銳角三角函數(shù)培優(yōu)講義25832

1、講義編號(hào)： 組長(zhǎng)簽字： 簽字日期： 學(xué)員編號(hào)： 年 級(jí)：初三 課時(shí)數(shù)：3學(xué)員姓名： 輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué) 學(xué)科教師：課 題銳角三角函數(shù)授課日期及時(shí)段教學(xué)目標(biāo)銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值重點(diǎn)、難點(diǎn)特殊角三角函數(shù)值教 學(xué) 內(nèi) 容一、 疑難講解2、 知識(shí)點(diǎn)梳理1銳角三角函數(shù)定義在直角三角形ABC中，C=900，設(shè)BC=a，CA=b，AB=c，銳角A的四個(gè)三角函數(shù)是： (1) 正弦定義：在直角三角形中ABC，銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做角A的正弦，記作sinA，即sin A = , （2）余弦的定義：在直角三角行ABC，銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做角A的余弦，記作cosA，即cos A = ,（3）正切

2、的定義：在直角三角形ABC中，銳角A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做角A的正切，記作tanA，即 tan A = ，這種對(duì)銳角三角函數(shù)的定義方法，有兩個(gè)前提條件：（1）銳角A必須在直角三角形中，且C=900； （2）在直角三角形 ABC 中，每條邊均用所對(duì)角的相應(yīng)的小寫(xiě)字母表示。 否則，不存在上述關(guān)系注意：（1）sin，cos，tan都是一個(gè)完整的符號(hào)，單獨(dú)的 “sin”沒(méi)有意義，其中前面的“”一般省略不寫(xiě)；但當(dāng)用三個(gè)大寫(xiě)字母表示一個(gè)角時(shí)，“”的符號(hào)就不能省略.（2）正弦、余弦、正切是在一個(gè)直角三角形中引入的，實(shí)際上是兩條邊的比，它們是正實(shí)數(shù)，沒(méi)單位，其大小只與角的大小有關(guān)，而與所在直角三角形無(wú)關(guān)。2、坡

3、角與坡度坡面與水平面的夾角稱為坡角，坡面的鉛直高度與水平寬度的比為坡度（或坡比），即坡度等于坡角的正切。3、銳角三角函數(shù)關(guān)系：（1）平方關(guān)系： sin2A + cos2A = 1；4、互為余角的兩個(gè)三角函數(shù)關(guān)系若A+B=90，則sinA=cosB,cosA=sinB.5、特殊角的三角函數(shù)： 00300450600sin0cos1tan01（1）銳角的正弦值隨角度的增加(或減小)而增加(或減小)；（2）銳角的余弦值隨角度的增加(或減小)而減小(或增加)；（3）銳角的正切值隨角度的增加(或減小)而增加(或減小)。3、 典型例題 考點(diǎn)一：銳角三角函數(shù)的定義1、在RtABC中，C=90°，c

4、osB=，則AC：BC：AB=（ ）A、3：4：5 B、5：3：4 C、4：3：5 D、3：5：42、已知銳角，cos=，sin=_，tan=_。3、在ABC中，C=90°，若4a=3c，則cosB=_.tanA = _。4、在ABC中，C=90°，AB=15，sinA=，則BC等于_。5、在ABC中，C=90°，若把AB、BC都擴(kuò)大n倍，則cosB的值為（ ）A、ncosBB、cosBC、D、不變考點(diǎn)二：求某個(gè)銳角的三角函數(shù)值關(guān)鍵在構(gòu)造以此銳角所在的直角三角形1、如圖，在矩形中，是邊上的點(diǎn)，垂足為，連接。（1）求證：；（2）如果，求的值。2、如圖，在ABC中，A

5、=60°，B=45°，AB=8，求ABC面積（結(jié)果可保留根號(hào)）。3、如圖（1），的頂點(diǎn)為O，它的一邊在x軸的正半軸上，另一邊OA上有一個(gè)點(diǎn)P（3，4），則sin=_4、如圖（2）所示，在正方形網(wǎng)格中，sinAOB等于（ ）A、B、C、D、25、如圖（3），在中，于，若，則的值為（ ）A、 B、 C、D、6、如圖（5），A、B、C三點(diǎn)在正方形網(wǎng)格線的交點(diǎn)處，若將ACB繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到ACB，則tanB的值為（ ）A、B、C、D、7、如圖（6），菱形ABCD的邊長(zhǎng)為10cm，DEAB，則這個(gè)菱形的面積= cm2。8、如圖，在RtABC中，C=90°，sinB=，

6、點(diǎn)D在BC邊上，且ADC=45°，DC=6，求BAD的正切值。9、如圖，在正方形ABCD中，M為AD的中點(diǎn)，E為AB上一點(diǎn)，且BE=3AE，求sinECM。10、如圖，在梯形ABCD中，ABDC，BCD=90°，AB=1，BC=2，tanADC=2。（1）求證：DC=BC（2）E是梯形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，F(xiàn)是梯形ABCD外一點(diǎn)，且EDC=FBC，DE=BF，是判斷ECF的形狀，并證明你的結(jié)論；（3）在（2）的條件下，當(dāng)BE:CE=1:2，BEC=135°時(shí)，求sinBFE的值。考點(diǎn)三：利用特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算1、計(jì)算：（1）（2）（3）（4）sin45°

7、;cos30°2、B是RtABC中的一個(gè)內(nèi)角，且sinB=，則cos=（ ）A、 B、 C、 D、3、在ABC中，a=3，b=4，C=60°，則ABC的面積為_(kāi)。4、RtABC中，C=90°，c=12，tanB=，則ABC的面積為（ ）A、36 B、18 C、16 D、185、如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，OP=4，OP與軸正半軸的夾角為30°，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ）A、（2、）B、（，2）C、（2，）D、（，2）6、在菱形ABCD中，已知其周長(zhǎng)為16 cm，較短對(duì)角線長(zhǎng)為4 cm，求菱形較小角的正弦值和余弦值。7、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，

8、點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），OA=2，AOB=60°。（1）求點(diǎn)A坐標(biāo)；（2）若直線AB交軸于點(diǎn)C，求AOC的面積?？键c(diǎn)四：已知一個(gè)特殊角的正、余弦值或正切值，求相應(yīng)的銳角1、cosA = ，A為銳角，則A =_；2cos(-100) = 1，則銳角 =_。2、若tanA的值是方程的一個(gè)根，則銳角A=（ ）A、30°或45° B、30°或60° C、45°或60° D、60°或90°3、若2cosA=0，則銳角A=_。4、在RtABC，C=90°，BC=，AC=，則A等于（ ）A、90°B

9、、60°C、45°D、30°5、在ABC中，銳角A，B滿足（sinA-）2+cosB-=0，則ABC是（ ）A、等腰三角形 B、等邊三角形 C、等腰直角三角形 D、直角三角形6、若B是RtABC的一個(gè)內(nèi)角，sinB=，則cos的值是（ ）A、B、C、D、考點(diǎn)五：銳角三角函數(shù)的增減性1、當(dāng)0°90°時(shí)，和隨的增大而增大，隨的增大而減小。2、銳角三角函數(shù)的取值范圍：01，01，0。1、當(dāng)銳角A45°時(shí)，的值為（ ）A、大于B、小于C、小于D、大于2、當(dāng)銳角A的時(shí)，A的值為（ ）A、小于45°B、小于30°C、大于45&

10、#176;D、大于30°3、當(dāng)銳角A60°時(shí)，的值為（ ）A、小于B、小于C、大于D、大于4、已知sin，則的取值范圍是（ ）A、30° B、30°90° C、0°30° D、0°30°5、比較大?。海?）18°_18.3°（2）31°_32°（3）30°_89°6、比較大?。簊in20°_sin25°；cos50°_cos70°。考點(diǎn)六：銳角三角函數(shù)間的轉(zhuǎn)換1、2、若A與B互余，3、1、當(dāng)sinA=cos

11、A時(shí)，A=_°。2、已知為銳角，且sin，則cos=_。3、cos（60°）=sin（_）。（0°90°）4、若sin10°=cosA，則銳角A=（ ）A、10° B、80° C、10°或20° D、不確定5、已知36°，則銳角=_。四、課堂練習(xí)1、 已知在ABC中，A、B是銳角，且sinA，tanB=2，AB=29cm，則SABC = 思路點(diǎn)撥 過(guò)C作CDAB于D，這樣由三角函數(shù)定義得到線段的比，sinA=，tanB=，設(shè)CD=5m，AC13m，CD2n，BDn，解題的關(guān)鍵是求出m、n的值2、

12、 在ABC中ACB90°，ABC15°，BC=1，則AC=( ) A B C0.3 D思路點(diǎn)撥 由15°構(gòu)造特殊角，用特殊角的三角函數(shù)促使邊角轉(zhuǎn)化3、如圖，已知ABC是等腰直角三角形，ACB90°，過(guò)BC的中點(diǎn)D作DEAB于E，連結(jié)CE，求sinACE的值思路點(diǎn)撥 作垂線把ACE變成直角三角形的一個(gè)銳角，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求線段的比4、如圖，在ABC中，AD是BC邊上的高，tanB=cosDAC， (1)求證：ACBD； (2)若sinC=，BC=12，求AD的長(zhǎng)思路點(diǎn)撥 (1)把三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為線段的比，利用比例線段證明；(2) sinC=，引入?yún)?shù)可設(shè)AD=

13、12，AC135、 已知：在RtABC中，C=90°，sinA、sinB是方程的兩個(gè)根 (1)求實(shí)數(shù)、應(yīng)滿足的條件； (2)若、滿足(1)的條件，方程的兩個(gè)根是否等于RtABC中兩銳角A、B的正弦?思路點(diǎn)撥 由韋達(dá)定理、三角函數(shù)關(guān)系建立、等式，注意判別式、三角函數(shù)值的有界性，建立嚴(yán)密約束條件的不等式，才能準(zhǔn)確求出實(shí)數(shù)、應(yīng)滿足的條件6已知為銳角，下列結(jié)論sin+cos=l；如果>45°，那么sin>cos；如果cos> ，那么<60°； 正確的有 7如圖，在菱形ABCD中，AEBC于E，BC=1，cosB=，則這個(gè)菱形的面積為 8如圖，C=9

14、0°，DBC=30°，ABBD，利用此圖可求得tan75°= 9化簡(jiǎn): (1)= (2)sin2l°+sin22°+sin288°+sin289°= 10身高相等的三名同學(xué)甲、乙、丙參加風(fēng)箏比賽三人放出風(fēng)箏線長(zhǎng)、線與地面夾角如下表(假設(shè)風(fēng)箏線是拉直的)，則三人所放的風(fēng)箏中( ) A甲的最高 B丙的最高 C乙的最低 D丙的最低11已知 sincos=，且0°<<45°則co-sin的值為( ) A B C D12在ABC中，C90°，ABC30°，D是AC的中點(diǎn)，則ctgDB

15、C的值是( ) A B C D 13在等腰RtABC中C90°，AC6，D是AC上一點(diǎn)，若tanDBA=，則AD的長(zhǎng)為( ) A B2 C 1 D14已知關(guān)于的方程的兩根恰是某直角三角形兩銳角的正弦，求m的值15D是ABC的邊AC上的一點(diǎn)，CD=2AD，AEBC于E，若BD8，sinCBD=，求AE的長(zhǎng) 16若0°<<45°，且sincon=，則sin= 17已知關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，為銳角，那么的取值范圍是 18已知是ABC的三邊，a、b、c滿足等式，且有，則sinA+sinB+sinC的值為 19設(shè)為銳角，且滿足sin=3cos，則sin

16、cos等于( ) A B C D 20如圖，若兩條寬度為1的帶子相交成30°的角，則重疊部分(圖中陰影部分)的面積是( )A2 B C1 D 21如圖，在ABC中，A30°，tanB=，AC=，則AB的長(zhǎng)是( ) A B C5 D22己在ABC中，a、b、c分別是A、B、C的對(duì)邊，且c=，若關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，又方程的兩實(shí)根的平方和為6，求ABC的面積五、課后作業(yè)1. 如圖，沿折疊矩形紙片，使點(diǎn)落在邊的點(diǎn)處已知，AB=8,則的值為 ( ) 圖52. 如圖，在直角坐標(biāo)系中，將矩形沿對(duì)折，使點(diǎn) 落在處，已知，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ） （1） （2） (3) (4) (5)3. 如圖，在等腰直角三角形中，為上一點(diǎn)，若 ，則的長(zhǎng)為( )A B C D 4. 如圖，中，,是直角邊上的點(diǎn)，且, ，則邊的長(zhǎng)為 5. 如圖，在矩形中，、分別為、的中點(diǎn)，若，四邊形的周長(zhǎng)為，則矩形的面積為 _6. 如下圖所示，中，于，則_7. 等腰三角形腰上的高等于底上的高的一半，則底角的余弦值為