必修五31不等關系與不等式教案

1、 第三章 不等式概述不等關系與相等關系都是客觀事物的基本數(shù)量關系，是數(shù)學研究的重要內容.建立不等觀念，處理不等關系與處理等量問題是同樣重要的.根據(jù)課程標準，在本章中，學生將通過具體情境，感受在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關系，理解不等式（組）對于刻畫不等關系的意義和價值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解決一些實際問題；能用二元一次不等式組表示平面區(qū)域，并嘗試解決一些簡單的二元線性規(guī)劃問題；認識基本不等式及其簡單應用；體會不等式、方程及函數(shù)之間的內在聯(lián)系.1內容與課程學習目標本章主要學習描述不等關系的數(shù)學方法，一元二次不等式的解法及其應用，線性規(guī)劃問題，基本不等式及其應用等，通過

2、學習，要使學生達到以下目標：（1）通過具體情境，感受在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的數(shù)量關系，了解不等式（組）的實際背景.（2）經(jīng)歷從實際情境中抽象出一元二次不等式模型的過程；通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應函數(shù)、方程的聯(lián)系；會解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，嘗試設計求解的程序框圖.（3）從實際情境中抽象出二元一次不等式組；了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組；從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決.（4）探索基本不等式的證明過程；會用基本不等式解決簡單最大（?。┲祮栴}.2教學要求（1）基本要求了解現(xiàn)實世界和日常生活中的不等關系，了

3、解不等式（組）的實際背景；理解不等式（組）對于刻劃不等關系的意義和價值；會用不等式（組）表示實際問題中的不等關系，能用不等式（組）研究含有不等關系的實際問題.理解并掌握不等式的基本性質；了解從實際情境中抽象出一元二次不等式模型的過程.理解一元二次不等式的概念；通過圖象，理解并掌握一元二次不等式、二次函數(shù)及一元二次方程之間的關系.理解并掌握解一元二次不等式的過程；會求一元二次不等式解集；掌握求解一元二次不等式的程序框圖及隱含的算法思想，會設計求解的過程.了解從實際情境中抽象出二元一次不等式（組）模型的過程；理解二元一次不等式（組）、二元一次不等式（組）的解集的概念；了解二元一次不等式的幾何意義，

4、理解（區(qū)域）邊界的概念及實線、虛線邊界的含義；會用二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域，能畫出給定的不等式（組）表示的平面區(qū)域.了解線性約束條件、目標函數(shù)、線性目標函數(shù)、線性規(guī)劃、可行解、可行域、最優(yōu)解的概念；掌握簡單的二元線性規(guī)劃問題的解法.了解基本不等式的代數(shù)背景、幾何背景以及它的證明過程；理解算術平均數(shù)，幾何平均數(shù)的概念；會用基本不等式解決簡單的最大（小）值的問題；通過基本不等式的實際應用，感受數(shù)學的應用價值.（2）發(fā)展要求體會不等式的基本性質在不等式證明中所起的作用.會從實際情景中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題并加以解決.（3）說明不等式的有關內容將在選修4-5中作進一步討論.淡化解不等

5、式的技巧性要求，突出不等式的實際背景及其應用.突出用基本不等式解決問題的基本方法，不必推廣到三個變量以上的情形.3. 教學內容及課時安排建議3.1 不等式與不等關系（約2課時）3.2 一元二次不等式及其解法（約2課時）3.3二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題3.3.1 二元一次不等式（組）與平面區(qū)域（約2課時）3.3.2 簡單的線性規(guī)劃問題（約2課時）3.4 基本不等式：（約2課時） 3.1 不等關系與不等式教案 A第1課時教學目標 一、知識與技能 通過具體情景，感受在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關系，理解不等式（組）的實際背景，掌握不等式的基本性質.二、過程與方法 通過解決具體

6、問題，學會依據(jù)具體問題的實際背景分析問題、解決問題的方法.三、情感、態(tài)度與價值觀 通過解決具體問題，體會數(shù)學在生活中的重要作用，培養(yǎng)嚴謹?shù)乃季S習慣.教學重點和難點 教學重點：用不等式（組）表示實際問題的不等關系；并用不等式（組）研究含有不等關系的問題；理解不等式（組）對于刻畫不等關系的意義和價值.教學難點：用不等式（組）正確表示出不等關系.教學關鍵：將實際問題的不等關系轉化為數(shù)學中不等式問題.教學突破方法：通過分析實踐、自主探究、合作交流等一系列的尋求問題解決方法的活動，討論解決方法.教法與學法導航教學方法：觀察法、探究法、嘗試指導法、討論法.學習方法：從具體上升到理論，再由理論指導具體的練習

7、，從而強化學生對知識的理解與掌握教學準備教師準備：多媒體、黑板、教材.學生準備：直尺、教材.教學過程一、創(chuàng)設情境，導入新課在現(xiàn)實世界和日常生活中，既有相等關系，又存在著大量的不等關系.如兩點之間線段最短、三角形兩邊之和大于第三邊，等等.人們還經(jīng)常用長與短、高與矮、輕與重、胖與瘦、大與小、不超過或不少于等來描述某種客觀事物在數(shù)量上存在的不等關系.在數(shù)學中，我們用不等式來表示不等關系.下面我們首先來看如何利用不等式來表示不等關系.二、主題探究，合作交流 1. 用不等式表示不等關系引例1：限速40km/h的路標，指示司機在前方路段行駛時，應使汽車的速度v不超過40km/h，寫成不等式就是.引例2：某

8、品牌酸奶的質量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應不少于2.5%，蛋白質的含量p應不少于2.3%，寫成不等式組就是用不等式組來表示問題1：設點A與平面的距離為d，B為平面上的任意一點，則.問題2：某種雜志原以每本2.5元的價格銷售，可以售出8萬本. 據(jù)市場調查，若單價每提高0.1元，銷售量就可能相應減少2 000本.若把提價后雜志的定價設為x 元，怎樣用不等式表示銷售的總收入仍不低于20萬元呢？解：設雜志社的定價為x 元，則銷售的總收入為 萬元，那么不等關系“銷售的總收入不低于20萬元”可以表示為不等式.問題3：某鋼鐵廠要把長度為4 000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種.按照生產(chǎn)

9、的要求，600mm的數(shù)量不能超過500mm鋼管的3倍. 怎樣寫出滿足所有上述所有不等關系的不等式呢？解：假設截得500 mm的鋼管 x根，截得600mm的鋼管y根.根據(jù)題意，應有如下的不等關系：（1）截得兩種鋼管的總長度不超過4 000mm；（2）截得600mm鋼管的數(shù)量不能超過500mm鋼管數(shù)量的3倍；（3）截得兩種鋼管的數(shù)量都不能為負.要同時滿足上述的三個不等關系，可以用下面的不等式組來表示：三、拓展創(chuàng)新，應用提高1. 試舉幾個現(xiàn)實生活中與不等式有關的例子.2. 教材第74頁的練習 第1、2題.四、小結用不等式（組）表示實際問題的不等關系，并用不等式（組）研究含有不等關系的問題.五、課堂作

10、業(yè)教材第75頁習題 3.1A組 第4、5題.第2課時教學目標 一、知識與技能 掌握不等式的基本性質，會用不等式的性質證明簡單的不等式.二、過程與方法 通過解決具體問題，學會依據(jù)具體問題的實際背景分析問題、解決問題的方法.三、情感、態(tài)度與價值觀 通過講練結合，培養(yǎng)學生轉化的數(shù)學思想和邏輯推理能力.教學重點和難點 教學重點：掌握不等式的性質和利用不等式的性質證明簡單的不等式.教學難點：利用不等式的性質證明簡單的不等式.教學關鍵：學生會用不等式的性質證明簡單的不等式和比較兩個數(shù)的大小.教學突破方法：通過問題解決情景的設置、投影錯例展示的方式，解決學生對不等式的理解.教法與學法導航教學方法：采用探究法

11、，遵循從具體到抽象的原則.學習方法：通過觀察、分析、討論，引導學生歸納小結出不等式的基本性質，設計較典型的問題，總結解題的規(guī)律.教學準備教師準備：多媒體、黑板、教材.學生準備：直尺、教材.教學過程一、創(chuàng)設情境，導入新課關于不等式的幾個基本事實在初中，我們已經(jīng)學習過不等式的一些基本性質，請同學們回憶初中不等式的的基本性質.1. 不等式的兩邊同時加上或減去同一個數(shù)，不等號的方向不改變，即若；2. 不等式的兩邊同時乘以或除以同一個正數(shù)，不等號的方向不改變，即若；3. 不等式的兩邊同時乘以或除以同一個負數(shù)，不等號的方向改變，即若.二、主題探究，合作交流1. 不等式的基本性質師：同學們能證明以上不等式的

12、基本性質嗎？證明：（1），；（2），實際上，我們還有.（證明：ab，bc，ab0，bc0）根據(jù)兩個正數(shù)的和仍是正數(shù)，得（ab）（bc）0，即ac0， ac于是，我們就得到了不等式的基本性質：（1）；（2）；（3）；（4）；.例1 已知求證 .證明：因為，所以ab>0,.于是，即.由c<0 ，得.例2 比較（a3）（a）與（a2）（a4）的大小.分析：此題屬于兩代數(shù)式比較大小，實際上是比較它們的值的大小，可以作差，然后展開，合并同類項之后，判斷差值正負（注意是指差的符號，至于差的值究竟是多少，在這里無關緊要）.根據(jù)實數(shù)運算的符號法則來得出兩個代數(shù)式的大小.比較兩個實數(shù)大小的問題轉化為

13、實數(shù)運算符號問題.解：由題意可知：（a3）（a）（a2）（a4）（a22a1）（a22a）0（a3）（a）（a2）（a4）2. 探索研究思考：利用上述不等式的性質，證明不等式的下列性質：（5）；（6）；（7）；（8）.證明：（5） ab， acb+c cd， bcbd 由得 acbd（6）.（7）同學們自己證明.（8）反證法）假設，則：這都與矛盾， 三、知識鞏固，練習提高例3 已知¹0, 比較與的大小.解：（取差）- .， . 從而>.例4 已知ab0，cd0，則與的大小關系為_解析：.因為ab0，cd0，所以ac0，bd0，ba0，又cd0，則有acbd，即acbd，則bda

14、c0，所以（ba）（ba）（bdac）0，所以0，即.答案： .課堂練習：教材第74頁的練習 第3題.四、小結本節(jié)課學習了不等式的性質，并用不等式的性質證明了一些簡單的不等式，還研究了如何比較兩個實數(shù)（代數(shù)式）的大小作差法，其具體解題步驟可歸納為：第一步：作差并化簡，其目標應是n個因式之積或完全平方式或常數(shù)的形式；第二步：判斷差值與零的大小關系，必要時須進行討論；第三步：得出結論.五、課堂作業(yè)教材第75頁習題3.1 A組 第2、3題；B組 第1題.教案 B第1課時教學目標1在學生了解了一些不等式（組）產(chǎn)生的實際背景的前提下，學習不等式的有關內容；利用數(shù)軸回憶實數(shù)的基本理論并能用實數(shù)的基本理論來

15、比較兩個代數(shù)式的大小，及用實數(shù)的基本理論來證明不等式的一些性質.2通過回憶與復習學生所熟悉的等式性質類比得出不等式的一些基本性質.并在了解不等式一些基本性質的基礎之上，掌握作差比較法判斷兩實數(shù)或代數(shù)式大小，利用它們來證明一些簡單的不等式.3通過富有實際意義問題的解決，激發(fā)學生的探究精神和嚴肅認真和科學態(tài)度，同時去感受數(shù)學的應用性，體會數(shù)學的奧秘與數(shù)學的結構美，激發(fā)學生的學習興趣.教學重點用不等式（組）表示實際問題中的不等關系，并用不等式（組）研究含有不等關系的問題；理解不等式（組）對于刻畫不等關系的意義和價值及不等式的三條基本性質.教學難點用不等式或不等式組準確地表示出不等關系，作差比較法判斷

16、兩實數(shù)或代數(shù)式大小.教學過程一、導入新課章頭圖是一幅山巒重疊起伏的壯觀畫面，使學生在具體情境中感受到不等關系在現(xiàn)實世界和日常生活中是大量存在的，由此產(chǎn)生用數(shù)學研究不等關系的強烈愿望，自然地引入新課.二、提出問題1. 回憶初中學過的不等式，讓學生說出“不等關系”與不等式的異同，怎樣利用不等式研究及表示不等關系？2. 在現(xiàn)實世界和日常生活中，既有相等關系，又存在著大量的不等關系，你能舉出一些實際例子嗎？三、應用示例例1 某汽車公司由于發(fā)展的需要需購進一批汽車，計劃使用不超過1 000萬元的資金購買單價分別為40萬元、90萬元的A型汽車和B型汽車根據(jù)需要，A型汽車至少買5輛，B型汽車至少買6輛，寫出

17、滿足上述所有不等關系的不等式解：設購買A型汽車和B型汽車分別為x輛、y輛，則，即. 例2某鋼鐵廠要把長度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種，按照生產(chǎn)的要求，600mm 鋼管的數(shù)量不能超過500mm鋼管的3倍.怎樣寫出滿足上述所有不等關系的不等式呢？解：假設截得的500mm鋼管根，截得的600mm鋼管根根據(jù)題意，應有如下的不等關系：說明：關鍵是找出題目中的限制條件，利用限制條件列出不等關系四、小結上面的例子表明，我們可以用不等式（組）來刻畫不等關系表示不等關系的式子叫做不等式,常用（）表示不等關系.老師進一步畫龍點睛，指出不等式是研究不等關系的重要數(shù)學工具五、練習教材第74頁 練

18、習第 1、2題六、提出新問題怎樣比較兩個實數(shù)的大小？七、作業(yè)教材第75頁習題3.1 A組第4、5題； B組第1、2題第2課時教學目標1在學生了解了一些不等式（組）產(chǎn)生的實際背景的前提下，學習不等式的有關內容；利用數(shù)軸回憶實數(shù)的基本理論并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小，及用實數(shù)的基本理論來證明不等式的一些性質.2通過回憶與復習學生所熟悉的等式性質類比得出不等式的一些基本性質.并在了解不等式一些基本性質的基礎之上，掌握作差比較法判斷兩實數(shù)或代數(shù)式大小，利用它們來證明一些簡單的不等式.3通過富有實際意義問題的解決，激發(fā)學生的探究精神和嚴肅認真和科學態(tài)度，同時去感受數(shù)學的應用性，體會數(shù)學的奧

19、秘與數(shù)學的結構美，激發(fā)學生的學習興趣.教學重點用不等式（組）表示實際問題中的不等關系，并用不等式（組）研究含有不等關系的問題，理解不等式（組）對于刻畫不等關系的意義和價值及不等式的三條基本性質.教學難點用不等式或不等式組準確地表示出不等關系，作差比較法判斷兩實數(shù)或代數(shù)式大小.教學過程一、提出問題不等式是研究不等關系的重要數(shù)學工具，我們都了解哪些不等式的性質呢？1.請學生回答等式有哪些性質？2.不等式有哪些基本性質？這些性質都有何作用？二、探究不等式的性質性質1：如果，那么；如果，那么（對稱性）.證：，由正數(shù)的相反數(shù)是負數(shù).，.性質2：如果，那么（傳遞性）.證：，.兩個正數(shù)的和仍是正數(shù)，.，.由對稱性，性質2可以表示為如果且那么.性質3：如果，那么（加