初三數(shù)學(xué)專(zhuān)題講義-存在性問(wèn)題(共16頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上初三數(shù)學(xué)講義存在性問(wèn)題 教學(xué)過(guò)程：一、教學(xué)銜接（課前環(huán)節(jié)） 1、回收上次課的教案，了解家長(zhǎng)的反饋意見(jiàn)； 2、檢查學(xué)生的作業(yè)，及時(shí)指點(diǎn)3、捕捉學(xué)生的思想動(dòng)態(tài)和了解學(xué)生的本周學(xué)校的學(xué)習(xí)內(nèi)容二、知識(shí)點(diǎn)解析 存在性問(wèn)題是指判斷滿足某種條件的事物是否存在的問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題的知識(shí)覆蓋面較廣，綜合性較強(qiáng)，題意構(gòu)思非常精巧，解題方法靈活，對(duì)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力要求較高，是近幾年來(lái)各地中考的“熱點(diǎn)”。這類(lèi)題目解法的一般思路是：假設(shè)存在推理論證得出結(jié)論。若能導(dǎo)出合理的結(jié)果，就做出“存在”的判斷，導(dǎo)出矛盾，就做出不存在的判斷。由于“存在性”問(wèn)題的結(jié)論有兩種可能，所以具有開(kāi)放的特征，在

2、假設(shè)存在性以后進(jìn)行的推理或計(jì)算，對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)，基本技能提出了較高要求，并具備較強(qiáng)的探索性，正確、完整地解答這類(lèi)問(wèn)題，是對(duì)我們知識(shí)、能力的一次全面的考驗(yàn)。一、函數(shù)中的存在性問(wèn)題（相似）1.（2011棗莊10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，把拋物線向左平移1個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位，得到拋物線.所得拋物線與軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D. （1）寫(xiě)出的值； （2）判斷ACD的形狀，并說(shuō)明理由；（3）在線段AC上是否存在點(diǎn)M，使AOMABC？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.二、函數(shù)中的存在性問(wèn)題（面積）2. 如圖，拋物線與雙曲線相交于點(diǎn)A，B已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（

3、2，2），點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，且tanAOX4過(guò)點(diǎn)A作直線AC軸，交拋物線于另一點(diǎn)C（1）求雙曲線和拋物線的解析式；（2）計(jì)算ABC的面積；（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)D，使ABD的面積等于ABC的面積若存在，請(qǐng)你寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)你說(shuō)明理由三、函數(shù)中的存在性問(wèn)題（四邊形）yABCOx3 如圖，二次函數(shù)y= -x2+ax+b的圖像與x軸交于A(-，0)、 B(2，0)兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C； (1) 求該拋物線的解析式，并判斷ABC的形狀； (2) 在x軸上方的拋物線上有一點(diǎn)D，且以A、C、D、B四 點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形，請(qǐng)直接寫(xiě)出D點(diǎn)的坐標(biāo)； (3) 在此拋物線上是否存在點(diǎn)P，使

4、得以A、C、B、P四點(diǎn) 為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由。鞏固練習(xí)，及時(shí)反饋1.如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)A（2，0），B（3，3）及原點(diǎn)O，頂點(diǎn)為C（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)D在拋物線上，點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上，且A、O、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）P是拋物線上的第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PMx軸，垂足為M，是否存在點(diǎn)P，使得以P、M、A為頂點(diǎn)的三角形BOC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由2.如圖，第一象限內(nèi)半徑為2的C與軸相切于點(diǎn)A，作直徑AD，過(guò)點(diǎn)D作C的切線l交軸于點(diǎn)B，P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，已知直線PA的

5、解析式為：=k+3。(1) 設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為p，寫(xiě)出p隨k變化的函數(shù)關(guān)系式。(2)設(shè)C與PA交于點(diǎn)M，與AB交于點(diǎn)N，則不論動(dòng)點(diǎn)P處于直線l上（除點(diǎn)B以外）的什么位置時(shí)，都有AMNABP。請(qǐng)你對(duì)于點(diǎn)P處于圖中位置時(shí)的兩三角形相似給予證明；(3)是否存在使AMN的面積等于的k值？若存在，請(qǐng)求出符合的k值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。3已知直角坐標(biāo)系中有一點(diǎn)A（4，3），點(diǎn)B在x軸上，AOB是等腰三角形(1）求滿足條件的所有點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2）求過(guò)O、A、B三點(diǎn)且開(kāi)口向下的拋物線的函數(shù)表達(dá)式（只需求出滿足條件的一條即可）；(3）在（2）中求出的拋物線上存在點(diǎn)P，使得以O(shè)，A，B，P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是梯形

6、，求滿足條件的所有點(diǎn)P的坐標(biāo)及相應(yīng)梯形的面積4、在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P是反比例函數(shù)（0）圖象上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心的圓始終與軸相切，設(shè)切點(diǎn)為A（1）如圖1，P運(yùn)動(dòng)到與軸相切，設(shè)切點(diǎn)為K，試判斷四邊形OKPA的形狀，并說(shuō)明理由（2）如圖2，P運(yùn)動(dòng)到與軸相交，設(shè)交點(diǎn)為B，C當(dāng)四邊形ABCP是菱形時(shí)：求出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)在過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線上是否存在點(diǎn)M，使MBP的面積是菱形ABCP面積的若存在，試求出所有滿足條件的M點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，試說(shuō)明理由5如圖所示，拋物線與軸交于點(diǎn)兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)以為直徑作過(guò)拋物線上一點(diǎn)作的切線切點(diǎn)為并與的切線相交于點(diǎn)連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)連結(jié)(1）求拋物線所對(duì)應(yīng)的函

7、數(shù)關(guān)系式及拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2）若四邊形的面積為求直線的函數(shù)關(guān)系式；(3）拋物線上是否存在點(diǎn)，使得四邊形的面積等于的面積？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由. 1、【答案】解：（1）由平移的性質(zhì)知，的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，）， 。 （2）由（1）得. 當(dāng)時(shí)， 解之，得。 . 又當(dāng)時(shí)，C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）。又拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)D（1，4），作拋物線的對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)E，DF 軸于點(diǎn)F。易知在RtAED中，AD2=22+42=20，在RtAOC中，AC2=32+32=18， 在RtCFD中，CD2=12+12=2， AC2 CD2AD2。ACD是直角三角形。（3）存在作OMBC交AC于M，點(diǎn)即為所求點(diǎn)。

8、由（2）知，AOC為等腰直角三角形，BAC450，AC。由AOM ABC，得。即。過(guò)M點(diǎn)作MGAB于點(diǎn)G，則AG=MG=，OG=AOAG=3。又點(diǎn)M在第三象限，所以M（，）。2、【答案】解：（1）把點(diǎn)B（2，2）的坐標(biāo)代入得，4。雙曲線的解析式為：。設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，n）A點(diǎn)在雙曲線上，mn4。又tanAOX4，4，即m4n。n21，n±1。A點(diǎn)在第一象限，n1，m4。A點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，4）。把A、B點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，解得，1，3。拋物線的解析式為：。（2）AC軸，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y4，代入得方程，解得14，21（舍去）。C點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，4），且AC5。又ABC的高為6，ABC的面積&

9、#215;5×615。（3）存在D點(diǎn)使ABD的面積等于ABC的面積。理由如下：過(guò)點(diǎn)C作CDAB交拋物線于另一點(diǎn)D，此時(shí)ABD的面積等于ABC的面積（同底：AB，等高：CD和AB的距離）。直線AB相應(yīng)的一次函數(shù)是：，且CDAB，可設(shè)直線CD解析式為，把C點(diǎn)的坐標(biāo)（4，4）代入可得，。直線CD相應(yīng)的一次函數(shù)是：。解方程組，解得，。點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，18）。3、答案：解 (1) 根據(jù)題意，將A(-，0)，B(2，0)代入y= -x2+ax+b中，得，解這個(gè) 方程，得a=，b=1，該拋物線的解析式為y= -x2+x+1，當(dāng) x=0時(shí)，y=1， 點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，1)。在AOC中，AC=。 在

10、BOC中，BC=。 AB=OA+OB=+2=，AC 2+BC 2=+5=AB 2，ABC是直角三角形。 (2) 點(diǎn)D的坐標(biāo)為(，1)。 (3) 存在。由(1)知，ACBC。yABCOxP j 若以BC為底邊，則BC/AP，如圖1所示，可求得直線 BC的解析式為y= -x+1，直線AP可以看作是由直線 BC平移得到的，所以設(shè)直線AP的解析式為y= -x+b， 把點(diǎn)A(-，0)代入直線AP的解析式，求得b= -， 直線AP的解析式為y= -x-。點(diǎn)P既在拋物線上，又在直線AP上，yABCOPx 點(diǎn)P的縱坐標(biāo)相等，即-x2+x+1= -x-，解得x1=， x2= -(舍去)。當(dāng)x=時(shí)，y= -，點(diǎn)P

11、(，-)。 k 若以AC為底邊，則BP/AC，如圖2所示。 可求得直線AC的解析式為y=2x+1。 直線BP可以看作是由直線AC平移得到的， 所以設(shè)直線BP的解析式為y=2x+b，把點(diǎn)B(2，0)代 入直線BP的解析式，求得b= -4， 直線BP的解析式為y=2x-4。點(diǎn)P既在拋物線 上，又在直線BP上，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)相等， 即-x2+x+1=2x-4，解得x1= -，x2=2(舍去)。 當(dāng)x= -時(shí)，y= -9，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-，-9)。 綜上所述，滿足題目條件的點(diǎn)P為(，-)或(-，-9)。練習(xí)1、【答案】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為，拋物線過(guò)A（2，0），B（3，3），O（0，0）可得，解

12、得。拋物線的解析式為。（2）當(dāng)AE為邊時(shí)，A、O、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，DE=AO=2，則D在軸下方不可能，D在軸上方且DE=2，則D1（1，3），D2（3，3）。當(dāng)AO為對(duì)角線時(shí)，則DE與AO互相平分。點(diǎn)E在對(duì)稱軸上，且線段AO的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，由對(duì)稱性知，符合條件的點(diǎn)D只有一個(gè)，與點(diǎn)C重合，即C（1，1）。故符合條件的點(diǎn)D有三個(gè)，分別是D1（1，3），D2（3，3），C（1，1）。（3）存在，如圖：B（3，3），C（1，1），根據(jù)勾股定理得：BO2=18，CO2=2，BC2=20，BO2+CO2=BC2BOC是直角三角形。假設(shè)存在點(diǎn)P，使以P，M，A為頂點(diǎn)的 三角形與BOC相似

13、，設(shè)P（，），由題意知0，0，且，若AMPBOC，則。即 +2=3（2+2）得：1=，2=2（舍去）當(dāng)=時(shí)，=，即P（，）。若PMABOC，則，。即：2+2=3（+2）得：1=3，2=2（舍去）當(dāng)=3時(shí)，=15，即P（3，15）故符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè)，分別是P（，）或（3，15）。2、解：（1）y軸和直線l都是C的切線，OAAD BDAD 。 又 OAOB，AOB=OAD=ADB=90°。四邊形OADB是矩形。C的半徑為2，AD=OB=4。點(diǎn)P在直線l上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，p）。又點(diǎn)P也在直線AP上，p=4k+3。（2）連接DN。AD是C的直徑， AND=90°。 AND=

14、90°DAN，ABD=90°DAN， AND=ABD 。 又ADN=AMN，ABD=AMN。MAN=BAP AMNABP 。（3）存在。理由如下：把=0代入=k+3，得y=3，即OA=BD=3。AB=。 SABD= AB·DN=AD·DB，DN=。 AN2=AD2DN2=。AMNABP ， 即 。當(dāng)點(diǎn)P在B點(diǎn)上方時(shí)，AP2=AD2PD2 = AD2(PBBD)2 =42(4k33)2 =16(k21)，或AP2=AD2PD2 = AD2(BDPB)2 =42(34k3)2 =16(k21)，SABP= PB·AD= (4k3)×4=2

15、(4k3)，。整理得k24k2=0 ， 解得k1 =2 ， k2=2 。當(dāng)點(diǎn)P在B 點(diǎn)下方時(shí)，AP2=AD2PD2 =42(34k3)2 =16(k21) ，SABP= PB·AD= (4k3)×4=2(4k3)，。 整理得k2+1=（4k3）， 解得k=2。 綜合以上所得，當(dāng)k=2±或k=2時(shí)，AMN的面積等于。3、【答案】解：作ACx軸，由已知得OC4，AC3，OA5(1）當(dāng)OAOB5時(shí)，如果點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上，如圖（1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0）如果點(diǎn)B在x軸的正半軸上，如圖（2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0）xyBCAOxyBCAO(2)(1)當(dāng)OAAB時(shí)，點(diǎn)B

16、在x軸的負(fù)半軸上，如圖（3），BCOC，則OB8，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，0） 當(dāng)ABOB時(shí)，點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上，如圖（4），在x軸上取點(diǎn)D，使ADOA，可知OD8由AOBOABODA，可知AOBODA，則，解得OB，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，0）yBCAxO(3)(4)yABDxO(2）當(dāng)ABOA時(shí)，拋物線過(guò)O（0，0），A（4，3），B（8，0）三點(diǎn)，設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，可得方程組，解得a，(當(dāng)OAOB時(shí)，同理得(3）當(dāng)OAAB時(shí)，若BPOA，如圖（5），作PEx軸，則AOCPBE，ACOPEB90°，AOCPBE，設(shè)BE4m，PE3m，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4m8，3m），代入，解得m3則點(diǎn)P

17、的坐標(biāo)為（4，9），S梯形ABPOSABOSBPO48若OPAB（圖略），根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（12，9），S梯形AOPBSABOSBPO48(5)OyBCAxPE(6)xyBAOCPF(當(dāng)OAOB時(shí)，若BPOA，如圖（6），作PFx軸，則AOCPBF，ACOPFB90°，AOCPBF，設(shè)BF4m，PF3m，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4m5，3m），代入，解得m則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，），S梯形ABPOSABOSBPO若OPAB（圖略），作PFx軸，則ABCPOF，ACBPFO90°，ABCPOF，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（n，3n），代入，解得n9則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（9，27），S梯形

18、AOPBSABOSBPO754、【答案】解：（1）四邊形OKPA是正方形。理由如下：P分別與兩坐標(biāo)軸相切，PAOA，PKOK。PAO=OKP=90°。又AOK=90°，PAO=OKP=AOK=90°。四邊形OKPA是矩形。又OA=OK，四邊形OKPA是正方形。（2）連接PB，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，則其縱坐標(biāo)為。過(guò)點(diǎn)P作PGBC于G。四邊形ABCP為菱形，BC=PA=PB=PC。PBC為等邊三角形。在RtPBG中，PBG=60°，PB=PA=，PG=。sinPBG= ，即解之得：=±2（負(fù)值舍去）。PG=，PA=BC=2。易知四邊形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1，OB=OGBG=1，OC=OG+GC=3。A（0，），B（1，0）C（3，0）。設(shè)二次函數(shù)解析式為：。據(jù)題意得：解之得：。 二次函數(shù)關(guān)系式為：設(shè)直線BP的解析式為：，據(jù)題意得：解之得：。直線BP的解析式為：。過(guò)點(diǎn)A作直線AMPB，則可得直線AM的解析式為：。解方程組：得過(guò)點(diǎn)C作直線CMPB，則可得直線CM的解析式為：。解方程組：得綜上可知，滿足條件的M的坐標(biāo)有四個(gè)：（0，），（7，8），（3，0），（4，）。5、答案：解：（1）因?yàn)閽佄锞€與軸交于點(diǎn)兩點(diǎn)，設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：拋物線與軸交于點(diǎn)所以，拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：