湖南省衡陽市高三下學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)理試題

1、2017屆高三畢業(yè)班聯(lián)考（一）理科數(shù)學(xué)第卷（選擇題 共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每個小題給出的四個選項中，有且只有一項符合題目要求.1.若集合，則 A. B. C. D.2.為虛數(shù)單位，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點在 A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限3.已知，若，則 A. B. C. D.4.若直線與圓有公共點，則實數(shù)的取值范圍是 A. B. C. D. 5.九章算術(shù)中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為“塹堵”，已知某“塹堵”的三視圖如右圖所示，則該“塹堵”的表面積為 A. B. C. D. 6.設(shè)，把的圖象向右平移個單位后，恰好得到函數(shù)

2、的圖象，則的值可以為 A. B. C. D.7.2017年1月我市某校高三年級1600名學(xué)生參加了2017屆全市高三期末聯(lián)考，已知數(shù)學(xué)考試成績（試卷滿分150分）.統(tǒng)計結(jié)果顯示數(shù)學(xué)考試成績在80分到120分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的，則此次期末聯(lián)考中成績不低于120分的學(xué)生人數(shù)約為 A. 120 B. 160 C. 200 D. 2408.執(zhí)行如右圖所示的程序框圖，則輸出的值為（參考數(shù)據(jù)：） A. 24 B. 48 C. 36 D. 609.我國古代數(shù)學(xué)名著數(shù)學(xué)九章中有“天池盆測雨”題：在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨水.天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆地直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中積水深九

3、寸，則平地降雨量是（注：平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；一尺等于十寸；臺體的體積公式為）. A.2寸 B. 3寸 C. 4寸 D.5寸10.已知，若，則的值為 A. B. 0 C. 1 D.11.拋物線的焦點與雙曲線的右焦點的連線交于第一象限內(nèi)的點，若在點處的切線平行于的一條漸近線，則 A. B. C. D. 12.在中，分別是邊的中點，分別是線段的的中點，, 分別是線段的中點.設(shè)數(shù)列滿足：向量，有下列四個命題，其中假命題是： A.數(shù)列是等比數(shù)列 B.數(shù)列有最小值，無最大值 C.數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列 D.若中，,則取最小值時，有第卷（非選擇題 共90分）二、填空題：本

4、大題共4小題，每小題5分，共20分.13.在中，分別是角的對邊，已知，且有，則實數(shù) .14.某單位為了了解用電量度與氣溫之間的關(guān)系，隨機統(tǒng)計了某四天的用電量與當(dāng)天氣溫，列表如下：由表中數(shù)據(jù)得到回歸直線方程為，據(jù)此預(yù)測當(dāng)氣溫為時，用電量為 （單位：度）.15.在平面區(qū)域內(nèi)取點，過點作曲線的切線，切點分別為，設(shè)，則角取得最小值時，的值為 .16. 太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圖案，俗稱陰陽魚，太極圖展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化，相互統(tǒng)一的和諧美.定義：能夠?qū)AO的周長和面積同時等分成兩部分的函數(shù)稱為圓O的一個“太極函數(shù)”.下列有關(guān)說法中：對于圓的所有非常熟函數(shù)的太極函數(shù)中，一定不能為偶函數(shù)；函數(shù)是圓的一個

5、太極函數(shù)；存在圓O，使得是圓O的太極函數(shù)；直線所對應(yīng)的函數(shù)一定是圓的太極函數(shù)；若函數(shù)是圓的太極函數(shù)，則所有正確的是 .三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明或推理、驗算過程.17.（本題滿分10分）已知數(shù)列的前項和為，且對任意正整數(shù)都有成立.（）記，求數(shù)列的通項公式；（）設(shè)，求數(shù)列的前項和.18.（本題滿分12分）已知四棱柱的底面是邊長為的菱形，且，平面，設(shè)為的中點（1）求證：平面；（2）點在線段上，且平面，求平面和平面所成銳角的余弦值19.（本題滿分12分）根據(jù)國家環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定:居民區(qū)中的PM2.5（PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱可

6、入肺顆粒物）年平均濃度不得超過35微克/立方米，PM2.5的24小時平均濃度不得超過75微克/立方米. 我市環(huán)保部門隨機抽取了一居民區(qū)去年40天的PM2.5的24小時平均濃度的監(jiān)測數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：組別PM2.5(微克/立方米)頻數(shù)(天)頻率第一組( 0，1540.1第二組(15，30120.3第三組(30，4580.2第四組(45，6080.2第五組(60，7540.1第六組(75，90)40.1（1）寫出該樣本的眾數(shù)和中位數(shù)（不必寫出計算過程）；（2）求該樣本的平均數(shù)，并根據(jù)樣本估計總體的思想，從PM2.5的年平均濃度考慮，判斷該居民區(qū)的環(huán)境是否需要改進(jìn)？說明理由；（3）將頻率視為概率，

7、對于去年的某2天，記這2天中該居民區(qū)PM2.5的24小時平均濃度符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)的天數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望和方差.20.（本題滿分12分）已知動圓與圓相切，且與圓相內(nèi)切，記圓心的軌跡為曲線；設(shè)為曲線上的一個不在軸上的動點，為坐標(biāo)原點，過點作的平行線交曲線于兩個不同的點（1）求曲線的方程；（2）試探究的值能否為一個常數(shù)？若能，求出這個常數(shù)；若不能，請說明理由；（3）記的面積為，的面積為，令，求的最大值21.（本題滿分12分）已知函數(shù)，的圖象與軸交于點（異于原點），在處的切線為，的圖象與軸交于點，且在該點處的切線為，并且與平行.（）求的值；（）已知實數(shù)，求函數(shù)的最小值；（）令，給定，對于兩

8、個大于1的正數(shù)，存在實數(shù)滿足：，并且使得不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.請考生在第22、23兩題中任選一題作答，如果兩題都做，則按照所做的第一題給分；作答時，請用2B鉛筆將答題卡上相應(yīng)的題號涂黑。22.（本題滿分10分）選修4-4：參數(shù)方程與極坐標(biāo)系在直角坐標(biāo)系中，以為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. 圓與直線的極坐標(biāo)方程分別為.（1） 求與交點的極坐標(biāo);（2）設(shè)為的圓心，為與交點連線的中點，已知直線的參數(shù)方程為為參數(shù)) ，求的值.23.（本題滿分10分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù)（1）若，求不等式的解集；（2）若方程有三個不同的解，求的取值范圍2017屆高中畢業(yè)班聯(lián)考（一）一、選擇題：

9、本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1-6:BCDADD 7-12:CABACB二、填空題：本題共4小題，每小題5分.13 1468 15 16三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17(本小題滿分12分)已知數(shù)列的前項和為，且對任意正整數(shù)都有成立.（）記，求數(shù)列的通項公式；（）設(shè)，求數(shù)列的前項和.【解析】（）在中，令得. 因為對任意正整數(shù)，都有成立，所以，-2分兩式相減得，所以， -4分又，所以為等比數(shù)列，所以，所以.-6分（），-8分所以-10分-12分18(本小題滿分12分)已知四棱柱的底面是邊長為的菱形，且，平面，設(shè)為的中點（1

10、）求證：平面；（2）點在線段上，且平面，求平面和平面所成銳角的余弦值【解析】（1）證明：由已知該四棱柱為直四棱柱，且為等邊三角形，所以平面，而平面，故-2分因為的三邊長分別為，故為等腰直角三角形所以，結(jié)合且可知：平面-4分（2）解：取中點，則由為等邊三角形知，從而以為坐標(biāo)軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系此時,，設(shè)-6分由上面的討論知平面的法向量為由于平面，故平面故，故-8分設(shè)平面的法向量為，由知，取，故-10分設(shè)平面和平面所成銳角為，則即平面和平面所成銳角的余弦值為-12分19(本小題滿分12分)根據(jù)國家環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定:居民區(qū)中的PM2.5（PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，

11、也稱可入肺顆粒物）年平均濃度不得超過35微克/立方米，PM2.5的24小時平均濃度不得超過75微克/立方米. 我市環(huán)保部門隨機抽取了一居民區(qū)去年40天的PM2.5的24小時平均濃度的監(jiān)測數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：組別PM2.5(微克/立方米)頻數(shù)(天)頻率第一組( 0，1540.1第二組(15，30120.3第三組(30，4580.2第四組(45，6080.2第五組(60，7540.1第六組(75，90)40.1（1）寫出該樣本的眾數(shù)和中位數(shù)（不必寫出計算過程）；（2）求該樣本的平均數(shù)，并根據(jù)樣本估計總體的思想，從PM2.5的年平均濃度考慮，判斷該居民區(qū)的環(huán)境是否需要改進(jìn)？說明理由；（3）將頻率視為

12、概率，對于去年的某2天，記這2天中該居民區(qū)PM2.5的24小時平均濃度符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)的天數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望和方差.【解析】（1）眾數(shù)為22.5微克/立方米, 中位數(shù)為37.5微克/立方米 -2分（2）去年該居民區(qū)PM2.5年平均濃度為（微克/立方米）-4分因為，所以去年該居民區(qū)PM2.5年平均濃度不符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，故該居民區(qū)的環(huán)境需要改進(jìn) -6分（3）記事件表示“一天PM2.5的24小時平均濃度符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)”，則.隨機變量的可能取值為0,1,2.且.-8分所以， 所以變量的分布列為012P-10分（天） (另解：（天）)-12分20(本小題滿分12分)已知動圓與圓相

13、切，且與圓相內(nèi)切，記圓心的軌跡為曲線；設(shè)為曲線上的一個不在軸上的動點，為坐標(biāo)原點，過點作的平行線交曲線于兩個不同的點（1）求曲線的方程；（2）試探究的值能否為一個常數(shù)？若能，求出這個常數(shù)；若不能，請說明理由；（3）記的面積為，的面積為，令，求的最大值【解析】解：（1）設(shè)圓心的坐標(biāo)為，半徑為，由于動圓與圓相切，且與圓相內(nèi)切，所以動圓與圓只能內(nèi)切圓心的軌跡為以為焦點的橢圓，其中，故圓心的軌跡-3分（2）設(shè)，直線，則直線，由可得：，-5分由可得：，-7分的值為一個常數(shù)，這個常數(shù)為-8分（3），的面積的面積，到直線的距離，-10分令，則，（當(dāng)且僅當(dāng)，即，亦即時取等號）當(dāng)時，取最大值-12分21(本小題

14、滿分12分)已知函數(shù)，的圖象與軸交于點（異于原點），在處的切線為，的圖象與軸交于點，且在該點處的切線為，并且與平行.（）求的值；（）已知實數(shù)，求函數(shù)的最小值；（）令，給定，對于兩個大于1的正數(shù)，存在實數(shù)滿足：，并且使得不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（I）圖象與軸異于原點的交點，圖象與軸的交點，由題意可得，即， ，-3分（II）=令，在 時，在單調(diào)遞增，圖象的對稱軸，拋物線開口向上當(dāng)即時，當(dāng)即時，當(dāng)即時，-6分綜上：當(dāng)時， ；當(dāng)；當(dāng)時，-7分（III）,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增 時，-8分當(dāng)時，有，得，同理， 由的單調(diào)性知 、從而有，符合題設(shè). -9分當(dāng)時，由的單調(diào)性知 ，與題設(shè)不符 -10分當(dāng)時，同理可得，得，與題設(shè)不符. -11分綜合、得-12分請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.22(本小題滿分10分)選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，以為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. 圓與直線的極坐標(biāo)方程分別為.（1） 求與交點的極坐標(biāo);（2）設(shè)為的圓心，為與交點連線的中點，已知直線的參數(shù)方程為為參數(shù)) ，求的值.【解析】（1）圓的直角坐標(biāo)方程為,直線的