關(guān)系可正逆互推，即若 f(x)是增(減)函數(shù)，則 f(x1)f(x2)x1x2(x1x2)在解決“與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式”問(wèn)題時(shí)，可以利用函數(shù)單調(diào)性的“可逆性”，脫去“函數(shù)符號(hào) f”，化為一般不等式求解，但運(yùn)算必須在定義域內(nèi)或給定的范圍內(nèi)進(jìn)行 1函數(shù) yx1的單調(diào)遞增區(qū)間是( ) A1，) B0，) C(，1 D(，0 解：y x1的圖象由 y x的圖象向右平移1 個(gè)單位得到，故 y x1的單調(diào)遞增區(qū)間是1，)故選 A. 2(2014陜西)下列函數(shù)中，滿足“f(xy)f(x)f(y)”的單調(diào)遞增函數(shù)是( ) Af(x)x12 Bf(x)x3 Cf(x)12x Df(

43、x)3x 解：選項(xiàng) C，D 中的指數(shù)函數(shù)滿足 f(xy)f(x) f(y)又 f(x)3x是增函數(shù)，所以 D 正確故選D. 3(2013西安調(diào)研)設(shè) f(x)為定義在 R 上的奇函數(shù)，且當(dāng) x0 時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，若 x1x20，則 f(x1)f(x2)的值( ) A恒為正值 B恒等于零 C恒為負(fù)值 D無(wú)法確定正負(fù) 解：f(x)為定義在 R 上的奇函數(shù)，且當(dāng) x0時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，f(x)在 R 上單調(diào)遞減 又 x1x20，則 x1x2， f(x1)f(x2)f(x2)， 從而有 f(x1)f(x2)0.故選 C. 4設(shè) 函 數(shù)g(x) x2 2(xR) ， f(x) g（x）x4，x

44、g（x），g（x）x，xg（x）.則 f(x)的值域是( ) A.94，0 (1，) B0，) C.94， D.94，0 (2，) 解：令 x0，解得 x2. 令 xg(x)，即 x2x20，解得1x2. 故函數(shù) f(x)x2x2，x2，x2x2，1x2. 當(dāng) x2 時(shí)，f(x)f(1)2； 當(dāng)1x2 時(shí)，f12f(x)f(1)， 即94f(x)0. 故函數(shù) f(x)的值域是94，0 (2，)故選D. 5設(shè)函數(shù) f(x)loga|x|在(，0)上單調(diào)遞增，則 f(a1)與 f(2)的大小關(guān)系是( ) Af(a1)f(2) Bf(a1)f(2) Cf(a1)f(2) D不能確定 解：由 yf(x

45、)的圖象及已知可得 0a1，所以1a1f(2)故選 A. 6已知定義在 R 上的奇函數(shù) f(x)滿足 f(x4)f(x)，且在區(qū)間0，2上是增函數(shù)，則( ) Af(25)f(11)f(80) Bf(80)f(11)f(25) Cf(11)f(80)f(25) Df(25)f(80)f(11) 解：f(x8)f(x4)f(x)，T8，又 f(x)是 R 上的奇函數(shù)，f(0)0. f(x)在0，2上是增函數(shù)，且 f(x)0， f(x)在2，0上也是增函數(shù)，且 f(x)0， 又 x2，4時(shí)，f(x)f(x4)0，且 f(x)為減函數(shù) 同理 f(x)在4，6上為減函數(shù)且 f(x)0， 從而可得 yf(

46、x)的大致圖象如圖所示 f(25)f(1)0， f(11)f(3)0， f(80)f(0)0. f(25)f(80)f(11)，故選 D. 7若函數(shù) f(x)|2xa的單調(diào)遞增區(qū)間是3，)，則 a_ 解法一：函數(shù)的對(duì)稱軸為 xa2，由對(duì)稱性可知a23，a6. 解法二：由 f(3)0a6.故填6. 8. (2012山東)若函數(shù) f(x)ax(a0，a1)在1，2上的最大值為 4，最小值為 m，且函數(shù) g(x)(14m)x在0，)上是增函數(shù)，則 a_ 解： 若 0a1，則f（2）4，f（1）m，即a24，1am，解得a2，m12. g(x)1412x x在0，)上是減函數(shù)，不合題意綜上知，a14.

47、故填14. 9已知 ab0，m0. (1)判斷函數(shù) f(x)bxax在區(qū)間(0，)內(nèi)的單調(diào)性； (2)證明不等式babmam. 解：(1)f(x)bxaxax（ba）ax1abax， 又 yabax在(a，)內(nèi)為增函數(shù)， f(x)在(0，)內(nèi)為增函數(shù) (2)證明：由(1)知 f(x)在(a，)內(nèi)為增函數(shù)， 當(dāng) x10，x2m 時(shí)，x1x2，有 f(x1)f(x2)，即ba1時(shí)，f(x)0，且對(duì)于任意的正數(shù) x，y 都有 f(xy)f(x)f(y) (1)證明：函數(shù) f(x)在定義域上是單調(diào)增函數(shù)； (2)如果 f131 且 f(x)f1x22，求 x 的取值范圍 解：(1)證明：設(shè) 0 x11

48、，所以 fx2x10， 所以 f(x2)f(x1)0. 故 f(x)在定義域上是單調(diào)增函數(shù) (2)當(dāng) xy1 時(shí)，f(1)0.令 y1x， 得 f(1)f(x)f1x，所以 f1xf(x) 故由 f131，得 f(3)1. 于是 f(x)f1x2f(x)f(x2)f(x22x)2， 而 2f(3)f(3)f(9)，則有 f(x22x)f(9) 所以 x 滿足x22x9，x0，x20， 解得 x1 10. 故實(shí)數(shù) x 的取值范圍是1 10，) 已知函數(shù) f(x)x2lnxax 在(0，1)上是增函數(shù) (1)求 a 的取值范圍； (2)在(1)的結(jié)論下， 設(shè) g(x)e2x|exa， x0，ln3

49、，求函數(shù) g(x)的最小值 解：(1)f(x)2x1xa.f(x)在(0，1)上是增函數(shù)， 2x1xa 在(0，1)上恒成立， 即 a2x1xmin(x(0，1)， 2x1x2 2當(dāng)且僅當(dāng) x22時(shí)，取等號(hào)， 所以 a 的取值范圍為a|a2 2 (2)設(shè) tex，則 h(t)t2|ta(顯然 t1，3)， 當(dāng) a1 時(shí)，h(t)t2ta 在區(qū)間1，3上是增函數(shù)，所以 h(t)的最小值為 h(1)2a. 當(dāng) 1a2 2時(shí)，h(t)t2ta，1ta，t2ta，at3. 因?yàn)楹瘮?shù) h(t)在區(qū)間a，3上是增函數(shù)，在區(qū)間1，a上也是增函數(shù)，又 h(t)在1，3上是連續(xù)函數(shù)，所以 h(t)在1，3上為增

50、函數(shù)，所以 h(t)的最小值為h(1)a， g(x)min2a，a1，a，1a2 2. 2.3 函數(shù)的奇偶性與周期性函數(shù)的奇偶性與周期性 1奇、偶函數(shù)的概念 (1)偶函數(shù) 一般地，如果對(duì)于函數(shù) f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè) x，都有_，那么函數(shù) f(x)就叫做偶函數(shù) (2)奇函數(shù) 一般地，如果對(duì)于函數(shù) f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè) x，都有_，那么函數(shù) f(x)就叫做奇函數(shù) 2奇、偶函數(shù)的圖象特征 偶函數(shù)的圖象關(guān)于_對(duì)稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱 3具有奇偶性函數(shù)的定義域的特點(diǎn) 具有奇偶性函數(shù)的定義域關(guān)于_，即定義 域 關(guān)于 _ 是一 個(gè)函 數(shù) 具有 奇偶 性 的_條件 4周期函數(shù)的概念 (1)周期、

51、周期函數(shù) 對(duì)于函數(shù) f(x)，如果存在一個(gè)_T，使得當(dāng) x 取定義域內(nèi)的_值時(shí)，都有_，那么函數(shù) f(x)就叫做周期函數(shù)T 叫做這個(gè)函數(shù)的周期 (2)最小正周期 如果在周期函數(shù) f(x)的所有周期中存在一個(gè)_的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做 f(x)的最小正周期 5函數(shù)奇偶性與單調(diào)性之間的關(guān)系 (1)若函數(shù) f(x)為奇函數(shù)，在a，b上為增(減)函數(shù)，則 f(x)在b，a上應(yīng)為_(kāi)； (2)若函數(shù) f(x)為偶函數(shù)，在a，b上為增(減)函數(shù)，則 f(x)在b，a上應(yīng)為_(kāi) 6奇、偶函數(shù)的“運(yùn)算”(共同定義域上) 奇 奇_，偶 偶_，奇奇 _ ， 偶 偶 _ ， 奇 偶 _. 7函數(shù)的對(duì)稱性 如果函數(shù)

52、 f(x)，xD，滿足xD，恒有 f(ax)f(bx)，那么函數(shù)的圖象有對(duì)稱軸 ；如果函數(shù) f(x)，xD，滿足xD，恒有 f(ax)f(bx)，那么函數(shù)的圖象有對(duì)稱中心 8函數(shù)的對(duì)稱性與周期性的關(guān)系 (1)如果函數(shù) f(x)(xD)在定義域內(nèi)有兩條對(duì)稱軸 xa，xb(ab)，則函數(shù) f(x)是周期函數(shù)，且周期 T2(ba)(不一定是最小正周期，下同) (2)如果函數(shù) f(x)(xD)在定義域內(nèi)有兩個(gè)對(duì)稱中心 A(a，0)，B(b，0)(a0 時(shí)，f(x)x21x，則 f(1)( ) A2 B0 C1 D2 解：f(x)為奇函數(shù)，f(1)f(1)2.故選 A. (2014湖南)已知 f(x)，

53、 g(x)分別是定義在 R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且 f(x)g(x)x3x21，則f(1)g(1)( ) A3 B1 C1 D3 解：用“x”代替“x”，得 f(x)g(x) (x)3(x)21，化簡(jiǎn)得 f(x)g(x)x3x21，令 x1，得 f(1)g(1)1.故選 C. (2014四川)設(shè) f(x)是定義在 R 上的周期為2的 函 數(shù) ， 當(dāng)x 1 ， 1) 時(shí) ， f(x) 4x22，1x0，x，0 x1， 則 f32_. 解：f32f212f12412221.故填 1. (2014湖南)若 f(x)ln(e3x1)ax 是偶函數(shù)，則 a_. 解法一：函數(shù) f(x)ln(e3x1)ax

54、為偶函數(shù)，故 f(x)f(x)， 即 ln(e3x1)axln(e3x1)ax，故 lne3x1e3x12ax3x2ax，a32. 解法二：f(x)3e3xe3x1a.f(x)為偶函數(shù)， f(x)為奇函數(shù)，f(0)032a0a32.故填32. 類型一類型一 函數(shù)奇偶性的判斷函數(shù)奇偶性的判斷 判斷下列函數(shù)的奇偶性： (1)f(x)(x1)1x1x； (2)f(x)x22x1，x0，x22x1，x0； (3)f(x)4x2x； (4)f(x)x211x2； (5)f(x)loga(xx21)(a0 且 a1) 解：(1)定義域要求1x1x0，1x1， f(x)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， f(x)不具

55、有奇偶性 (2)解法一(定義法)：當(dāng) x0 時(shí)，f(x)x22x1，x0，f(x)(x)22(x)1x22x1f(x)； 當(dāng) x0 時(shí)，f(x)x22x1，x0， f(x)(x)22(x)1x22x1f(x) f(x)為奇函數(shù) 解法二(圖象法)：作出函數(shù) f(x)的圖象， 由圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的特征知函數(shù) f(x)為奇函數(shù) (3)4x20，x0， 2x2 且 x0， 定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 又 f(x)4（x）2x4x2x， f(x)f(x) 故函數(shù) f(x)為奇函數(shù) (4)f(x)的定義域?yàn)?，1，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又 f(1)f(1)0，即 f(1)f(1)，且 f(1)f(1)，故 f(x)既是奇

56、函數(shù)，又是偶函數(shù) (5)函數(shù)的定義域?yàn)?R， 又f(x)f(x) logax（x）21loga(xx21) loga(x21x)loga(x21x) loga(x21x)(x21x) loga(x21x2)loga10. 即 f(x)f(x)，f(x)為奇函數(shù) 點(diǎn)撥： 判斷函數(shù)奇偶性的步驟是：求函數(shù)定義域，看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若不對(duì)稱，則既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；驗(yàn)證 f(x)是否等于f(x)，或驗(yàn)證其等價(jià)形式 f(x)f(x)0 或f（x）f（x） 1(f(x)0)是否成立(2)對(duì)于分段函數(shù)的奇偶性應(yīng)分段驗(yàn)證，但比較繁瑣，且容易判斷錯(cuò)誤，通常是用圖象法來(lái)判斷(3)對(duì)于含有 x 的對(duì)數(shù)

57、式或指數(shù)式的函數(shù)通常用“f(x)f(x)0”來(lái)判斷 (2013廣州模擬)判斷下列函數(shù)的奇偶性： (1)f(x)lg（4x2）|x2|x4|； (2)f(x)x2x，x0，x2x，x0. 解：(1)由4x20，|x2|x4|0， 得2x2， 即函數(shù) f(x)的定義域是x|2x2 又 f(x)lg（4x2）|x2|x4|lg（4x2）2xx416lg(4x2)， f(x)16lg4(x)216lg(4x2)f(x)， 所以函數(shù) f(x)是偶函數(shù) (2)當(dāng) x0 時(shí)，f(x)x2x， x0， f(x)(x)2xx2xf(x)； 當(dāng) x0 時(shí)，f(x)x2x， x0，f(x)(x)2xx2xf(x)

58、f(x)是奇函數(shù) 類型二類型二 利用函數(shù)性質(zhì)求解析式利用函數(shù)性質(zhì)求解析式 已知函數(shù) f(x)滿足 f(x) f(x2)13. (1)求證：f(x)是周期函數(shù)； (2)若 f(1)2，求 f(99)的值； (3)若當(dāng) x0，2時(shí)，f(x)x，試求 x4，8時(shí)函數(shù) f(x)的解析式 解：(1)證明：由題意知 f(x)0，則 f(x2)13f（x）.用 x2 代替 x 得 f(x4)13f（x2）f(x)，故 f(x)為周期函數(shù)，且 4 為 f(x)的周期 (2)若 f(1)2，則 f(99)f(2443)f(3)13f（1）132. (3)當(dāng) x4，6時(shí)，x40，2，則 f(x4)x4，又周期為

59、4，所以 f(x)f(x4)x4. 當(dāng) x(6，8時(shí)，x6(0，2，則 f(x6)x6，根據(jù)周期為 4，則 f(x2)f(x6)x6. 又 f(x) f(x2)13， 所以 f(x)13f（x2）13x6. 所以解析式為 f(x)x4，4x6，13x6，6x8. 點(diǎn)撥： 本題存在規(guī)律性：若 f(xa) f(x)b(常數(shù))，則 2a 為 f(x)的周期(a0)；同理，f(xa)f(x)或 f(xa)1f（x）或 f(xa)1f（x），均可推得2a 為 f(x)的周期(a0) 已知函數(shù) f(x)，xR 的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱， 且當(dāng) x0， 1時(shí)， f(x)x2， 同時(shí) f(x2)f(x)，求 f

60、(x) 解：由題意知函數(shù) f(x)是偶函數(shù)，也是以 2 為周期的周期函數(shù)所以先求出一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式，然后推廣到整個(gè)定義域即可 0 x1 時(shí)，f(x)x2，且 f(x)為偶函數(shù)， 當(dāng)1x0 時(shí)，f(x)x2. 1x1 時(shí)，f(x)x2. f(x)為周期函數(shù)，且周期為 2， f(x2n)f(x)(nZ) 故 f(x)(x2n)2(x(2n1，2n1)(nZ) 類型三類型三 奇偶性與單調(diào)性的綜合奇偶性與單調(diào)性的綜合 設(shè)定義在2，2上的偶函數(shù) f(x)在區(qū)間0，2上單調(diào)遞減，若 f(1m)f(m)，則實(shí)數(shù) m的取值范圍是_ 解：f(x)是偶函數(shù)，f(x)f(x)f(|x|) f(1m)f(m)f(|