積分斂散性的判斷

1、目 錄摘要.2引言.31無窮積分.51.1無窮積分的概念.51.2無窮積分斂散性的柯西準則 .51.3無窮積分斂散性的比較判別法.61.4無窮積分的斂散性的狄利克雷與阿貝爾判別法.72瑕積分.82.1瑕積分的定義.92.2瑕積分的斂散性的比較判別法. .102.3.瑕積分斂散性的柯西判別法.102.4無窮積分的斂散性的狄利克雷與阿貝爾判別法. .123瑕積分與無窮積分之間的關(guān)系. .13總 結(jié). .13參考文獻. .14判斷反常積分斂散性的方法謝鵬 數(shù)學與計算機科學學院 摘 要： 反常積分的收斂性是數(shù)學分析中的難點之一，本文介紹了反常積分斂散性的定義和一些重要的反常積分收斂和發(fā)散的例子，以及絕

2、對收斂和條件收斂的概念等，讓讀者能夠用反常積分的柯西收斂原理、非負函數(shù)反常積分的比較判別法、柯西判別法，以及一般函數(shù)反常積分的狄利克雷、阿貝爾判別法判別法判別基本的反常積分斂散性，以便更好的掌握反常積分收斂先判斷的方法.關(guān)鍵詞：無窮積分；瑕積分；斂散性；判別方法On Convergence of The Method of Judging Abnormal IntegralName of student, School: XiePeng，School of Mathematics & Computer ScienceAbstract: The convergence of improp

3、er integrals is one of the difficulties in mathematical analysis.This article describes the definition of convergence and divergence of improper integrals, examples of some important improper integrals convergence and divergence. What's more, it also describes the concept of absolute convergence

4、 and conditional convergence, etc., which allows the reader to use the improper integrals of Cauchy convergence of the improper integral of the principle of non-negative function-comparison Tests, the law of Cauchy distinguish the improper integrals, and general function, Dirichlet, Abel Discriminan

5、t discriminant method to distinguish the basic improper integral convergence and divergence, in order to grasp of the improper integrals convergence of the first judgment better.Key words: Infinite ；Integral ；Convergence discriminant ；Method of flaw integral1 引言定積分有兩個明顯的缺陷：其一,積分區(qū)間必須是有限區(qū)間；其二,若,則,使得對于

6、任意的,（即有界是可積的必要條件）.這兩個缺陷限制了定積分的應(yīng)用,因為在許多實際問題和理論問題中涉及到積分區(qū)間是無窮區(qū)間或被積函數(shù)出現(xiàn)無界的情形.也就是在許多和實際中往往不能滿足這兩個條件.因此，就需要研究無窮區(qū)間上或者無界函數(shù)的積分問題.而將這兩個約束條件取消.便得到定積分的兩種形式推廣；將函數(shù)的積分從積分區(qū)間有界擴展到無界的無窮積分和將被積函數(shù)有界擴展到無界函數(shù)的瑕積分.這兩種積分就是通常所說的反常積分.反常積分是伴隨者數(shù)學的發(fā)展而發(fā)展起來的近代數(shù)學.作為數(shù)學的一類基本命題，它是高等數(shù)學中的一個重要概念，它的出現(xiàn)為物理學解決許多計算上的難題，也為其他學科的發(fā)展起了促進作用，并且在其它學科及

7、科學領(lǐng)域中也有十分廣泛的應(yīng)用.但是，反常積分涉及到一個所謂的收斂性問題.由于反常積分應(yīng)用的重要性，所以，對反常積分斂散性的判斷就顯得十分必要了.反常積分的概述： 例1（第二宇宙速度問題） 在地球表面垂直發(fā)射火箭，要使火箭克服地球引力，無限遠離地球，問初速度至少多大？  解 設(shè)地球半徑為，火箭質(zhì)量為，地面上的重力加速度為，按萬有引力定律，在距地心處火箭受到的引力為于是火箭上升到距地心處需作的功為.當時，其極限就是火箭無限遠離地球需要作的功再由能量守恒定律，可求得初速度至少應(yīng)使 . 例2 圓柱形桶的內(nèi)壁高為,內(nèi)半徑為,桶底有一半徑為的小孔.試問從盛滿水開始打開小孔，問需多長時間才能把桶里

8、水全部放完？ 解 由物理學知識知道，（在不計摩擦情況下），桶里水位高度為時，水從小孔里流出的速度為 ,其中為重力加速度.設(shè)在很短一段時間內(nèi)，桶里水面降低的高度為，則有下面關(guān)系：由此得   所以流完一桶水所需的時間在形式上亦可寫成“積分”：.但是，被積函數(shù)在上是無界函數(shù)，所以它的確切含義應(yīng)該是 .相對于以前學習的定積分（正常積分），我們把這里的積分叫做反常積分.1 無窮積分1.1 無窮積分的概念設(shè)函數(shù)在上有定義 . 且 ,記稱之為在上的無窮積分若式中的極限存在，則稱此無窮積分收斂，極限值即為無窮積分值；若式中的極限不存在，則稱該無窮積分發(fā)散 .類

9、似地，可定義在(上的無窮積分：對于在()上的無窮積分，它用前面兩種無窮積分來定義：其中為任一實數(shù)，當且僅當右邊兩個無窮積分都收斂時它才是收斂的 注1 無窮積分的收斂性與收斂時的值,都和實數(shù)的選取無關(guān). 注2 由于無窮積分是由,來定義的,因此,在任何有限區(qū)間上,首先必須是可積的. 注3 收斂的幾何意義是：若在上為非負連續(xù)函數(shù)，則介于曲線，直線以及軸之間那一塊向右無限延伸的陰影區(qū)域有面積 由定義知道，無窮積分收斂與否，取決于積分上限函數(shù)在時是否存在極限因此可由函數(shù)極限的柯西準則導出無窮積分收斂的柯西準則1.2 柯西準則 無窮積分收斂的充要條件是：任給>0，存在G，只要，便有 此外，還可根據(jù)函

10、數(shù)極限的性質(zhì)與定積分的性質(zhì)，導出無窮積分的一些相應(yīng)性質(zhì)； 性質(zhì)1若與都收斂，,為任意常數(shù)，則也收斂，且 性質(zhì)2 若在任何有限區(qū)間)上可積，且有收斂，則亦必收斂，并有 證 由收斂，根據(jù)柯西準則(必要性)，任給，存在G，當時，總有 .利用定積分的絕對值不等式，又有.再由柯西準則(充分性)，證得收斂又因，令 取極限，立刻得到不等式.當收斂時，稱為絕對收斂性質(zhì)2指出：絕對收斂的無窮積分，它自身也一定收斂但是它的逆命題不成立，稱收斂而不絕對收斂的無窮積分為條件收斂1.3比較判別法 首先給出無窮積分的絕對收斂判別法由于關(guān)于上限是單調(diào)遞增的，因此收斂的充要條件是存在上界根據(jù)這一分析，便立即導出下述比較判別法

11、： 定理1(比較法則) 設(shè)定義在)上的兩個函數(shù)和都在任何有限區(qū)間上可積，且滿足 則當收斂時必收斂(或當發(fā)散時，必發(fā)散) 例3 討論的收斂性解 由于，而為收斂，故為絕對收斂當選用作為比較對象時，比較判別法有如下兩個推論(稱為柯西判別法) 推論1 設(shè)定義于 ()，且在任何有限區(qū)間上可積，則有： (i)當 ,且時, 收斂; (ii)當且時, 發(fā)散.推論2 設(shè)定義于)，在任何有限區(qū)間上可積，且則有：(i)當 時, 收斂; (ii)當 時, 發(fā)散.推論3 若和都在任何)上可積，且則有 (i)當時，由收斂可推知也收斂；(ii)當時，由發(fā)散可推知也發(fā)散.1.4狄利克雷判別法與阿貝爾判別法這里來介紹兩個判別一

12、般無窮積分收斂的判別法定理(狄利克雷判別法) 若在)上有界，在上當時單調(diào)趨于，則無窮積分收斂 定理(阿貝爾(Abel)判別法) 若收斂，在)上單調(diào)有界，則無窮積分收斂 用積分第二中值定理來證明狄利克雷判別法與阿貝爾判別法 例4 討論與的收斂性 解 這里只討論前一個無窮積分，后者有完全相同的結(jié)論下面分兩種情形來討論： (i)當>1時絕對收斂這是因為 而當>1時收斂，故由比較法則推知收斂.(ii)當時條件收斂這是因為對任意1，有，而當時單調(diào)趨于，故由狄利克雷判別法推知工當時總是收斂的 另一方面，由于，其中-是收斂的，而是發(fā)散的，因此當時該無窮積分不是絕對收斂的所以它是條件收斂的 例5

13、證明下列無窮積分都是條件收斂的證 前兩個無窮積分經(jīng)換元得到由例4知它們是條件收斂的對于第三個無窮積分，經(jīng)換元而得，它也是條件收斂的從例5中三個無窮積分的收斂性可以看到，當時被積函數(shù)即使不趨于零，甚至是無界的，無窮積分仍有可能收斂2 瑕積分2.1 瑕積分的定義定義 設(shè)函數(shù)定義在區(qū)間上，在點的任一右鄰域內(nèi)無界，但在任何內(nèi)閉區(qū)間上有界且可積.如果存在極限             則稱此極限為無界函數(shù)在區(qū)間上的反常積分，記作 .并稱反常積分收斂. 如果極限不存在,這時亦稱反

14、常積分發(fā)散. 在上述定義中，被積函數(shù)在點的近旁是無界的，這時點稱為的瑕點，而無界函數(shù)反常積分又稱為瑕積分. 類似地,可定義瑕點為時的瑕積分. . 其中函數(shù)定義在區(qū)間上，在點的任一左鄰域內(nèi)無界，但在任何內(nèi)閉區(qū)間上有界且可積. 若函數(shù)的瑕點,則定義瑕積分 .其中函數(shù)定義在區(qū)間上，在點的任一鄰域內(nèi)無界，但在任何內(nèi)閉區(qū)間和上都有界且可積. 當且僅當右邊兩個瑕積分都收斂時,左邊的瑕積分才是收斂的.又若兩點都是的瑕點,而在任何有界且可積,這時定義瑕積分 ,其中為內(nèi)任一實數(shù).同樣地, 當且僅當右邊兩個瑕積分都收斂時,左邊的瑕積分才是收斂的. 瑕積分的收斂判別2.2比較判別法 定理2 設(shè)f(x), g(x)

15、均為a,b)上的非負函數(shù)，b為兩個函數(shù)的奇點，如存在一個正常數(shù)k, 使a, b), 則1） 如收斂，則也收斂.2）如發(fā)散，則也發(fā)散 比較判別法在實際應(yīng)用時，我們常常用下列極限形式 對以b為唯一瑕點的兩個瑕積分與 如果f(x), g (x) 是非負函數(shù)，且 則（1）當, 且收斂時，則也收斂（2）當，且發(fā)散時，則也發(fā)散2.3 柯西判斷法 設(shè)x=a是f(x)在a,b上的唯一奇點，在其任意閉區(qū)間上可積,那么（1） 如0f(x) (c>0), p<1, 則收斂（2） 如f(x) (c>0), p1, 則發(fā)散瑕積分的Cauchy判斷法的極限形式為 定理3 設(shè)如0<, , 則收斂如0

16、<, , 那么發(fā)散例6 判別下列瑕積分的斂散性.(1) (2) 解：（1）1是被積函數(shù)的唯一瑕點因為 =由知瑕積分收斂（2）0與都是被積函數(shù)的瑕點先討論 由知: 當p<1時, 瑕積分收斂; 當p1時,瑕積分發(fā)散再討論 因所以當 q<1時, 瑕積分收斂，當q1時，瑕積分發(fā)散綜上所述，當p<1且q<1時, 瑕積分收斂; 其他情況發(fā)散 定理4若下列兩個條件之一滿足，則收斂：（b為唯一瑕點）2.4 （1）（Abel判別法）收斂, 在上單調(diào)有界(2) (Dirichlet判別法) =在a, 上有界, g(x) 在(上單調(diào), 且. 例7 討論廣義積分的斂散性， 解 令f(x)

17、=, g(x)=cosx則當x時，f(x)單調(diào)下降且趨于零，F(xiàn)(A)= =在a,上有界由Dirichlet判別法知收斂，另一方面因發(fā)散，收斂從而非負函數(shù)的廣義積分發(fā)散由比較判別法知發(fā)散，所以條件收斂 例8 討論廣義積分的斂散性 解 由上一題知，廣義積分收斂, 而arctanx在a, +上單調(diào)有界，所以由Abel判別法知收斂.另一方面, 當時, 有前面已證發(fā)散由比較判別法知發(fā)散, 所以條件收斂.當然判斷反常積分是否收斂的方法還有很多在此就不一一例舉了.3 瑕積分與無窮積分的關(guān)系 設(shè)函數(shù)連續(xù) , 為瑕點. 若 令,則 , ,，從而有這樣瑕積分就化成了無窮積分；設(shè), 若令,則 , ,總結(jié)本文根據(jù)對反常積分的定義及其性質(zhì)的分析， 總結(jié)了反常積分斂散性判別的多種方 法與技巧，并且輔以例題使其直觀.經(jīng)過本文的討論，反常積分斂散性判別法主要有定 義，柯西收斂準則，絕對收斂判別，比較法則及其極限形式，狄利克雷判別法和阿貝爾 判別法.適當而準確的運用這些方法，我們可以方便快捷的判別一個具體的反常積分的 斂散性，更好的解決我們在反常積分的計算上的問題，幫助我們對微積分有一個更好的 認識.然而數(shù)學的世界是探索不盡的，反常