蘇教版--九年級數(shù)學(xué)上冊知識點整理

1、 九年級（上）知識點歸納 第一章 圖形與證明（二）1.1 等腰三角形的性質(zhì)和判定1.等腰三角形性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個底角相等等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（簡稱“三線合一”）2.等腰三角形判定定理：如果一個三角形的兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱“等角對等邊”）1.2 直角三角形全等的判定定理：1.判定定理：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（簡稱“HL”）。2.角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。3.角平分線的判定：角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上。推論：直角三角形中，30°的角所對的直角邊事

2、斜邊的一半。1.3：平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定1.平行四邊形性質(zhì)定理：定理1：平行四邊形的對邊相等。定理2：平行四邊形的對角相等。定理3：平行四邊形的對角線互相平分。2.平行四邊形判定定理：從邊：1兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。 2一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。 3兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。對角線：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。3.矩形的性質(zhì)定理：定理1：矩形的4個角都是直角。定理2：矩形的對角線相等。定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。4.矩形的判定定理：1.有三個角是直角的四邊形是矩形。2.對角線相等的平行四邊形是矩形5.菱形的性

3、質(zhì)定理：定理1：菱形的4邊都相等。定理2：菱形的對角線相互垂直，并且每一條對角線平分一組對角。6.菱形的判定定理：1.四條邊都相等的四邊形是菱形。2.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形7.正方形的性質(zhì)定理：正方形的4個角都是直角，4條邊都相等，對角線相等且互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角。正方形即是特殊的矩形，又是特殊的菱形，它具有矩形和菱形的所有性質(zhì)。8.正方形的判定定理：1、有一個角是直角的菱形是正方形。2、有一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形1.4：等腰梯形的性質(zhì)和判定1. 等腰梯形的性質(zhì)定理：定理1：等腰梯形同一底上的兩底角相等。定理2：等腰梯形的兩條對角線相等。2.等腰梯形的判定定

4、理：1.在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形。2.對角線相等的梯形是等腰梯形。1.5 中位線1.三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。2.梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底的一半。中點四邊形：依次連接一個四邊形各邊中點所得到的四邊形稱為中點四邊形（中點四邊形一定是平行四邊形）。原四邊形對角線中點四邊形相等菱形互相垂直矩形相等且互相垂直正方形第二章 數(shù)據(jù)的離散程度2.1：極差一組數(shù)據(jù)中的最大值與最小值的差叫做極差。計算公式：極差=最大值-最小值。極差是刻畫數(shù)據(jù)離散程度的一個統(tǒng)計量，可以反映一組數(shù)據(jù)的變化范圍。一般說，極差越小，則說明數(shù)據(jù)的波動幅度越小。2.2：方差與標準差1.方差

5、：各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的平均數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的方差，記作S2基本公式：S2=(X1-)2+(X2-)2+(Xn-)22.標準差:方差的算術(shù)平方根叫做這組數(shù)據(jù)的標準差,記作S。3. 意義：1、極差、方差和標準差都是用來描述一組數(shù)據(jù)波動情況的特征，常用來比較兩組數(shù)據(jù)的波動大小，我們通常研究的是這組數(shù)據(jù)的個數(shù)相等、平均數(shù)相等或比較接近的情況。2、方差較大的波動較大，方差較小的波動較小。3、方差大，標準差就大，方差小，標準差就小。因此標準差同樣反映數(shù)據(jù)的波動大小。注意：對兩組數(shù)據(jù)來說，極差大的那一組不一定方差大，反過來，方差大的極差也不一定大。第三章 二次根式3.1 二次根式1.定義：一般地，式子（a0

6、）叫做二次根式，a叫做被開方數(shù)。有意義條件：當a0時，有意義；當a0時，無意義。2.性質(zhì)：（1） （2） 3.2 二次根式的乘除1.運算法則：（1） （）（2） （2.最簡根式：a.被開方數(shù)中不能含能開的盡方的因數(shù)或因式b被開方數(shù)中不含分母c.分母中不含有根號一般地，二次根式運算的結(jié)果中應(yīng)化為最簡二次根式3.3：二次根式的加減1.同類二次根式：經(jīng)過化簡后，被開方數(shù)相同的二次根式2.運算法則：一般地，二次根式相加減，先化簡每個二次根式，然后合并同類二次根式3.分母有理化：當分母是單個二次根式時，就將分子與分母同乘以這個二次根式本身即可；當分母中含有多項式如（+1）時，就將分子分母同乘以它的有理化

7、因子(-1)第四章 一元二次方程4.1 一元二次方程1.概念：只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。一般形式是aX2+bX+c=0(a、b、c是常數(shù)，a0)，其中aX2稱為二次項，a稱為二次項系數(shù)，bX稱為一次項，b稱為一次項系數(shù)，c稱為常數(shù)項4.2：一元二次方程的解法1、直接開平方2、配方法：先把一元二次方程變形為（X+h）2=k的形式（其中h,k都是常數(shù)），如果k0，再通過直接開平方法求出方程的解3、公式法（求根公式）：一元二次方程aX2+bX+c=0 （a0），當b2-4ac0時，它的根是4.因式分解法：利用分解因式的方法解一元二次方程的方法5.根的判別式：

8、當b2-4ac0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根X1=X2，當b2-4ac0時，方程沒有實數(shù)根。反之，也成立。6.韋達定理：設(shè)一元二次方程aX2+bX+c=0 （a0）的兩根為X1，X2 那么X1 + X2 =- ，X1 X2 = 4.3：用一元二次方程解決實際問題一元二次方程應(yīng)用題步驟：“設(shè)、找、列、解、驗、答”第五章 中心對稱圖形（二）5.1 圓定義：圓是定點的距離等于定長的點的集合。其中，定點叫做圓心，定長叫做半徑。與圓有關(guān)的概念：1、連接圓上任意兩點的線段叫做弦，經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。2、圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。圓的任意一條直徑的

9、兩個端點分圓成兩條弧，每條弧都叫做半圓。大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧。3、定點在圓上的角叫做圓心角。4、圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓。能夠互相重合的兩個圓叫做等圓。在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。 點與圓的位置關(guān)系：在平面內(nèi)，點與圓有3中位置關(guān)系：點在圓內(nèi)，點在圓上，點在圓外。如果設(shè)O的半徑為r，點P到圓心O的距離為d，那么“點P在圓內(nèi) dr;點P在圓上d=r；點P在圓外dr”5.2 圓的對稱性圓是中心對稱圖形，圓心是對稱中心。圓是軸對稱圖形，過圓心的任意一條直線都是它的對稱軸。圓心角、弧、弦之間的關(guān)系（等對等定理）：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩

10、條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等。5.3 圓周角概念：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。定理：同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于該弧所對的圓心角的一半。（圓心與圓周角的位置關(guān)系分為三種情況：圓心在角的一邊上；圓心在角的內(nèi)部；圓心在角的外部）推論：1、直徑（或半圓）所對的圓周角是直角。 2、90°的圓周角對的弦是直徑。5.4 確定圓的條件條件：不在同一條直線上的三個點確定一個圓。三角形的外接圓：三角形的三個頂點確定一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓。外接圓的圓心是三角形的三邊的垂直平分線的交點，這個點叫做三角形的外心。這個三角形叫做圓的內(nèi)接三角形5.5

11、 直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓有兩個公共點時，叫做直線與圓相交。（dr）2、直線與圓有唯一的公共點，叫做直線與圓相切，這條直線叫做圓的切線，這個公共點叫做切點。（d=r）3、直線與圓沒有公共點時，叫做直線與圓相離。（dr）直線與圓的位置關(guān)系可以用它們的交點的個數(shù)來區(qū)分，也可以用圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系來區(qū)分，它們的結(jié)果是一致的。切線的性質(zhì)與判定：判定：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線式圓的切線。性質(zhì)：（圓的切線垂直于過切點的半徑）1、 經(jīng)過圓心且垂直于切線的直接必經(jīng)過切點。2、 經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、 切線與圓只有一個公共點；切線與圓心的距離等于半徑；切線垂直

12、于過切點的半徑。內(nèi)心：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，它是三角形的三條角平分線的交點。這個三角形叫做圓的外切三角形。5.6 圓與圓的位置關(guān)系性質(zhì)與判定：如果兩圓的半徑分別為R和r，圓心距為d，那么兩圓外離dR+r兩圓外切d=R+r兩圓相交R-rdR+r（Rr）兩圓內(nèi)切d=R-r(Rr)兩圓內(nèi)含0dR-r（Rr）連心線的性質(zhì)：圓是軸對稱圖形，從上表中可以看出它們都是軸對稱圖形。沿O1、O2所在直線（連心線）對折，發(fā)現(xiàn)：兩圓相切，直線O1O2必過切點；兩圓相交，連心線垂直平分它們的公共弦。5.7 正多邊形與圓正多邊形概念：各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多

13、邊形。性質(zhì)：正多邊形都是對稱圖形，一個正n邊形共有n條對稱軸，沒條對稱軸都通過正n邊形的中心。一個正多邊形如果有偶數(shù)條邊，那么它既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形。如果一個正多邊形是中心對稱圖形，那么它的中心就是對稱中心。1、 邊數(shù)相同的正多邊形相似。2、 任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓。友情提醒：（1）邊數(shù)相同的正多邊形相似，這是解與正多邊形有關(guān)問題常用到的知識。 （2）任何三角形都有外接圓和內(nèi)切圓，但只有正三角形的外接圓和內(nèi)切圓才是同心圓。過正多邊形任意三個頂點的圓就是這個正多邊形的外接圓。作正多邊形：作半徑為R的正n邊形的關(guān)鍵是n等分圓。這就要學(xué)習(xí)兩種方法：（1）

14、 用量角器等分圓，可以作任意正多邊形，這是近似作法。具體地說先計算出頂點在圓心的角的度數(shù)，即正n邊形的圓心角為，然后依次用量角器將圓等分，順次連接各分點，就作出正n邊形。（2） 用尺規(guī)等分圓，作正方形和正六邊形。具體地說：先作出兩條互相垂直的直徑，將圓四等分，順次連接各分點，就做出正方形；用圓規(guī)從圓上一點順次截取等與半徑的弦，將圓六等分，順次連接各等分點，就作出正六邊形。友情提醒：在作正多邊形時，要從圓周上某一點開始連續(xù)截取等弧，否則，易產(chǎn)生誤差。5.8 弧長及扇形的面積圓的周長公式C=2R，其中是圓的周長與直徑的比值，稱為圓周率?；￠L公式：l=，其中，表示1°的圓心角的倍數(shù)，它不帶

15、單位，R為圓的半徑，l為n°的圓心角所對的弧長。扇形面積公式：一條弧和經(jīng)過這條弧的端點的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形。 圓心角為n°的扇形面積的計算公式為S扇形= 弧長為l的扇形面積的計算公式為S扇形=lR。公式中的n應(yīng)理解為1°的圓心角的倍數(shù)，不帶單位，同時要注意與弧長：l=公式進行比較，避免混淆。公式與三角形面積公式相類似，在S=lR中，把扇形看成一個曲邊三角形，把弧長l看作底，R看作高，這樣對比，有助于理解與記憶公式。5.9圓錐側(cè)面積和全面積圓錐的側(cè)面展開：圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長l=2r。這個扇形的半徑等于圓錐的母線長l母線=這個